Fonctions holomorphes

Après quelques rappels sur la différentiabilité des fonctions de deux variables réelles, nous introduisons dans cette section la notion de dérivation au sens complexe pour les fonctions d'une variable complexe. Rappels Soit

un ouvert de $\mathbb{R}^2$ , $z_0=(x_0,y_0)\in U$ et $f : U\to\mathbb{R}^2$ une application,

. L'application

est différentiable en

s'il existe une application $\mathbb{R}$ -linéaire

de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}^2$ telle que

$\displaystyle f(x,y)=f(x_0,y_0)+L(x-x_0,y-y_0)+\Vert(x-x_0,y-y_0)\Vert\varepsilon(x-x_0,y-y_0)$

où $\varepsilon(h,k)\to(0,0)$ si $\Vert(h,k)\Vert\to 0$ . L'application

est notée

et sa matrice dans la base canonique de $\mathbb{R}^2$ est

$\displaystyle \left(\begin{array}{cc} \frac{\partial P}{\partial x}(x_0,y_0) & ... ...artial x}(x_0,y_0) & \frac{\partial Q}{\partial y}(x_0,y_0) \end{array}\right)$

L'identification naturelle $\varphi$ de $\mathbb{R}^2$ et $\mathbb{C}$ définie par $\varphi(x,y)=x+\mathrm{i}y$ est un isomorphisme de $\mathbb{R}$ -espace vectoriel, de plus $\varphi(a,b)\varphi(x,y)=\varphi(ax-by,bx+ay)$ .

Lemme 1 Soit une application de $\mathbb{C}$ dans $\mathbb{C}$ . Les conditions suivantes sont équivalentes

(i)

l'application

est $\mathbb{C}$ -linéaire;

(ii)

il existe $\alpha\in\mathbb{C}$ telle que $u(z)=\alpha z$ pour tout $z\in\mathbb{C}$ ;

(iii)

l'application $\widetilde{u}=\varphi^{-1}\circ u\circ\varphi$ de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}^2$ est $\mathbb{R}$ -linéaire et sa matrice dans la base canonique de $\mathbb{R}^2$ est de la forme

$\displaystyle \left(\begin{array}{cc} a & -b\\ b & a \end{array}\right)$

$a,b\in\mathbb{R}$ , i.e. $\widetilde{u}$ est une similitude.

Démonstration : Supposons que

est $\mathbb{C}$ -linéaire alors pour tout $z\in\mathbb{C}$ ,

, il suffit donc de poser $\alpha=u(1)$ .

Supposons maintenant que, pour tout $z\in\mathbb{C}$ , $u(z)=\alpha z$ avec $\alpha=a+\mathrm{i}b$ , alors pour tout $(x,y)\in\mathbb{R}^2$

$\displaystyle \widetilde{u}(x,y)$	$\displaystyle =\varphi^{-1}(\alpha\varphi(x,y))$
	$\displaystyle =(ax-by,bx-ay)$
	$\displaystyle =\left(\begin{array}{cc} a & -b b & a \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} x y\end{array}\right).$

Finalement supposons que $\widetilde{u}$ est une similitude de matrice

$\displaystyle \left(\begin{array}{cc} a & -b\\ b & a \end{array}\right)$

alors pour tout $z\in\mathbb{C}$

$\displaystyle u(z)$	$\displaystyle =\varphi\circ\widetilde{u}\circ\varphi^{-1}(z)$
	$\displaystyle =\varphi(ax-by,bx-ay)$
	$\displaystyle =\varphi(a,b)z=\alpha z$

avec $\alpha=\varphi(a,b)$ , de plus l'application $z\mapsto \alpha z$ est clairement $\mathbb{C}$ -linéaire. $\square$

Fonctions holomorphes

Définition 1 Une fonction à valeurs complexes définie au voisinage d'un point de $\mathbb{C}$ est dite $\mathbb{C}$ -dérivable en si la limite de $\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}$ existe quand tend vers avec $z\neq z_0$ . Cette limite, notée est la dérivée (complexe) de en .

Comme pour les fonctions d'une variable réelle on a les propriétes suivantes :

Proposition 1 1) Les fonctions définies au voisinage de et $\mathbb{C}$ -dérivables en forment une algèbre.

2) Soient une fonction définie au voisinage de et $\mathbb{C}$ -dérivable en et une fonction définie au voisinage de et $\mathbb{C}$ -dérivable en , alors $g\circ f$ est $\mathbb{C}$ -dérivable en et sa dérivée en vaut .

3) Si est $\mathbb{C}$ -dérivable en et si $f(z_0)\neq 0$ , $\frac{1}{f}$ est définie au voisinage de , $\mathbb{C}$ -dérivable en et $(\frac{1}{f})'(z_0)=-\frac{f'(z_0)}{(f(z_0))^2}$ .

Proposition 2 Soit une fonction définie au voisinage de $z_0=x_0+\mathrm{i}y_0$ . Les assertions suivantes sont équivalentes

(i) la fonction est $\mathbb{C}$ -dérivable en ;

(ii) la fonction est $\mathbb{R}^2$ -différentiable en et elle satisfait l'équation de Cauchy-Riemann

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)+\mathrm{i}\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=0$

ou encore, si $f(x,y)=P(x,y)+\mathrm{i}Q(x,y)$ , les équations de Cauchy-Riemann

$\displaystyle \frac{\partial P}{\partial x}(x_0,y_0)=\frac{\partial Q}{\partial... ...\frac{\partial P}{\partial y}(x_0,y_0)=-\frac{\partial Q}{\partial x}(x_0,y_0);$

(iii) la fonction est $\mathbb{R}^2$ -différentiable en et sa différentielle et $\mathbb{C}$ -linéaire.

Démonstration : $(i)\Leftrightarrow (iii)$ Si

est $\mathbb{C}$ -dérivable en

, il existe une fonction $\varepsilon_1(\lambda)$ définie au voisinage de 0 telle que

$\displaystyle f(z_0+\lambda)=f(z_0)+f'(z_0)\lambda+\lambda\varepsilon_1(\lambda)$

et $\varepsilon_1(\lambda)\to 0$ quand $\lambda\to 0$ .

En identifiant $\mathbb{C}$ à $\mathbb{R}^2$ on obtient

$\displaystyle f(x_0+h,y_0+k)=f(x_0,y_0)+f'(z_0)h+\mathrm{i}f'(z_0)k+\Vert(h,k)\Vert\varepsilon(h,k)$

si $\lambda=h+\mathrm{i}k$ avec $\varepsilon_2(h,k)=\frac{h+\mathrm{i}k}{\vert h+\mathrm{i}k\vert}\varepsilon_1(h+\mathrm{i}k)$ . Par conséquent

est $\mathbb{R}^2$ -différentiable en

et sa différentielle

vérifie

$\displaystyle df(x_0,y_0)(h,k)=\widetilde {f'(z_0)(h+\mathrm{i}k)},$

elle est donc $\mathbb{C}$ -linéaire.

$(iii)\Leftrightarrow (ii)$ D'après le Lemme 1, l'application est $\mathbb{C}$ -linéaire si et seulement si il existe $a,b\in\mathbb{R}$ tels que sa matrice relativement à la base canonique de $\mathbb{R}^2$ est de la forme

$\displaystyle \left(\begin{array}{cc} a & -b\\ b & a \end{array}\right)$

ce qui équivaut à

$\displaystyle \frac{\partial P}{\partial x}(x_0,y_0)=\frac{\partial Q}{\partial... ... \frac{\partial P}{\partial y}(x_0,y_0)=-\frac{\partial Q}{\partial x}(x_0,y_0)$

ou encore à $\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)+\mathrm{i}\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=0$ . $\square$ Remarque. Si

est $\mathbb{C}$ -dérivable en

, alors

$\displaystyle f'(z_0)=\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=-\mathrm{i}\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0).$

Définition 2 Soit un ouvert de $\mathbb{C}$ et une fonction définie sur à valeurs dans $\mathbb{C}$ . On dit que est holomorphe sur si est $\mathbb{C}$ -dérivable en tout point de et si l'application $z\mapsto f'(z)$ est continue sur .

Remarque. On verra plus tard que l'existence de l'application $z\mapsto f'(z)$ implique automatiquement sa continuité.

On note $\mathcal {H}(U)$ l'ensemble des fonctions holomorphes sur .

Propriétés :

1) L'ensemble $\mathcal {H}(U)$ est une sous-algèbre de $\mathcal{C}(U)$ ;

2) Si $f\in\mathcal{H}(U)$ ne s'annule pas sur , $\frac{1}{f}\in\mathcal{H}(U)$ ;

3) Si et sont deux ouverts de $\mathbb{C}$ , $f : U\to V$ et $g : V\to \mathbb{C}$ deux fonctions holomorphes, $g\circ f$ est holomorphe sur .

Exemples :

1) L'application identique $z\mapsto z$ est holomorphe sur $\mathbb{C}$ ;

2) L'application $z\mapsto \overline{z}$ n'est pas holomorphe sur $\mathbb{C}$ ;

3)L'application polynôme $\sum_{k=0}^na_kz^k$ est holomorphe sur $\mathbb{C}$ ;

4) La fraction rationnelle $\frac{P(z)}{Q(z)}$ , où et sont des polynômes, est holomorphe sur $\mathbb{C}$ privé des zéros de ;

5) La somme d'une série entière définit une fonction holomorphe sur le disque ouvert de convergence de la série entière;

6) Les fonctions analytiques sur sont holomorphes sur (la réciproque est vraie nous la montrerons dans la section 1.2).

Théorème 1 (d'inversion locale) Soient un ouvert de $\mathbb{C}$ , $z_0\in U$ et $f : U\to \mathbb{C}$ une fonction holomorphe sur telle que $f'(z_0)\neq 0$ . Alors il existe un voisinage ouvert de et un voisinage ouvert de tel que $f : U_0\to V_0$ soit bijective, $f^{-1}$ holomorphe et

$\displaystyle (f^{-1})'(f(z))=\frac{1}{f'(z)}$ pour tout $\displaystyle \quad z\in U_0.$

Démonstration : Après identification de $\mathbb{C}$ avec $\mathbb{R}^2$ , le déterminant jacobien de

est donné par

$\displaystyle J(f)(z)=\mathrm{det}\left[\begin{array}{cc} \frac{\partial P}{\pa... ...al P}{\partial x}(z))^2+(\frac{\partial Q}{\partial x}(z))^2=\vert f'(z)\vert^2$

grâce aux équations de Cauchy-Riemann et donc $J(f)(z_0)\neq 0$ . Le théorème d'inversion locale dans $\mathbb{R}^2$ affirme alors qu'il existe un voisinage ouvert

et un voisinage ouvert

tel que $f : U_0\to V_0$ soit bijective, $f^{-1}$ est différentiable et de classe $\mathcal {C}^1$ sur

et $d(f^{-1})(f(z))=(df(z))^{-1}$ , mais puisque l'application inverse d'une similitude est encore une similitude, l'application $f^{-1}$ est holomorphe sa dérivée vaut $\frac{1}{\vert f'(z)\vert^2}\overline{f'(z)}=\frac{1}{f'(z)}$ . $\square$

**Figure 1:** Inversion locale.
$\includegraphics[width=6cm]{inversionlocale}$