Familles génératrices

D'après le théorème 3, un sous-espace vectoriel contient toutes les combinaisons linéaires d'un nombre quelconque de vecteurs : pour tout entier

, pour tous vecteurs $v_1,\ldots,v_n$ de

, et pour tous réels $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ ,

$\displaystyle \lambda_1 v_1+\cdots+\lambda_n v_n =\sum_{i=1}^n\lambda_i v_i\in E\;.$

Une des manières de fabriquer un sous-espace vectoriel est de partir d'une famille d'éléments, puis de lui adjoindre toutes les combinaisons linéaires de ces éléments. Une famille d'éléments de

est définie comme une application d'un ensemble d'indices

, à valeurs dans

$\displaystyle {\cal V} = \big( v_i ,\;i\in I \big)$

Définition 4 Soit un espace vectoriel et ${\cal V}$ une famille de vecteurs de . On appelle sous-espace engendré par ${\cal V}$ l'ensemble des combinaisons linéaires de sous-familles finies quelconques d'éléments de ${\cal V}$ .

On dit que ${\cal V}$ est une famille génératrice pour si le sous-espace engendré par ${\cal V}$ est lui-même.

L'ensemble des combinaisons linéaires d'éléments de ${\cal V}$ est un espace vectoriel, d'après le théorème 3. Le même théorème implique aussi que tout espace vectoriel contenant ${\cal V}$ doit contenir toutes les combinaisons linéaires de ses éléments. Donc le sous-espace engendré par ${\cal V}$ est inclus dans tout sous-espace contenant ${\cal V}$ . Voici quelques exemples de familles avec les espaces qu'elles engendrent.

Complexes
Famille	Espace engendré
$\big( \mathrm{i} \big)$	$\{ z\in\mathbb{C} ,\;$ Re $(z)=0 \}$
$\big( \mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/4} \big)$	$\{ z\in\mathbb{C} ,\;$ ReIm $(z) \}$
$\big( 1,\mathrm{i} \big)$	$\mathbb{C}$

Couples de réels
Famille	Espace engendré
$\big( (0,1) \big)$	$\{ (x,y)\in\mathbb{R}^2 ,\; x=0 \}$
$\big( (1,1) \big)$	$\{ (x,y)\in\mathbb{R}^2 ,x=y \}$
$\big( (0,1),(1,1) \big)$	$\mathbb{R}^2$

Matrices
Famille	Espace engendré
$\left( \left(\begin{array}{cc}0&0 0&0\end{array}\right) \right)$	$\left\{ \left(\begin{array}{cc}0&0 0&0\end{array}\right) \right\}$
$\left( \left(\begin{array}{cc}1&0 0&1\end{array}\right) \right)$	$\left\{ \left(\begin{array}{cc}\lambda&0 0&\lambda\end{array}\right) ,\; \lambda\in\mathbb{R} \right\}$
$\left( \left(\begin{array}{rr}1&-1 0&0\end{array}\right) , \left(\begin{array}{rr}0&0 1&-1\end{array}\right) \right)$	$\left\{ A\in{\cal M}_{2,2}(\mathbb{R}) ,\; A\binom{1}{1}=\binom{0}{0} \right\}$

Suites de réels
Famille	Espace engendré
$\big( (2^n) \big)$	$\{ (u_n) ,\;\forall n ,\;u_{n+1}=2u_n \}$
$\big( (u_n) ,\;\exists n_0 ,\;\forall n\neq n_0 ,\; u_n=0 \big)$	$\{ (u_n) ,\;\exists n_0 ,\;\forall n\geqslant n_0 ,\; u_n=0 \}$
$\big( (u_n) ,\;\forall n ,\;u_n\in[0,1] \big)$	$\{ (u_n) ,\;\exists M ,\;\vert u_n\vert\leqslant M \}$

Polynômes
Famille	Espace engendré
$\big( X \big)$	$\{ \lambda X ,\;\lambda\in\mathbb{R} \big\}$
$\big( 1+X,1-X \big)$	$\{ P\in\mathbb{R}[X] ,\;$ deg $(P)\leqslant 1 \}$
$\big( P\in\mathbb{R}[X] ,\;P(1)=1 \big)$	$\mathbb{R}[X]$

Fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$
Famille	Espace engendré
$\big( \cos \big)$	$\{ \lambda \cos ,\;\lambda\in\mathbb{R} \}$
$\big( \cos,\sin \big)$	$\{ \lambda\cos+\mu\sin ,\;\lambda,\mu\in\mathbb{R} \}$
$\big( f ,\;f(0)=1 \big)$	$\mathbb{R}^\mathbb{R}$

Notre définition de la somme de deux sous-espaces utilise la notion de sous-espace engendré.

Définition 5 Soient un espace vectoriel, et deux sous-espaces vectoriels de . On appelle somme de et , et on note , l'espace engendré par la famille des vecteurs de $F\cup G$ .

Si $F\cap G=\{0\}$ , on dit que la somme est directe, et on la note $F\oplus G$ .

Si $F\oplus G=E$ , on dit que et sont supplémentaires dans .

La justification du terme «somme» et l'intérêt de cette notion résident dans la proposition suivante.

Proposition 4 Soient un espace vectoriel, et deux sous-espaces vectoriels de .

$F+G = \{ v+w ,\;v\in F ,\;w\in G \}$ .
Si $F\cap G=\{0\}$ , alors pour tout vecteur dans $F\oplus G$ il existe un unique couple de vecteurs , tels que $v\in F$ , $w\in G$ et .

La figure 1 illustre la notion de somme directe.

**Figure 1:** Somme directe d'espaces vectoriels et décomposition d'un vecteur de la somme.
$\includegraphics[width=10cm]{somme}$

Démonstration : Tout vecteur de la forme , où $v\in F$ et $w\in G$ , appartient à l'espace engendré par $F\cup G$ . Réciproquement l'espace engendré par $F\cup G$ est formé des combinaisons linéaires d'un nombre quelconque d'éléments de $F\cup G$ . Mais une telle combinaison linéaire peut s'écrire comme la somme de deux combinaisons linéaires : l'une ne contient que des éléments de , et appartient donc à , l'autre ne contient que des éléments de , et appartient donc à .

Dans le cas où la somme est directe, l'existence de la décomposition est démontrée par ce qui précède. Nous devons prouver l'unicité. Supposons , avec $v_1,v_2\in F$ et $w_1,w_2\in G$ . Les deux vecteurs et sont égaux, donc ils appartiennent à la fois à et à . Par hypothèse, $F\cap G=\{0\}$ , donc et . $\square$ Dans l'espace vectoriel $\mathbb{R}[X]$ des polynômes, considérons les deux familles suivantes :

$\displaystyle {\cal V} = \big( X^{2k} ,\;k\in\mathbb{N} \big)$ et $\displaystyle \quad {\cal W} = \big( X^{2k+1} ,\;k\in\mathbb{N} \big)$

Ce sont respectivement les familles des monômes de degrés pairs, et des monômes de degré impair. Soient

les espaces vectoriels engendrés respectivement par ${\cal V}$ et ${\cal W}$ . L'espace vectoriel

contient tous les polynômes constitués uniquement de monômes de degrés pairs : par exemple,

. L'espace vectoriel

contient le polynôme nul, et tous les polynômes constitués uniquement de monômes de degrés impairs : par exemple,

. L'intersection de

est réduite au polynôme nul. De plus, tout polynôme de $\mathbb{R}[X]$ s'écrit (de façon unique) comme somme d'un élément de

et d'un élément de

. Par exemple :

$\displaystyle 1+X+3X^2+2X^3-2X^4-X^5 = \big(1+3X^2-2X^4\big)+\big(X+2X^3-X^5\big)$

Les sous-espaces

sont supplémentaires dans $\mathbb{R}[X]$ .