Équations différentielles linéaires

Les équations différentielles linéaires sont très proches des équations de récurrence traitées ci-dessus. Considérons l'équation ${\cal E}$ :

$$({\cal E})\qquad y^{(d)}(t) = a_0 y(t) + a_1 y'(t) +\cdots+ a_{d-1} y^{(d-1)}(t)\;,$$

où $a_0, a_1,\ldots, a_{d-1}$ sont $d$ coefficients réels, $y$ est une fonction indéfiniment dérivable, et $y^{(k)}$ désigne sa dérivée $k$-ième. Pour connaître la forme des solutions de $({\cal E})$, il faut résoudre l'équation suivante :

$$(ECA)\qquad r^d=a_0+a_1r+\cdots+a_{d-1}r^{d-1}\;.$$

Cette équation porte aussi le nom d'équation caractéristique associée. C'est la condition pour que $y(t)=\mathrm{e}^{r t}$ soit solution de $({\cal E})$.

Le résultat suivant est l'analogue du théorème 9 et sa démonstration est très proche.

Théorème 10   L'ensemble des solutions (réelles ou complexes) de l'équation $({\cal E})$ est un espace vectoriel de dimension $d$ sur $\mathbb{C}$.

Notons $r_1,\ldots,r_k$ les racines (réelles ou complexes) de l'équation caractéristique associée $(ECA)$ et $m_1,\ldots,m_k$ leurs multiplicités. Toute solution de l'équation $({\cal E})$ s'écrit :

$$y(t) = \sum_{i=1}^k \sum_{j=0}^{m_i-1} \lambda_{i,j} t^j \mathrm{e}^{r_i t}\;,$$

où les $d$ coefficients $\lambda_{i,j} ,\;i=1,\ldots,k ,\;j=0,\ldots,m_i\!-\!1$ sont réels ou complexes.

En pratique, pour déterminer une solution vérifiant $d$ conditions particulières, il suffit de calculer ses coefficients $\lambda_{i,j}$ en résolvant un système linéaire ordinaire, de $d$ équations à $d$ inconnues. Exemple : Considérons l'équation suivante :

$$({\cal E})\qquad y'''(t) = y(t)+y'(t)-y''(t)\;.$$

L'équation caractéristique associée est :

$$(ECA)\qquad r^3 = 1+r-r^2\;.$$

Cette équation a pour racines $1$ (racine simple) et $-1$ (racine double). Toute solution de l'équation différentielle s'écrit donc :

$$y(t) = a\mathrm{e}^t+b\mathrm{e}^{-t}+ct\mathrm{e}^{-t}\;.$$

Pour trouver la solution qui vérifie $y(0)=-1$, $y'(0)=1$, $y''(0)=0$, on résout le système suivant.

$$\left\{ \begin{array}{lcr} a+b &=&-1\\ a-b+c&=&1\\ a+b-2c&=&0 \end{array}\right.$$

La solution est $a=1/4$, $b=-5/4$, $c=-1/2$. La fonction cherchée est donc :

$$y(t) = \frac{1}{4} \mathrm{e}^t - \frac{5}{4}\mathrm{e}^{-t} -\frac{1}{2}t \mathrm{e}^{-t}\;.$$

Il se peut que l'équation caractéristique associée admette des racines complexes conjuguées. Supposons que $\lambda=\alpha+\mathrm{i}\beta$ soit racine de $(ECA)$, alors $\overline\lambda = \alpha-\mathrm{i}\beta$ est aussi solution. Donc $\mathrm{e}^{\lambda t}$, $\mathrm{e}^{\overline\lambda t}$ et toutes leurs combinaisons linéaires sont solutions de $({\cal E})$. En particulier :

$$\frac{1}{2}(\mathrm{e}^{\lambda t}+\mathrm{e}^{\overline\lambda t}) = \mathrm{e}^{\alpha t}\cos(\beta t)$$   et$$\quad \frac{1}{2\mathrm{i}}(\mathrm{e}^{\lambda t}- \mathrm{e}^{\overline\lambda t}) = \mathrm{e}^{\alpha t}\sin(\beta t) \;.$$

Parmi les solutions réelles de $({\cal E})$, on trouvera donc toutes les combinaisons linéaires de ces deux fonctions.

L'ensemble des solutions réelles de $({\cal E})$ est un espace vectoriel de dimension $d$ sur $\mathbb{R}$. Exemple : Considérons l'équation suivante.

$$({\cal E})\qquad y''(t)=-y(t)-y'(t)\;.$$

L'équation caractéristique associée est :

$$(ECA)\qquad r^2=-1-r\;.$$

Ses racines sont :

$$j=-\frac{1}{2} + \mathrm{i}\frac{\sqrt 3}{2}$$   et$$\quad \overline j =-\frac{1}{2} - \mathrm{i}\frac{\sqrt 3}{2}\;.$$

Toute solution réelle de l'équation différentielle s'écrit :

$$y(t) = a\mathrm{e}^{-t/2}\cos(t\sqrt 3/2)+b\mathrm{e}^{-t/2}\sin(t\sqrt 3/2)\;.$$

Cette équation pourrait correspondre aux petites oscillations d'un pendule en milieu visqueux. Les solutions trouvées tendent vers 0, avec des oscillations de plus en plus atténuées.