Devoir

Essayez de bien rédiger vos réponses, sans vous reporter ni au cours, ni au corrigé. Si vous souhaitez vous évaluer, donnez-vous deux heures ; puis comparez vos réponses avec le corrigé et comptez un point pour chaque question à laquelle vous aurez correctement répondu.

Questions de cours :  

1. Quand dit-on d'une application $f$ entre deux espaces vectoriels $E$ et $F$ qu'elle est linéaire ?
2. Définir l'image d'une application linéaire $f$.
3. Démontrer qu'une application linéaire $f$ entre deux espaces vectoriels $E$ et $F$ est surjective si et seulement si Im$(f)=F$.
4. Définir le noyau d'une application linéaire $f$.
5. Démontrer qu'une application linéaire $f$ entre deux espaces vectoriels $E$ et $F$ est injective si et seulement si Ker$(f)=\{0\}$.

Exercice 1 : On considère l'espace vectoriel $\mathbb{R}_2[X]$ des polynômes de degrés inférieurs ou égaux à $2$. Soit $f$ l'application de $\mathbb{R}_2[X]$ dans $\mathbb{R}$ qui à $P$ associe $P(1)$.

1. Montrer que $f$ est une application linéaire.

   On note $F=$Ker$(f)$. Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de dimension $2$ de $\mathbb{R}_2[X]$.

2. Montrer que $\big( X-1,X^2-1 \big)$ est une base de $F$.
3. Soit $G$ le sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}_2[X]$, engendré par le polynôme $(X^2+1)$. Montrer que $G$ est un sous-espace vectoriel de dimension $1$ de $\mathbb{R}_2[X]$.
4. On note ${\cal B}= \big( X-1,X^2-1,X^2+1 \big)$. Montrer que ${\cal B}$ est une base de $\mathbb{R}_2[X]$.
5. Ecrire la matrice de l'application $f$ dans la base ${\cal B}$ (au départ) et $(1)$ (à l'arrivée).
6. Déterminer les coordonnées dans la base ${\cal B}$ des polynômes $1$, $X$ et $X^2$.
7. Montrer que $F$ et $G$ sont supplémentaires dans $\mathbb{R}_2[X]$.

   On note $p$ la projection sur $F$ parallèlement à $G$ et $s$ la symétrie par rapport à $F$, parallèlement à $G$.

8. Donner la matrice de $p$ et la matrice de $s$ dans la base ${\cal B}$.
9. Déterminer l'image par $p$ et par $s$ des polynômes $1$, $X$ et $X^2$. En déduire les matrices de $p$ et $s$ dans la base canonique de $\mathbb{R}_2[X]$.

Exercice 2 : Dans $\mathbb{R}^\mathbb{R}$, on considère la famille ${\cal V}$ suivante.

$${\cal V}=\big( x\mapsto \sin(x) , x\mapsto \cos(x) , x\mapsto \sin(2x) , x\mapsto \cos(2x) \big)\;.$$

On note $E$ l'espace vectoriel engendré par ${\cal V}$, et $D$ l'application qui à $f$ associe sa dérivée $f'$.

1. Montrer que ${\cal V}$ est une famille libre.
2. Montrer que $D$ est un endomorphisme de $E$.
3. Montrer que $D$ est un automorphisme de $E$.

Exercice 3 : On considère l'équation de récurrence linéaire d'ordre $2$ suivante.

$$({\cal E})\qquad\qquad u_{n+2}=u_{n+1}-u_n/2\;.$$

1. Ecrire et résoudre l'équation caractéristique associée.
2. Déterminer l'ensemble des solutions réelles de $({\cal E})$.
3. Soit $(u_n)$ la suite solution de $({\cal E})$ telle que $u_0=0$ et $u_1=1$. Donner une expression de $u_n$ en fonction de $n$.