Exercices

Exercice 1   Montrer que les familles suivantes sont libres dans l'espace vectoriel des $\mathbb{R}[X]$ des polynômes à coefficients réels. Décrire l'espace vectoriel que chacune engendre.

1. $\big( X , (X-1) \big)$
2. $\big( X^2 , (X^2-1) \big)$
3. $\big( X^2 , (X-1)^2 , (X-2)^2 \big)$
4. $\big( X^3 , (X+1)^3 , (X-1)^3 \big)$

Exercice 2   Montrer que les familles suivantes sont libres dans l'espace vectoriel des suites de réels.

1. $\big( (1) , (2^n) , (n2^n) \big)$
2. $\big( (1) , (\cos(n\pi/4)) , (\cos(n\pi/2)) \big)$
3. $\big( (1) , (\sin(n\pi/4)) , (\sin(n\pi/2)) \big)$
4. $\big( (1) , (2^n\cos(n\pi/4)) , (n2^n\cos(n\pi/4)) \big)$

Exercice 3   Montrer que la famille $(f,g,h)$ est libre dans l'espace vectoriel des fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, dans les cas suivants.

1. $f : x\mapsto 1\;,\quad g :x\mapsto x\;,\quad h :x\mapsto x^2$
2. $f : x\mapsto 1\;,\quad g :x\mapsto \vert x\vert\;,\quad h :x\mapsto \sqrt{\vert x\vert}$
3. $f : x\mapsto \mathrm{e}^x\;,\quad g :x\mapsto \cos(x)\;,\quad h :x\mapsto \sin(x)$
4. $f : x\mapsto \sin(x)\;,\quad g :x\mapsto \sin(2x)\;,\quad h :x\mapsto \sin(3x)$

Exercice 4   Dans l'espace vectoriel $\mathbb{R}_3[X]$, des polynômes de degrés au plus égal à $3$, on considère les familles suivantes.

$\bullet$

$\big( (1+X^2) )$

$\bullet$

$\big( (1+X^2) , (1-X^2) )$

$\bullet$

$\big( (X+X^2+X^3) , (X-X^2+X^3) )$

$\bullet$

$\big( (1+X) , (1+X^2) , (1-X^2) )$

$\bullet$

$\big( (1+X) , (1+X^3) , (1-X^3) )$

Pour chacune de ces familles :

1. Démontrer que c'est une famille libre.
2. Décrire le sous-espace $F$ engendré par la famille.
3. Compléter la famille en une base de $\mathbb{R}_3[X]$.
4. Déterminer un supplémentaire $G$ du sous-espace engendré $F$.
5. Ecrire chacun des polynômes suivants comme somme d'un polynôme de $F$ et d'un polynôme de $G$.
   $$1\;;\;X\;;\;X^2\;;\;X^3\;;\; 1-X+X^2-X^3\;;\;1+2X+3X^2+4X^3$$

Exercice 5   Soient $E,F,G$ trois sous-espaces d'un même espace vectoriel.

1. Montrer que $E\cap(F+G)\supset (E\cap F)+(E\cap G)$.
2. Montrer que $E+(F\cap G)\subset (E+F)\cap(E+G)$.
3. Montrer que $E\cap(F+(E\cap G)) = (E\cap F)+(E\cap G)$.
4. Trois sous-espaces $E$, $F$, $G$ de $\mathbb{R}^3$ sont définis comme suit.

   $\bullet$

   $E = \big\{ (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 ,\;x=y=0 \big\}$

   $\bullet$

   $F = \big\{ (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 ,\;z=0 \big\}$

   $\bullet$

   $G = \big\{ (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 ,\;x+y+z=0 \big\}$

   Donner la dimension de $E$, $F$, $G$, et de chacun des sous-espaces apparaissant dans les questions 1 à 3.
5. Trois sous-espaces $E$, $F$, $G$ de $\mathbb{R}_2[X]$ sont définis comme suit.

   $\bullet$

   $E = \big\{ P\in\mathbb{R}_2[X] ,\;P''=0 \big\}$

   $\bullet$

   $F = \big\{ P\in\mathbb{R}_2[X] ,\;P'=0 \big\}$

   $\bullet$

   $G = \big\{ P\in\mathbb{R}_2[X]\in\mathbb{R}^3 ,\;P(1)=0 \big\}$

   Donner la dimension de $E$, $F$, $G$, et de chacun des sous-espaces apparaissant dans les questions 1 à 3.
6. Trois sous-espaces $E$, $F$, $G$ de ${\cal M}_{2,2}(\mathbb{R})$ sont définis comme suit.

   $\bullet$

   $E = \big\{ A\in{\cal M}_{2,2}(\mathbb{R}) ,\;$tr$(A)=0 \big\}$

   $\bullet$

   $F = \big\{ A\in{\cal M}_{2,2}(\mathbb{R}) ,\;A\binom{1}{0}=\binom{0}{0} \big\}$

   $\bullet$

   $G = \big\{ A\in{\cal M}_{2,2}(\mathbb{R}) ,\;(1,0)A=(0,0) \big\}$

   Donner la dimension de $E$, $F$, $G$, et de chacun des sous-espaces apparaissant dans les questions 1 à 3.

Exercice 6   Soit $F$ l'ensemble des fonctions paires de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ : ce sont les fonctions $f$ telles que

$$\forall x\in \mathbb{R}\;,\quad f(x)=f(-x)\;.$$

Soit $G$ l'ensemble des fonctions impaires de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ : ce sont les fonctions $f$ telles que

$$\forall x\in \mathbb{R}\;,\quad f(x)=-f(-x)\;.$$

1. Montrer que $F$ et $G$ sont des sous-espaces vectoriels de $E=\mathbb{R}^\mathbb{R}$.
2. Montrer que $F\cap G$ est réduit à la fonction nulle.
3. Soit $f$ une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. On considère les deux fonctions $\phi$ et $\psi$, définies pour tout $x\in \mathbb{R}$ par
   $$\phi(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2}$$   et$$\quad \psi(x) = \frac{f(x)-f(-x)}{2}\;.$$
   Montrer que $\phi\in F$, $\psi\in G$ et $f=\phi+\psi$.
4. En déduire que $\mathbb{R}^\mathbb{R}= F\oplus G$.
5. Soit $p$ la projection sur $F$ parallèlement à $G$ et $s$ la symétrie par rapport à $F$ parallèlement à $G$. Calculer l'image par $p$ et $s$ des fonctions suivantes.
   $$x\mapsto 1+x\;,\quad x\mapsto x^2+2x^3\;,\quad x\mapsto \mathrm{e}^x\;,\quad x\mapsto \mathrm{e}^x+ \mathrm{e}^{-2x}$$

Exercice 7   Soit $E$ un espace vectoriel et $f$ un endomorphisme de $E$.

1. Montrer que les deux propositions suivantes sont équivalentes.
   $$\begin{array}{ll} (1)\qquad&\mbox{Ker}(f) \cap \mbox{Im}(f) ... ... (2)\qquad&\mbox{Ker}(f) = \mbox{Ker}(f\circ f)\;. \end{array}$$

2. Montrer que les deux propositions suivantes sont équivalentes.
   $$\begin{array}{ll} (3)\qquad&\mbox{Ker}(f) + \mbox{Im}(f) = E\;,\\ (4)\qquad&\mbox{Im}(f) = \mbox{Im}(f\circ f)\;. \end{array}$$

3. Montrer que si $E$ est de dimension finie, alors les 4 propositions $(1)$, $(2)$, $(3)$ et $(4)$ sont équivalentes.
4. Vérifier que pour l'application dérivation de $\mathbb{R}[X]$ dans lui-même, $(1)$ et $(2)$ sont fausses, $(3)$ et $(4)$ sont vraies.

Exercice 8   Soit ${\cal M}_{2,2}(\mathbb{R})$ l'espace vectoriel des matrices carrées à deux lignes et deux colonnes, à coefficients réels. Pour chacune des matrices $A$ suivantes.

$$\left(\begin{array}{rr}1&1 0&0\end{array}\right) \;,\; \left(\b... ...1\end{array}\right) \;,\; \left(\begin{array}{rr}-2&1 4&-2\end{array}\right)$$

Soit $f$ l'application de ${\cal M}_{2,2}(\mathbb{R})$ dans lui-même, qui à une matrice carrée $X$ associe $f(X)=AX$.

1. Montrer que $f$ est un endomorphisme de ${\cal M}_{2,2}(\mathbb{R})$.
2. Donner une base de Im$(f)$ et une base de Ker$(f)$.
3. Reprendre l'exercice pour l'application $g$ qui à $X$ associe $g(X)=XA$.

Exercice 9   Soit ${\cal M}_{2,2}(\mathbb{R})$ l'espace vectoriel des matrices carrées à deux lignes et deux colonnes, à coefficients réels. Pour chacun des vecteurs colonnes $v$ suivants.

$$\left(\begin{array}{r}0 0\end{array}\right) \;,\; \left(\begin{... ...}0 1\end{array}\right) \;,\; \left(\begin{array}{rr}2 -1\end{array}\right)$$

Soit $f$ l'application de ${\cal M}_{2,2}(\mathbb{R})$ dans ${\cal M}_{2,1}(\mathbb{R})$, qui à une matrice carrée $X$ associe $f(X)=Xv$.

1. Montrer que $f$ est une application linéaire.
2. Donner une base de Im$(f)$ et une base de Ker$(f)$.
3. Reprendre l'exercice pour l'application $g$ qui à $X$ associe $g(X)={^t\!v}X$.

Exercice 10   Pour tout entier $d\geqslant 1$, on munit l'espace vectoriel $\mathbb{R}_d[X]$ des polynômes de degré $\leqslant d$ en la variable $X$, de la base $\big( 1, X,\ldots,X^d \big)$. On considère les applications $f$ suivantes.

$\bullet$

$f : \mathbb{R}_2[X]\longrightarrow \mathbb{R}_0[X]\;,\quad P(X)\longmapsto f(P)=P(1)$.

$\bullet$

$f : \mathbb{R}_2[X]\longrightarrow \mathbb{R}_2[X]\;,\quad P(X)\longmapsto f(P)(X)=XP'(X)+P(X)$.

$\bullet$

$f : \mathbb{R}_2[X]\longrightarrow \mathbb{R}_2[X]\;,\quad P(X)\longmapsto f(P)(X)=XP'(X)-P(X)$.

$\bullet$

$f : \mathbb{R}_2[X]\longrightarrow \mathbb{R}_2[X]\;,\quad P(X)\longmapsto f(P)(X)=(X^2+1)P'(X)-2XP(X)$.

$\bullet$

$f : \mathbb{R}_3[X]\longrightarrow \mathbb{R}_1[X]\;,\quad P(X)\longmapsto f(P)(X)=P(1)+(X-1)P'(1)$.

$\bullet$

$f : \mathbb{R}_3[X]\longrightarrow \mathbb{R}_3[X]\;,\quad P(X)\longmapsto f(P)(X)=P(X+1)+P(X-1)-2P(X)$.

$\bullet$

$f : \mathbb{R}_3[X]\longrightarrow \mathbb{R}_3[X]\;,\quad P(X)\longmapsto f(P)(X) = 3(X+1)P(X)-(X+1)^2P'(X)$.

Pour chacune de ces applications :

1. Montrer que $f$ est une application linéaire.
2. Calculer l'image par $f$ du polynôme $(X+2)^2$.
3. Donner la matrice de $f$, relative aux bases canoniques.
4. Donner une base de Im$(f)$ et une base de Ker$(f)$.
5. Calculer les coordonnées du polynôme $(X+2)^2$ dans la base de l'espace de départ, effectuer le produit du vecteur obtenu par la matrice de $f$, et vérifier le calcul de la question 2.
6. Reprendre les questions 3 et 5, en remplaçant la base canonique de $\mathbb{R}_d[X]$ par la base :
   $$\big( 1 , (1+X) , (1+X+X^2) ,\ldots, (1+X+\cdots+X^d) \big)$$

Exercice 11   On considère les équations de récurrence linéaires suivantes.

$$\begin{array}{cclcccl} u_{n+2} &=& u_{n+1}+2u_n&\qquad& u_{n... ...{n+1} - 4 u_n&\qquad& u_{n+2} &=& 4 u_{n+1} + 4 u_n \end{array}$$

Pour chacune de ces équations,

1. Déterminer l'ensemble des suites de réels qui la vérifient.
2. Déterminer la suite $(u_n)$ vérifiant l'équation et $u_0=1$, $u_1=-1$.
3. Déterminer la suite $(u_n)$ vérifiant l'équation et $u_0=0$, $u_1=2$.