Vrai ou faux

Vrai-Faux 1   Parmi les sous-ensembles suivants de l'espace vectoriel des suites réelles, lesquels sont des sous-espaces vectoriels, lesquels ne le sont pas et pourquoi ?
  1. $ \boxtimes\;$ Ensemble des suites bornées.
  2. $ \square\;$ Ensemble des suites décroissantes à partir d'un certain rang.
  3. $ \boxtimes\;$ Ensemble des suites périodiques.
  4. $ \boxtimes\;$ Ensemble des suites convergeant vers 0.
  5. $ \square\;$ Ensemble des suites monotones.
  6. $ \square\;$ Ensemble des suites équivalentes à $ 1/n$.
  7. $ \boxtimes\;$ Ensemble des suites dominées par $ 1/n$.
  8. $ \boxtimes\;$ Ensemble des suites négligeables devant $ 1/n$.
  9. $ \square\;$ Ensemble des suites dont le terme général est $ \leqslant 1$ à partir d'un certain rang.

Vrai-Faux 2   Parmi les sous-ensembles suivants de l'espace vectoriel des polynômes, lesquels sont des sous-espaces vectoriels, lesquels ne le sont pas et pourquoi ?
  1. $ \boxtimes\;$ Ensemble des polynômes, nul ou de degré 0.
  2. $ \square\;$ Ensemble des polynômes de degré $ 3$.
  3. $ \boxtimes\;$ Ensemble des polynômes dont le terme constant est nul.
  4. $ \square\;$ Ensemble des polynômes à coefficients positifs ou nuls.
  5. $ \boxtimes\;$ Ensemble des polynômes multiples de $ X-1$.
  6. $ \square\;$ Ensemble des polynômes multiples de $ X-1$ ou $ X+1$.
  7. $ \boxtimes\;$ Ensemble des polynômes multiples de $ X-1$ ou $ X^2-1$.
  8. $ \square\;$ Ensemble des polynômes contenant uniquement des monômes de degrés impairs.
  9. $ \boxtimes\;$ Ensemble des polynômes dont la dérivée est soit nulle, soit formée uniquement de monômes de degrés impairs.

Vrai-Faux 3   Parmi les sous-ensembles suivants de l'espace vectoriel des applications de $ \mathbb{R}$ dans $ \mathbb{R}$, lesquels sont des sous-espaces vectoriels, lesquels ne le sont pas et pourquoi ?
  1. $ \boxtimes\;$ Ensemble des fonctions telles que $ f(0)=f(1)$.
  2. $ \square\;$ Ensemble des fonctions telles que $ f(0)=1$.
  3. $ \boxtimes\;$ Ensemble des fonctions nulles sur l'intervalle $ [0,1]$.
  4. $ \square\;$ Ensemble des fonctions croissantes.
  5. $ \square\;$ Ensemble des fonctions $ f$ telles que $ f^2(x)=f^2(-x)$.
  6. $ \boxtimes\;$ Ensemble des fonctions périodiques de période $ 2\pi$.
  7. $ \boxtimes\;$ Ensemble des fonctions $ f$ telles que la suite $ (f(n))$ tend vers 0.
  8. $ \boxtimes\;$ Ensemble des fonctions dérivables sur $ f$ telles que $ \int_0^1f(x) dx=0$.
  9. $ \square\;$ Ensemble des fonctions dérivables sur $ f$ telles que $ \int_0^1\cos(f(x)) dx=0$.

Vrai-Faux 4   Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?
  1. $ \square\;$ L'intersection de deux sous-espaces vectoriels peut être vide.
  2. $ \square\;$ Si un ensemble contient toutes les droites vectorielles engendrées par ses vecteurs, c'est un espace vectoriel.
  3. $ \boxtimes\;$ Si un ensemble contient tous les plans vectoriels engendrés par deux de ses vecteurs, c'est un espace vectoriel.
  4. $ \boxtimes\;$ Si un ensemble contient toutes les combinaisons linéaires de $ 3$ quelconques de ses vecteurs, alors c'est un espace vectoriel.
  5. $ \square\;$ Si un ensemble contient la somme de deux quelconques de ses vecteurs, c'est un espace vectoriel.
  6. $ \boxtimes\;$ Si l'intersection de deux sous-espaces vectoriels est réduite au vecteur nul, alors leur somme est directe.
  7. $ \boxtimes\;$ La somme de deux droites vectorielles est un plan vectoriel si et seulement si cette somme est directe.
  8. $ \square\;$ Dans un espace de dimension $ 3$, la somme d'une droite vectorielle et d'un plan vectoriel est toujours directe.
  9. $ \boxtimes\;$ Dans un espace de dimension $ 3$, la somme de deux plans vectoriels n'est jamais directe.

Vrai-Faux 5   Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?
  1. $ \boxtimes\;$ $ \mathbb{C}$ est un espace vectoriel de dimension $ 2$ sur $ \mathbb{R}$.
  2. $ \square\;$ L'ensemble des polynômes réels de degré $ \leqslant 3$ est un espace vectoriel de dimension $ 3$ sur $ \mathbb{R}$.
  3. $ \boxtimes\;$ L'ensemble des suites réelles, constantes ou bien périodiques de période $ 3$, est un espace vectoriel de dimension $ 3$ sur $ \mathbb{R}$.
  4. $ \boxtimes\;$ L'ensemble des polynômes à coefficients complexes de degré $ \leqslant 3$ est un espace vectoriel de dimension $ 8$ sur $ \mathbb{R}$.
  5. $ \square\;$ L'ensemble des fonctions de $ \mathbb{R}$ dans $ \{0,1\}$ est un espace vectoriel de dimension $ 2$ sur $ \mathbb{R}$.
  6. $ \boxtimes\;$ L'ensemble des fonctions de $ \{0,1\}$ dans $ \mathbb{R}$ est un espace vectoriel de dimension $ 2$ sur $ \mathbb{R}$.

Vrai-Faux 6   Parmi les applications suivantes de $ \mathbb{R}[X]$ dans $ \mathbb{R}[X]$, lesquelles sont des applications linéaires, lesquelles ne le sont pas et pourquoi ?
  1. $ \boxtimes\;$ $ P(X)\longmapsto P(X+1)-P(X)$
  2. $ \square\;$ $ P(X)\longmapsto P(X+1)-X$
  3. $ \boxtimes\;$ $ P(X)\longmapsto XP(X+1)-P'(X)$
  4. $ \boxtimes\;$ $ P(X)\longmapsto XP(X+1)-P'(1)$
  5. $ \square\;$ $ P(X)\longmapsto XP(X+1)-P^2(1)$

Vrai-Faux 7   Soient $ E$ et $ F$ deux espaces vectoriels et $ f$ une application linéaire de $ E$ dans $ F$. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?
  1. $ \boxtimes\;$ L'image du vecteur nul de $ E$ est le vecteur nul de $ F$.
  2. $ \boxtimes\;$ L'image de $ f$ est un sous-espace vectoriel de $ F$.
  3. $ \square\;$ L'image par $ f$ d'une famille libre dans $ E$ est toujours une famille libre dans $ F$.
  4. $ \boxtimes\;$ L'image par $ f$ d'une famille liée dans $ E$ est une famille liée dans $ F$.
  5. $ \square\;$ L'image par $ f$ d'une famille génératrice dans $ E$ est toujours une famille génératrice dans $ F$.
  6. $ \square\;$ Si $ F$ est de dimension finie alors Ker$  f$ est un sous-espace de dimension finie de $ E$.
  7. $ \boxtimes\;$ Si $ E$ est de dimension finie alors Im$  f$ est un sous-espace de dimension finie de $ F$.
  8. $ \boxtimes\;$ Si $ E$ et $ F$ sont de dimension finie, et dim$ (E)>$dim$ (F)$ alors Ker$ (f)\neq \{0\}$.
  9. $ \square\;$ Si $ E$ et $ F$ sont de dimension finie, et dim$ (E)>$dim$ (F)$ alors $ f$ est surjective.
  10. $ \square\;$ Si $ E$ et $ F$ sont de dimension finie, et dim$ (E)<$dim$ (F)$ alors $ f$ est injective.

Vrai-Faux 8   Soient $ E$ un espace vectoriel, $ F$ et $ G$ deux sous-espaces supplémentaires dans $ E$ (tels que $ F\oplus G=E$). On note :
$ \bullet$
$ p$ la projection sur $ F$ parallèlement à $ G$,
$ \bullet$
$ s$ la symétrie par rapport à $ F$ parallèlement à $ G$,
$ \bullet$
$ p'$ la projection sur $ G$ parallèlement à $ F$,
$ \bullet$
$ s'$ la symétrie par rapport à $ G$ parallèlement à $ F$,
$ \bullet$
$ I$ l'application identique de $ E$.
Parmi les relations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?
  1. $ \boxtimes\;$$ p+p'=I$.
  2. $ \square\;$$ s+s'=I$.
  3. $ \square\;$$ s-s'=2p'$.
  4. $ \boxtimes\;$$ p-p'=s$.
  5. $ \square\;$$ s-p=p'$.
  6. $ \boxtimes\;$$ s+p'=p$.
  7. $ \square\;$ $ p\circ s'=p$.
  8. $ \boxtimes\;$ $ p'\circ s'=p'$.
  9. $ \boxtimes\;$ $ s'\circ s=-I$.
  10. $ \square\;$ $ p'\circ p=I$.


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