Vrai ou faux

Vrai-Faux 1 Parmi les sous-ensembles suivants de l'espace vectoriel des suites réelles, lesquels sont des sous-espaces vectoriels, lesquels ne le sont pas et pourquoi ?

$\boxtimes\;$ Ensemble des suites bornées.
$\square\;$ Ensemble des suites décroissantes à partir d'un certain rang.
$\boxtimes\;$ Ensemble des suites périodiques.
$\boxtimes\;$ Ensemble des suites convergeant vers 0.
$\square\;$ Ensemble des suites monotones.
$\square\;$ Ensemble des suites équivalentes à .
$\boxtimes\;$ Ensemble des suites dominées par .
$\boxtimes\;$ Ensemble des suites négligeables devant .
$\square\;$ Ensemble des suites dont le terme général est $\leqslant 1$ à partir d'un certain rang.

Vrai-Faux 2 Parmi les sous-ensembles suivants de l'espace vectoriel des polynômes, lesquels sont des sous-espaces vectoriels, lesquels ne le sont pas et pourquoi ?

$\boxtimes\;$ Ensemble des polynômes, nul ou de degré 0.
$\square\;$ Ensemble des polynômes de degré .
$\boxtimes\;$ Ensemble des polynômes dont le terme constant est nul.
$\square\;$ Ensemble des polynômes à coefficients positifs ou nuls.
$\boxtimes\;$ Ensemble des polynômes multiples de .
$\square\;$ Ensemble des polynômes multiples de ou .
$\boxtimes\;$ Ensemble des polynômes multiples de ou .
$\square\;$ Ensemble des polynômes contenant uniquement des monômes de degrés impairs.
$\boxtimes\;$ Ensemble des polynômes dont la dérivée est soit nulle, soit formée uniquement de monômes de degrés impairs.

Vrai-Faux 3 Parmi les sous-ensembles suivants de l'espace vectoriel des applications de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ , lesquels sont des sous-espaces vectoriels, lesquels ne le sont pas et pourquoi ?

$\boxtimes\;$ Ensemble des fonctions telles que .
$\square\;$ Ensemble des fonctions telles que .
$\boxtimes\;$ Ensemble des fonctions nulles sur l'intervalle .
$\square\;$ Ensemble des fonctions croissantes.
$\square\;$ Ensemble des fonctions telles que .
$\boxtimes\;$ Ensemble des fonctions périodiques de période $2\pi$ .
$\boxtimes\;$ Ensemble des fonctions telles que la suite tend vers 0.
$\boxtimes\;$ Ensemble des fonctions dérivables sur telles que $\int_0^1f(x) dx=0$ .
$\square\;$ Ensemble des fonctions dérivables sur telles que $\int_0^1\cos(f(x)) dx=0$ .

Vrai-Faux 4 Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

$\square\;$ L'intersection de deux sous-espaces vectoriels peut être vide.
$\square\;$ Si un ensemble contient toutes les droites vectorielles engendrées par ses vecteurs, c'est un espace vectoriel.
$\boxtimes\;$ Si un ensemble contient tous les plans vectoriels engendrés par deux de ses vecteurs, c'est un espace vectoriel.
$\boxtimes\;$ Si un ensemble contient toutes les combinaisons linéaires de quelconques de ses vecteurs, alors c'est un espace vectoriel.
$\square\;$ Si un ensemble contient la somme de deux quelconques de ses vecteurs, c'est un espace vectoriel.
$\boxtimes\;$ Si l'intersection de deux sous-espaces vectoriels est réduite au vecteur nul, alors leur somme est directe.
$\boxtimes\;$ La somme de deux droites vectorielles est un plan vectoriel si et seulement si cette somme est directe.
$\square\;$ Dans un espace de dimension , la somme d'une droite vectorielle et d'un plan vectoriel est toujours directe.
$\boxtimes\;$ Dans un espace de dimension , la somme de deux plans vectoriels n'est jamais directe.

Vrai-Faux 5 Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

$\boxtimes\;$ $\mathbb{C}$ est un espace vectoriel de dimension sur $\mathbb{R}$ .
$\square\;$ L'ensemble des polynômes réels de degré $\leqslant 3$ est un espace vectoriel de dimension sur $\mathbb{R}$ .
$\boxtimes\;$ L'ensemble des suites réelles, constantes ou bien périodiques de période , est un espace vectoriel de dimension sur $\mathbb{R}$ .
$\boxtimes\;$ L'ensemble des polynômes à coefficients complexes de degré $\leqslant 3$ est un espace vectoriel de dimension sur $\mathbb{R}$ .
$\square\;$ L'ensemble des fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\{0,1\}$ est un espace vectoriel de dimension sur $\mathbb{R}$ .
$\boxtimes\;$ L'ensemble des fonctions de $\{0,1\}$ dans $\mathbb{R}$ est un espace vectoriel de dimension sur $\mathbb{R}$ .

Vrai-Faux 6 Parmi les applications suivantes de $\mathbb{R}[X]$ dans $\mathbb{R}[X]$ , lesquelles sont des applications linéaires, lesquelles ne le sont pas et pourquoi ?

$\boxtimes\;$ $P(X)\longmapsto P(X+1)-P(X)$
$\square\;$ $P(X)\longmapsto P(X+1)-X$
$\boxtimes\;$ $P(X)\longmapsto XP(X+1)-P'(X)$
$\boxtimes\;$ $P(X)\longmapsto XP(X+1)-P'(1)$
$\square\;$ $P(X)\longmapsto XP(X+1)-P^2(1)$

Vrai-Faux 7 Soient et deux espaces vectoriels et une application linéaire de dans . Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

$\boxtimes\;$ L'image du vecteur nul de est le vecteur nul de .
$\boxtimes\;$ L'image de est un sous-espace vectoriel de .
$\square\;$ L'image par d'une famille libre dans est toujours une famille libre dans .
$\boxtimes\;$ L'image par d'une famille liée dans est une famille liée dans .
$\square\;$ L'image par d'une famille génératrice dans est toujours une famille génératrice dans .
$\square\;$ Si est de dimension finie alors Ker est un sous-espace de dimension finie de .
$\boxtimes\;$ Si est de dimension finie alors Im est un sous-espace de dimension finie de .
$\boxtimes\;$ Si et sont de dimension finie, et dimdim alors Ker $(f)\neq \{0\}$ .
$\square\;$ Si et sont de dimension finie, et dimdim alors est surjective.
$\square\;$ Si et sont de dimension finie, et dimdim alors est injective.