Développements asymptotiques

On trouve dans les développements limités une idée simple, qui est l'idée de base de toute approximation : pour approcher une fonction au voisinage d'un point, il faut choisir une échelle «d'infiniment petits»(les $x^n$ dans le cas des développements ordinaires). On écrit alors l'approximation souhaitée comme une combinaison linéaire des infiniment petits de l'échelle. Bien d'autres échelles que les $x^n$ sont possibles. On peut aussi transposer la même idée pour des développements au voisinage de $+\infty$, ou encore pour des échelles d'infiniment grands. Nous ne ferons pas de théorie générale des développement asymptotiques dans cette section. Nous nous contenterons d'une liste d'exemples, qui se déduisent tous par composition des développement limités ordinaires. Cette liste est loin d'être exhaustive, mais vous donnera une idée du type de généralisations que l'on peut donner aux polynômes de Taylor. Reprendre vous-même les calculs est un exercice conseillé...

Échelle des $x^\alpha$ au voisinage de $0^+$

$$\sqrt{x+x^2} = \sqrt{x}\sqrt{1+x}= \sqrt{x}\left(1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+o(x^2)\right)$$

$$= x^{1/2}+\frac{x^{3/2}}{2}-\frac{x^{5/2}}{8}+o(x^{5/2})\;.$$

$$\sin(x^{2/3})=x^{2/3}-\frac{x^2}{6}+\frac{x^{10/3}}{120}+o(x^{10/3})\;.$$

Échelle des $x^n\ln^m(x)$ au voisinage de $0^+$

$$\ln(x)\sin(x)=x\ln(x)-\frac{x^3\ln(x)}{6}+\frac{x^5\ln(x)}{120}+o(x^5\ln(x))$$

$$x^{x^2+x} = \exp\big((x^2+x)\ln(x)\big)$$

$$= 1+x\ln(x)+\frac{1}{2}x^2\ln^2(x)+x^2\ln(x)+ \frac{1}{6}x^3\ln^3(x)+x^3\ln^2(x)+o(x^3)\;.$$

Échelle des $x^{-n}$ au voisinage de $+\infty$

$$\frac{x+2}{x^2-1} = \frac{1}{x} \frac{1+\frac{2}{x}}{1-\frac{1}{x^2}}$$

$$= \frac{1}{x}\left(1+\frac{2}{x}\right) \left(1+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^4}+o\left(\frac{1}{x^4}\right)\right)$$

$$= \frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x^3}+\frac{2}{x^4}+ o\left(\frac{1}{x^5}\right)\;.$$

$$\arctan(x) = \frac{\pi}{2}-\arctan\left(\frac{1}{x}\right)$$

$$= \frac{\pi}{2}-\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}+ o\left(\frac{1}{x^3}\right)\;.$$

Échelle des $\mathrm{e}^{-\alpha x}$ au voisinage de $+\infty$

$$\ln(1+\mathrm{e}^{-x})=\mathrm{e}^{-x}-\frac{\mathrm{e}^{-2x}}{2}+ \frac{\mathrm{e}^{-3x}}{3}+o(\mathrm{e}^{-3x})\;.$$

$$\frac{1+\mathrm{e}^{x/3}}{1+\mathrm{e}^{x/2}} = \mathrm{e}^{-x/6}\frac{1+\mathrm{e}^{-x/3}}{1+\mathrm{e}^{-x/2}}$$

$$= \mathrm{e}^{-x/6}\big(1+\mathrm{e}^{-x/3}\big)\big(1-\mathrm{e}^{-x/2}+\mathrm{e}^{-x} +o(\mathrm{e}^{-x})\big)$$

$$= \mathrm{e}^{-x/6}+\mathrm{e}^{-x/2}-\mathrm{e}^{-2x/3}-\mathrm{e}^{-x}+\mathrm{e}^{-7x/6} +o(\mathrm{e}^{-7x/6})\;.$$

Échelle des $x^{-n}$ au voisinage de $0^+$

$$\tan(\pi/2-x) = \frac{1}{\tan(x)}=\frac{1}{x+x^3/3+o(x^3)}$$

$$= \frac{1}{x} \frac{1}{1+x^2/3+o(x^2)}$$

$$= \frac{1}{x}\left(1-\frac{x^2}{3}+o(x^2)\right)$$

$$= \frac{1}{x}-\frac{x}{3}+o(x)\;.$$

$$\frac{\sin(x)}{(1-\cos(x))^2} =$$

$$= \frac{x-x^3/6+x^5/120+o(x^5)}{(x^2/2-x^4/24+x^6/720+o(x^6))^2}$$

$$= \frac{x-x^3/6+x^5/120+o(x^5)}{x^4(1/2-x^2/24+x^6/720+o(x^2))^2}$$

$$= \frac{4}{x^3} \frac{1-x^2/6+x^4/120+o(x^4)}{1-x^2/6+x^4/80+o(x^4)}$$

$$= \frac{1}{4x^3} \left(1-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}+o(x^4)\right) \left(1+\frac{x^2}{6}+\frac{11x^4}{720}+o(x^4)\right)$$

$$= \frac{4}{x^3}-\frac{x}{60}+o(x) \;.$$

Échelle des $x^{-\alpha}$ au voisinage de $0^+$

$$\frac{1}{\sqrt{\ln(1+x)}} = \left(x-\frac{x^2}{2}+ \frac{x^3}{3}+o(x^3)\right)^{-1/2}$$

$$= x^{-1/2}\left(1-\frac{x}{2}+ \frac{x^2}{3}+o(x^2)\right)^{-1/2}$$

$$= x^{-1/2}\left(1+\frac{x}{4}- \frac{7x^2}{96}+o(x^2)\right)$$

$$= x^{-1/2}+\frac{x^{1/2}}{4}-\frac{7x^{3/2}}{96}+o(x^{3/2})\;.$$

$$\frac{\sqrt[3]{\ln(1+x)}}{\sqrt{\sin^3(x)}} = \frac{\big(x-x^2/2+x^3/3+o(x^3)\big)^{1/3}} {\big(x-x^3/6+o(x^3)\big)^{3/2}}$$

$$= x^{-7/6}\frac{\big(1-x/2+x^2/3+o(x^3)\big)^{1/3}} {\big(1-x^2/6+o(x^2)\big)^{3/2}}$$

$$= x^{-7/6}\left(1-\frac{x}{6}+\frac{x^2}{12}+o(x^2)\right) \left(1+\frac{x^2}{4}+o(x^2)\right)$$

$$= x^{-7/6}\left(1-\frac{x}{6}+\frac{x^2}{3}+o(x^2)\right)$$

$$= x^{-7/6}-\frac{x^{-1/6}}{6}+\frac{x^{5/6}}{3}+o(x^{5/6})\;.$$