La formule de Machin

Non, il ne s'agit pas d'un mathématicien aussi inconnu que quelconque, mais bien de John Machin (1680-1751). Pour autant, on ne sait pas grand chose de la date à laquelle il a obtenu sa formule, ni même de la méthode avec laquelle il l'aurait démontrée (si tant est qu'il l'ait démontrée). Elle apparaît dans un livre de William Jones en 1706. Celui-ci dit :

...  dans le cercle, le diamètre est à la circonférence comme $1$ à $\left(\frac{16}{5}-\frac{4}{239}\right) -\frac{1}{3}\left(\frac{16}{5^3}-\frac{4}{239^3}\right)\&c.=3.14159\&c. =\pi$. J'ai reçu cette série (parmi d'autres pour le même but, et tirées du même principe), de l'excellent analyste, et mon ami très estimé, Mr John Machin.

En écriture moderne :

$$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{2k+1}\left(\frac{16}{5^{2k+1}}- \frac{4}{239^{2k+1}}\right)=\pi\;.$$ (4)

Calculer la somme ci-dessus pour une valeur de $n$ raisonnablement élevée permet d'obtenir $\pi$ avec une grande précision. Jones lui-même dit que $\pi$ peut ainsi être calculé «to 100 places; as computed by the accurate and ready pen of the truly ingenious Mr John Machin». D'où vient cette formule (4) ? Tout simplement du développement de la fonction arc tangente connu, bien avant Taylor, de James Gregory (1638-1675).

$$\arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\cdots +\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{2n+1}+o(x^{2n+1})\;.$$

On démontre que pour $\vert x\vert< 1$, $\arctan(x)$ est effectivement limite de ses polynômes de Taylor.

$$\forall x ,\;\vert x\vert<1\;,\quad \arctan(x)=\lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k x^{2k+1}}{2k+1}\;.$$

C'est encore vrai pour $x=1$ :

$$\frac{\pi}{4}=\arctan(1)=\lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{2k+1}\;.$$ (5)

Mais (5) n'est pas très utile : si on calcule la somme pour $n=1000$, on n'obtient que $2$ décimales exactes de $\pi$. Là interviennent les formules trigonométriques, et en particulier :

$$\forall a,b ,\;ab\neq 1\;,\quad \arctan(a)+\arctan(b)=\arctan\left(\frac{a+b}{1-ab}\right)\;.$$

Cela devrait vous suffire pour vérifier que :

$$\arctan(1)=4\arctan\left(\frac{1}{5}\right) -\arctan\left(\frac{1}{239}\right)\;,$$

ce qui est équivalent à la formule de Machin. La convergence est effectivement beaucoup plus rapide : en calculant dans (4) la somme pour $n=10$, on obtient déjà 15 décimales exactes. Sur le même modèle, de nombreuses autres formules de calcul de $\pi$ ont été trouvées. Voici celle de Störmer (1896) :

$$\frac{\pi}{4}=44\arctan\left(\frac{1}{57}\right)+ 7\arctan\left(\... ...-12\arctan\left(\frac{1}{682}\right)+ 24\arctan\left(\frac{1}{12943}\right)\;,$$

et celle de Takano (1982) :

$$\frac{\pi}{4}=12\arctan\left(\frac{1}{49}\right)+ 32\arctan\left(... ...-5\arctan\left(\frac{1}{239}\right)+ 12\arctan\left(\frac{1}{110443}\right)\;.$$

De nos jours, les formules basées sur le développement de la fonction arc tangente sont encore utilisées, ainsi que bien d'autres, dans la course aux décimales de $\pi$ (cf. www.pi314.net). Le record est détenu depuis le 6 décembre 2002 par Kanada et ses collaborateurs avec pas moins de $1 241 100 000 000$ décimales ! Le calcul, effectué à l'aide de la formule de Takano, puis vérifié par celle de Störmer, a pris au total 601 heures et 56 minutes sur un ordinateur Hitachi à 64 processeurs, chacun traitant $14.4 10^9$ opérations par seconde.