Devoir

Essayez de bien rédiger vos réponses, sans vous reporter ni au cours, ni au corrigé. Si vous souhaitez vous évaluer, donnez-vous deux heures ; puis comparez vos réponses avec le corrigé et comptez un point pour chaque question à laquelle vous aurez correctement répondu.

Questions de cours : Soit $n$ un entier.

1. Écrire le développement limité de $x\mapsto 1/(1-x)$ à l'ordre $n$ en 0.
2. Écrire le développement limité de $x\mapsto 1/(1+x)$ à l'ordre $n$ en 0.
3. Écrire le développement limité de $x\mapsto \ln(1+x)$ à l'ordre $n+1$ en 0.
4. Écrire le développement limité de $x\mapsto 1/(1+x^2)$ à l'ordre $2n$ en 0.
5. Écrire le développement limité de $x\mapsto \arctan(x)$ à l'ordre $2n+1$ en 0.

Exercice 1 : 

1. Écrire le développement limité de $x\mapsto 1/\sqrt{1+x}$ à l'ordre $3$ en 0.
2. En déduire le développement limité de $x\mapsto 1/\sqrt{1-x^2}$ à l'ordre $6$ en 0.
3. En déduire le développement limité de $x\mapsto \arcsin(x)$ en 0 à l'ordre $7$.
4. Écrire le développement limité de $x\mapsto x/\sqrt{1-x^2}$ à l'ordre $7$ en 0.
5. On rappelle que la fonction tangente est impaire. Soit :
   $$\tan(x)=a x+b x^3+c x^5+d x^7+o(x^7)\;,$$
   son développement limité en 0 à l'ordre $7$. Calculer en fonction de $a,b,c,d$ le développement limité de $x\mapsto \tan(\arcsin(x))$ à l'ordre $7$ en 0.
6. En utilisant la formule $\tan(\arcsin(x))=x/\sqrt{1-x^2}$, déduire des questions précédentes les valeurs de $a,b,c,d$.
7. Écrire le développement limité de $x\mapsto 1/(1+x^2)$ à l'ordre $6$ en 0.
8. En déduire le développement limité de $x\mapsto \arctan(x)$ à l'ordre $7$ en 0.
9. En utilisant les résultats des questions 6 et 8, vérifier que :
   $$\tan(\arctan(x))=x+o(x^7)\;.$$

Exercice 2 : 

1. Écrire le développement limité de $x\mapsto \mathrm{e}^{3x}-\mathrm{e}^{2x}-\sin(x)$ à l'ordre $2$ en 0.
2. Écrire le développement limité de $x\mapsto \sqrt{1+3x}-\sqrt{1+2x}-x/2$ à l'ordre $2$ en 0.
3. En déduire que :
   $$\lim_{x\to 0} \frac{\mathrm{e}^{3x}-\mathrm{e}^{2x}-\sin(x)} {\sqrt{1+3x}-\sqrt{1+2x}-x/2}=-4\;.$$

Exercice 3 : 

1. Démontrer que $\arcsin(x)-\sinh(x)$ et $\arg\!\sinh(x)-\sin(x)$ sont équivalents à $x^5/15$ au voisinage de 0.
2. Soient $f$ et $g$ deux fonctions telles que :
   $$\lim_{x\to 0} f(x)=\lim_{x\to 0} g(x)=0\;.$$
   Démontrer que, au voisinage de 0 :
   $$\mathrm{e}^{u(x)}-1 \sim u(x) \;,\quad \mathrm{e}^{v(x)}-1 \sim v... ...quad \Big(\mathrm{e}^{u(x)}-\mathrm{e}^{v(x)}\Big) \sim \Big(u(x)-v(x)\Big)\;.$$

3. Déduire des questions précédentes que :
   $$\lim_{x\to 0} \frac{\mathrm{e}^{\arcsin(x)}-\mathrm{e}^{\sinh(x)}} {\mathrm{e}^{\arg\!\sinh(x)}-\mathrm{e}^{\sin(x)}}=1\;.$$