QCM

Donnez-vous une heure pour répondre à ce questionnaire. Les 10 questions sont indépendantes. Pour chaque question 5 affirmations sont proposées, parmi lesquelles 2 sont vraies et 3 sont fausses. Pour chaque question, cochez les 2 affirmations que vous pensez vraies. Chaque question pour laquelle les 2 affirmations vraies sont cochées rapporte 2 points.

Question 1   Soit $ f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant 0, telle que $ f(x)=1+x+o(x^2)$.
\framebox{A}
$ 2f(x)=1+2x+o(x)$.
\framebox{B}
$ f(2x)=1+2x+o(x)$.
\framebox{C}
$ f^2(x)=1+x^2+o(x^2)$.
\framebox{D}
$ f(x^2)=1+x^2+o(x^2)$.
\framebox{E}
$ f(x)-x=o(x^2)$.

Question 2   Soit $ f$ une fonction continue sur un intervalle contenant 0, dérivable en 0. Soit $ P$ le polynôme de Taylor d'ordre $ 1$ de $ f$ en 0.
\framebox{A}
$ P(x)=f(0)+xf'(0)$.
\framebox{B}
Le polynôme de Taylor d'ordre $ 1$ de $ x\mapsto f(x^2)$ en 0 est $ P(x^2)$.
\framebox{C}
Le polynôme de Taylor d'ordre $ 1$ de $ x\mapsto f(x+1)$ en $ -1$ est $ P(x+1)$.
\framebox{D}
Le polynôme de Taylor d'ordre $ 1$ de $ x\mapsto f(x+1)$ en 0 est $ P(x+1)$.
\framebox{E}
Le polynôme de Taylor d'ordre $ 1$ de $ x\mapsto f(\mathrm{e}^x)$ en 0 est $ P(x+1)$.

Question 3   Soient $ f$ et $ g$ deux fonctions, admettant un développement limité d'ordre $ 1$ en 0. On suppose que $ f(0)=g(0)=0$.
\framebox{A}
Le polynôme de Taylor d'ordre $ 1$ en 0 de la fonction $ x\mapsto f(x)g(x)$ est le polynôme nul.
\framebox{B}
La fonction $ x\mapsto f(x)/g(x)$ admet forcément un développement limité d'ordre 0 en 0.
\framebox{C}
La limite quand $ x$ tend vers 0 de $ f(x)/g(x)$ existe forcément.
\framebox{D}
La limite quand $ x$ tend vers 0 de $ (f(x)g(x))/x^2$ existe forcément.
\framebox{E}
La limite quand $ x$ tend vers 0 de $ x^2f(x)/g(x)$ existe forcément.

Question 4   Soient $ f$ et $ g$ deux fonctions telles que au voisinage de 0 :

$\displaystyle f(x)=1+x^2+o(x^2)$   et$\displaystyle \quad
g(x)=1-x^2+o(x^2)\;.
$

\framebox{A}
$ f(x)+g(x)=1+o(x^2)$.
\framebox{B}
$ f(x)-g(x)=2x^2+o(x^2)$.
\framebox{C}
$ f(x)/g(x)=1+o(x^2)$.
\framebox{D}
$ f(x^2)g(x)=1+o(x^4)$.
\framebox{E}
$ f(g(x)-1)=1+x^4+o(x^4)$.

Question 5   Soit $ f$ une fonction de classe $ {\cal C}_\infty$ sur $ \mathbb{R}$. On suppose qu'au voisinage de 0 :

$\displaystyle f(x)=3+2x+x^2+o(x^4)\;.
$

Soit $ F$ la primitive de $ f$ telle que $ F(0)=1$.
\framebox{A}
$ F(x)= 3x+x^2+x^3+o(x^5)$.
\framebox{B}
La dérivée troisième de $ F$ en 0 est nulle.
\framebox{C}
La dérivée seconde de $ f'$ en 0 est nulle.
\framebox{D}
$ F(x)= 1+ 3x+x^2+o(x^2)$.
\framebox{E}
$ f'(x)=2+2x+o(x^4)$.

Question 6   Au voisinage de 0 :
\framebox{A}
$ \displaystyle{\cos(2x)=1-2x^2+\frac{2x^4}{3}+o(x^4)}$.
\framebox{B}
$ \displaystyle{\mathrm{e}^{1+2x}=\mathrm{e}\big(1+2x+2x^2+\frac{4x^3}{3}+o(x^3)\big)}$.
\framebox{C}
$ \displaystyle{\sin(2x)=2x+\frac{4x^3}{3}+o(x^3)}$.
\framebox{D}
$ \displaystyle{\frac{1}{1-2x}=1+2x+2x^2+2x^3+o(x^3)}$.
\framebox{E}
$ \displaystyle{\sqrt{1+2x}=1+x+x^2+o(x^2)}$

Question 7   Soit $ f$ une fonction indéfiniment dérivable sur $ \mathbb{R}$. On suppose que $ f$ est impaire. Les propositions portent sur des développements limités en 0.
\framebox{A}
Dans le développement limité d'ordre $ 2$ de $ x\mapsto f(\cos(x))$, le terme constant est forcément nul.
\framebox{B}
La limite quand $ x$ tend vers 0 de $ f(x)/\sin(x)$ existe forcément.
\framebox{C}
La dérivée quatrième de $ x\mapsto f'(x^2)$ est forcément nulle.
\framebox{D}
La limite quand $ x$ tend vers 0 de $ f'(x)/f''(x)$ existe forcément.
\framebox{E}
Le développement limité de $ x\mapsto f(\sin(x))$ ne contient que des termes de degrés pairs.

Question 8    
\framebox{A}
$ \displaystyle{\lim_{x\to 0} \frac{\sin(2x)}{1-\mathrm{e}^{2x}}=-1}$.
\framebox{B}
$ \displaystyle{\lim_{x\to 0} \frac{\sin(2x)}{\sqrt{1-2x}}=-1}$.
\framebox{C}
$ \displaystyle{\lim_{x\to 0} \frac{\sin(2x)}{1-\sqrt{1-2x}}=-1}$.
\framebox{D}
$ \displaystyle{\lim_{x\to 0} \frac{\sin^2(2x)}{1-\cos(2x)}=2}$.
\framebox{E}
$ \displaystyle{\lim_{x\to 0} \frac{1-\sin^2(2x)}{\cos(2x)}=2}$.

Question 9   Au voisinage de $ 0^+$ :
\framebox{A}
$ \displaystyle{\sqrt{\sin(4x)}=2\sqrt{x}-\frac{8}{3}x^{5/2}+o(x^{5/2})}$.
\framebox{B}
$ \displaystyle{\frac{\sqrt{1-\cos(x)}}{\sqrt{\tan(x)}}=
\sqrt{x}+o(\sqrt{x})}$.
\framebox{C}
$ \displaystyle{x^x=1+x\ln(x)+o(x^2)}$.
\framebox{D}
$ \displaystyle{\sqrt{x}^x=1+\sqrt{x}\ln(x)+o(\sqrt{x})}$.
\framebox{E}
$ \displaystyle{\sqrt{x}^x=1+\frac{1}{2}x\ln(x)+o(x)}$.

Question 10   Au voisinage de $ +\infty$ :
\framebox{A}
$ \displaystyle{\frac{1-x}{1+x}=1-\frac{1}{x}+o\left(\frac{1}{x}\right)}$.
\framebox{B}
$ \displaystyle{\frac{1}{1+x}=1+\frac{1}{x}+o\left(\frac{1}{x}\right)}$.
\framebox{C}
$ \displaystyle{\frac{x+1}{x-1}=1+\frac{2}{x}+o\left(\frac{1}{x}\right)}$.
\framebox{D}
$ \displaystyle{\frac{1}{x^2-1}=1-\frac{1}{x^2}+o\left(\frac{1}{x^2}\right)}$.
\framebox{E}
$ \displaystyle{\frac{x^2}{1-x^2}=-1-\frac{1}{x^2}+o\left(\frac{1}{x^2}\right)}$.

\framebox{\rotatebox{180}{Réponses : 1-BD 2-AC 3-AD 4-BE 5-CD 6-AB 7-BE 8-AD 9-AE 10-CE}}

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