QCM

Donnez-vous une heure pour répondre à ce questionnaire. Les 10 questions sont indépendantes. Pour chaque question 5 affirmations sont proposées, parmi lesquelles 2 sont vraies et 3 sont fausses. Pour chaque question, cochez les 2 affirmations que vous pensez vraies. Chaque question pour laquelle les 2 affirmations vraies sont cochées rapporte 2 points.

Question 1   Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant 0, telle que $f(x)=1+x+o(x^2)$.

$2f(x)=1+2x+o(x)$.

$f(2x)=1+2x+o(x)$.

$f^2(x)=1+x^2+o(x^2)$.

$f(x^2)=1+x^2+o(x^2)$.

$f(x)-x=o(x^2)$.

Question 2   Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle contenant 0, dérivable en 0. Soit $P$ le polynôme de Taylor d'ordre $1$ de $f$ en 0.

$P(x)=f(0)+xf'(0)$.

Le polynôme de Taylor d'ordre $1$ de $x\mapsto f(x^2)$ en 0 est $P(x^2)$.

Le polynôme de Taylor d'ordre $1$ de $x\mapsto f(x+1)$ en $-1$ est $P(x+1)$.

Le polynôme de Taylor d'ordre $1$ de $x\mapsto f(x+1)$ en 0 est $P(x+1)$.

Le polynôme de Taylor d'ordre $1$ de $x\mapsto f(\mathrm{e}^x)$ en 0 est $P(x+1)$.

Question 3   Soient $f$ et $g$ deux fonctions, admettant un développement limité d'ordre $1$ en 0. On suppose que $f(0)=g(0)=0$.

Le polynôme de Taylor d'ordre $1$ en 0 de la fonction $x\mapsto f(x)g(x)$ est le polynôme nul.

La fonction $x\mapsto f(x)/g(x)$ admet forcément un développement limité d'ordre 0 en 0.

La limite quand $x$ tend vers 0 de $f(x)/g(x)$ existe forcément.

La limite quand $x$ tend vers 0 de $(f(x)g(x))/x^2$ existe forcément.

La limite quand $x$ tend vers 0 de $x^2f(x)/g(x)$ existe forcément.

Question 4   Soient $f$ et $g$ deux fonctions telles que au voisinage de 0 :

$$f(x)=1+x^2+o(x^2)$$   et$$\quad g(x)=1-x^2+o(x^2)\;.$$

$f(x)+g(x)=1+o(x^2)$.

$f(x)-g(x)=2x^2+o(x^2)$.

$f(x)/g(x)=1+o(x^2)$.

$f(x^2)g(x)=1+o(x^4)$.

$f(g(x)-1)=1+x^4+o(x^4)$.

Question 5   Soit $f$ une fonction de classe ${\cal C}_\infty$ sur $\mathbb{R}$. On suppose qu'au voisinage de 0 :

$$f(x)=3+2x+x^2+o(x^4)\;.$$

Soit $F$ la primitive de $f$ telle que $F(0)=1$.

$F(x)= 3x+x^2+x^3+o(x^5)$.

La dérivée troisième de $F$ en 0 est nulle.

La dérivée seconde de $f'$ en 0 est nulle.

$F(x)= 1+ 3x+x^2+o(x^2)$.

$f'(x)=2+2x+o(x^4)$.

Question 6   Au voisinage de 0 :

$${\cos(2x)=1-2x^2+\frac{2x^4}{3}+o(x^4)}$$.

$${\mathrm{e}^{1+2x}=\mathrm{e}\big(1+2x+2x^2+\frac{4x^3}{3}+o(x^3)\big)}$$.

$${\sin(2x)=2x+\frac{4x^3}{3}+o(x^3)}$$.

$${\frac{1}{1-2x}=1+2x+2x^2+2x^3+o(x^3)}$$.

$${\sqrt{1+2x}=1+x+x^2+o(x^2)}$$

Question 7   Soit $f$ une fonction indéfiniment dérivable sur $\mathbb{R}$. On suppose que $f$ est impaire. Les propositions portent sur des développements limités en 0.

Dans le développement limité d'ordre $2$ de $x\mapsto f(\cos(x))$, le terme constant est forcément nul.

La limite quand $x$ tend vers 0 de $f(x)/\sin(x)$ existe forcément.

La dérivée quatrième de $x\mapsto f'(x^2)$ est forcément nulle.

La limite quand $x$ tend vers 0 de $f'(x)/f''(x)$ existe forcément.

Le développement limité de $x\mapsto f(\sin(x))$ ne contient que des termes de degrés pairs.

Question 8    

$${\lim_{x\to 0} \frac{\sin(2x)}{1-\mathrm{e}^{2x}}=-1}$$.

$${\lim_{x\to 0} \frac{\sin(2x)}{\sqrt{1-2x}}=-1}$$.

$${\lim_{x\to 0} \frac{\sin(2x)}{1-\sqrt{1-2x}}=-1}$$.

$${\lim_{x\to 0} \frac{\sin^2(2x)}{1-\cos(2x)}=2}$$.

$${\lim_{x\to 0} \frac{1-\sin^2(2x)}{\cos(2x)}=2}$$.

Question 9   Au voisinage de $0^+$ :

$${\sqrt{\sin(4x)}=2\sqrt{x}-\frac{8}{3}x^{5/2}+o(x^{5/2})}$$.

$${\frac{\sqrt{1-\cos(x)}}{\sqrt{\tan(x)}}= \sqrt{x}+o(\sqrt{x})}$$.

$${x^x=1+x\ln(x)+o(x^2)}$$.

$${\sqrt{x}^x=1+\sqrt{x}\ln(x)+o(\sqrt{x})}$$.

$${\sqrt{x}^x=1+\frac{1}{2}x\ln(x)+o(x)}$$.

Question 10   Au voisinage de $+\infty$ :

$${\frac{1-x}{1+x}=1-\frac{1}{x}+o\left(\frac{1}{x}\right)}$$.

$${\frac{1}{1+x}=1+\frac{1}{x}+o\left(\frac{1}{x}\right)}$$.

$${\frac{x+1}{x-1}=1+\frac{2}{x}+o\left(\frac{1}{x}\right)}$$.

$${\frac{1}{x^2-1}=1-\frac{1}{x^2}+o\left(\frac{1}{x^2}\right)}$$.

$${\frac{x^2}{1-x^2}=-1-\frac{1}{x^2}+o\left(\frac{1}{x^2}\right)}$$.