Cauchy raconte l'histoire

Dans quel domaine des mathématiques connues au début du XIX^e siècle Cauchy (1789-1857) n'a-t-il pas laissé sa trace ? Euh... je n'en connais pas ! Les déterminants, sont le sujet de l'un de ses premiers travaux : «Mémoire sur les fonctions qui ne peuvent obtenir que deux valeurs égales et de signes contraires par suite des transpositions opérées entre les variables qu'elles renferment». Soixante dix neuf pages magistrales écrites en 1812 et parues au Journal de l'École Polytechnique en 1815. La première partie, «Fonctions symétriques alternées» débute comme ce chapitre : décomposition d'une permutation en cycles, en produits de transpositions, etc. Cauchy en vient ensuite au vif du sujet. Comme il commence par brosser un historique du domaine, tant vaut en profiter. Remarquez qu'il ne cite ni Takakazu (nous l'excuserons), ni Leibniz ; mais Laplace, Vandermonde et Bézout ne semblaient pas non plus conscient de ces travaux, réalisés plus d'un siècle auparavant, mais peu diffusés.

Je vais maintenant examiner particulièrement une certaine espèce de fonctions symétriques alternées qui s'offrent d'elles-mêmes dans un grand nombre de recherches analytiques. C'est au moyen de ces fonctions qu'on exprime les valeurs générales des inconnues que renferment plusieurs équations du premier degré. Elles se représentent toutes les fois qu'on a des équations de condition à former, ainsi que dans la théorie générale de l'élimination. MM. Laplace et Vandermonde les ont considérées sous ce rapport dans les Mémoires de l'Académie des Sciences (année 1772) et M. Bézout les a encore examinées depuis sous le même point de vue dans sa Théorie des équations. M. Gauss s'en est servi avec avantage dans ses Recherches analytiques pour découvrir les propriétés générales des formes du second degré, c'est-à-dire des polynômes du second degré à deux ou à plusieurs variables, et il a désigné ces mêmes fonctions sous le nom de déterminants. Je conserverai cette dénomination qui fournit un moyen facile d'énoncer les résultats ; j'observerai seulement qu'on donne aussi quelquefois aux fonctions dont il s'agit le nom de résultantes à deux ou à plusieurs lettres. Ainsi les deux expressions suivantes, déterminant et résultante devront être regardées comme synonymes.