Vrai ou faux

Vrai-Faux 1 La signature de la permutation proposée est : vrai ou faux et pourquoi ?

$\square\;$ $\left(\begin{array}{ccccc} 1&2&3&4&5 1&3&2&4&5 \end{array}\right)$
$\boxtimes\;$ $\left(\begin{array}{ccccc} 1&2&3&4&5 2&1&3&5&4 \end{array}\right)$
$\square\;$ $\left(\begin{array}{ccccc} 1&2&3&4&5 2&3&4&1&5 \end{array}\right)$
$\square\;$ $\left(\begin{array}{ccccc} 1&2&3&4&5 4&5&3&2&1 \end{array}\right)$
$\square\;$ $\left(\begin{array}{ccccc} 1&2&3&4&5 3&5&4&1&2 \end{array}\right)$
$\boxtimes\;$ $\left(\begin{array}{ccccc} 1&2&3&4&5 3&2&4&1&5 \end{array}\right)$
$\boxtimes\;$ $\left(\begin{array}{ccccc} 1&2&3&4&5 3&1&4&5&2 \end{array}\right)$

Vrai-Faux 2 Soient 4 vecteurs quelconques de $\mathbb{R}^4$ . On note $\mathrm{det}$ le déterminant dans la base canonique de $\mathbb{R}^4$ . Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

$\boxtimes\;$ Si alors $\mathrm{det}(v_1,v_2,v_3,v_4)=0$ .
$\square\;$ Si alors $\mathrm{det}(v_1,v_2,v_3,v_4)=-2$ .
$\square\;$ $\mathrm{det}(v_1,v_3,v_4,v_2)=-\mathrm{det}(v_1,v_2,v_3,v_4)$
$\boxtimes\;$ $\mathrm{det}(v_1,2v_2,3v_4,4v_4)=24 \mathrm{det}(v_1,v_2,v_3,v_4)$
$\square\;$ $\mathrm{det}(v_1+v_3,v_2,v_1+v_3,v_4)=2 \mathrm{det}(v_1,v_2,v_3,v_4)$
$\boxtimes\;$ $\mathrm{det}(v_1+3v_3,v_2,v_3,v_4)=\mathrm{det}(v_1,v_2,v_3,v_4)$
$\boxtimes\;$ $\mathrm{det}(v_1+3v_3,v_2,v_3,v_4-v_2)=\mathrm{det}(v_1,v_2,v_3,v_4)$
$\square\;$ $\mathrm{det}(3v_1+v_3,v_2,v_3,v_4-v_2)=\mathrm{det}(v_1,v_2,v_3,v_4)$
$\boxtimes\;$ $\mathrm{det}(2v_1+v_3,v_2,v_3,2v_4-v_2)=4 \mathrm{det}(v_1,v_2,v_3,v_4)$

Vrai-Faux 3 Soit un entier supérieur ou égal à . On considère un -uplet de vecteurs de $\mathbb{R}^n$ . Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

$\square\;$ Si on remplace l'un des vecteurs par une combinaison linéaire des autres le déterminant est inchangé.
$\square\;$ Si on soustrait au premier vecteur la somme de tous les vecteurs, le déterminant est inchangé.
$\boxtimes\;$ Si on soustrait le premier vecteur à chacun des autres, le déterminant est inchangé.
$\boxtimes\;$ Si on multiplie les deux premiers vecteurs par , le déterminant est inchangé.
$\square\;$ Si on multiplie chacun des vecteurs par , le déterminant est multiplié par .
$\boxtimes\;$ Si on ajoute au dernier vecteur la somme de tous les vecteurs, le déterminant est multiplié par .
$\boxtimes\;$ Si on échange deux des vecteurs, le déterminant est changé en son opposé.

Vrai-Faux 4 Soit une matrice carrée de taille $n\times n$ ( $n\geqslant 2$ ). Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

$\boxtimes\;$ $\vert A\vert=\vert{^t\!A}\vert$
$\square\;$ $\vert 2A\vert=2\vert A\vert$
$\boxtimes\;$ $\vert-A\vert=(-1)^n \vert A\vert$
$\square\;$ $\vert A+{^t\!A}\vert=2\vert A\vert$
$\boxtimes\;$ Si est diagonale, son déterminant est le produit des coefficients diagonaux.
$\boxtimes\;$ Si est triangulaire, son déterminant est le produit des coefficients diagonaux.
$\square\;$ Si est diagonale par blocs, son déterminant est le produit des coefficients diagonaux.
$\boxtimes\;$ Si une des lignes de est combinaison linéaire des autres, alors $\vert A\vert=0$ .
$\boxtimes\;$ Si on ajoute à la première ligne de une combinaison linéaire des autres, le déterminant est inchangé.
$\square\;$ Si on soustrait de la dernière ligne de la somme de toutes les lignes, le déterminant est inchangé.

Vrai-Faux 5 Soient et deux entiers tels que $1\leqslant r<n$ . Soit une matrice carrée de taille $n\times n$ . Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

$\boxtimes\;$ est inversible si et seulement si son déterminant est non nul.
$\square\;$ est de rang si et seulement si au moins un des mineurs d'ordre est non nul.
$\square\;$ Si est de rang alors tous les mineurs d'ordre sont non nuls.
$\boxtimes\;$ Si est de rang alors tous les mineurs d'ordre sont nuls.
$\boxtimes\;$ Si tous les mineurs d'ordre sont nuls, alors est de rang strictement inférieur à .
$\square\;$ S'il existe un mineur d'ordre non nul, alors est de rang
$\boxtimes\;$ S'il existe un mineur d'ordre non nul, alors est de rang au moins