Taux d'accroissement et dérivée

On considère une fonction $f$, de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, définie sur un intervalle ouvert $I$. Soit $a$ un point de $I$.

Définition 1   On appelle taux d'accroissement de $f$ en $a$, la fonction $\tau_a$ suivante.

$$\begin{array}{rcl} &\tau_a&\\ I\setminus\{a\}&\longrightarr... ...&\displaystyle{\tau_a(x)= \frac{f(x)-f(a)}{x-a}}\;. \end{array}$$

Si $x\in I\setminus\{a\}$, la valeur de $\tau_a(x)$ est le rapport de l'accroissement de la fonction, $f(x)-f(a)$, à l'accroissement de la variable $x-a$. Sur le graphe de la fonction, c'est la pente de la droite passant par les points du graphe $(a,f(a)$ et $(x,f(x))$. Cette droite s'appelle une sécante. Si $I$ est un intervalle de temps et $f(x)$ désigne la position d'un point mobile au temps $x$, $\tau_a(x)$ est la vitesse moyenne du mobile sur l'intervalle $[a,x]$ (distance parcourue divisée par le temps de parcours).

Définition 2   On dit que $f$ est dérivable en $a$ si le taux d'accroissement $\tau_a(x)$ converge, quand $x$ tend vers $a$. Si c'est le cas, sa limite est la dérivée de $f$ en $a$ et se note $f'(a)$.

$$f'(a) = \lim_{x\rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\;.$$

La dérivée de $f$ est la fonction $f'$, qui à un point associe la dérivée de $f$ en ce point, si elle existe.

Géométriquement, la valeur de la dérivée en $a$ est la pente de la tangente en $a$ à la courbe d'équation $y=f(x)$ (figure 1). Si $f(x)$ est la position d'un mobile à l'instant $x$, $f'(a)$ est sa vitesse instantanée à l'instant $a$.

Figure 1: Sécantes et tangente en $a$ à la courbe d'équation $y=f(x)$.

Voici deux cas particuliers.

$\bullet$

Si $f$ est constante, ses taux d'accroissements sont nuls, et donc sa dérivée en tout point est nulle.

$$\forall x\in I ,\;f(x)=\lambda\;\Longrightarrow\; \forall x\in I ,\; f'(x)=0\;.$$

$\bullet$

Si $f$ est linéaire, ses taux d'accroissements sont constants, et donc sa dérivée en tout point est constante.

$$\forall x\in I ,\;f(x)=\lambda x\;\Longrightarrow\; \forall x\in I ,\; f'(x)=\lambda\;.$$

Il est souvent commode de se ramener à des limites en 0, en écrivant :

$$f'(a) = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}\;.$$

Voici une écriture équivalente.

Proposition 1   La fonction $f$ admet $f'(a)$ comme dérivée en $a$ si et seulement si, au voisinage de 0 pour $h$ :

$$f(a+h) = f(a)+hf'(a)+o(h)\;.$$

Démonstration : Le taux d'accroissement $\tau_a(x)$ admet $f'(a)$ pour limite en $a$ si et seulement si :

$$\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}-f'(a) = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a)-hf'(a)}{h}=0\;.$$

Par définition, ceci équivaut à dire que $f(a+h)-f(a)-hf'(a)$ est négligeable devant $h$, au voisinage de 0 :

$$f(a+h)-f(a)-hf'(a)=o(h)\;.$$

$\square$

Définition 3   On dit que la fonction $f$ admet un développement limité d'ordre 1 en $a$ si :

$$f(a+h) = f(a)+hf'(a)+o(h)\;.$$

Dire que $f$ admet un développement limité d'ordre $1$ au voisinage de 0, c'est donner une approximation : on affirme par là que, si $h$ est petit, $f(a+h)$ peut être approché par la valeur de $f$ en $a$, $f(a)$, plus un terme linéaire $hf'(a)$. La différence entre $f(a+h)$ et cette approximation est négligeable devant $h$. Si $f$ est dérivable en $a$, elle est nécessairement continue en ce point.

Proposition 2   Si $f$ est dérivable en $a$, alors $f$ est continue en $a$.

Démonstration : Écrivons le développement limité d'ordre $1$ :

$$f(a+h) = f(a)+hf'(a)+o(h)\;.$$

On en déduit

$$\lim_{h\rightarrow 0} f(a+h)=f(a)\;,$$

ce qui équivaut à :

$$\lim_{x\rightarrow a} f(x)=f(a)\;.$$

$\square$ Voici un premier exemple.

Proposition 3   Soit $n\in \mathbb{Z}$ un entier fixé. La fonction $f : x \mapsto x^n$ est dérivable en tout point $a$ où elle est définie, et :

$$f'(a)= na^{n-1}\;.$$

Démonstration : Si $n=0$ la fonction est constante et sa dérivée est nulle. Supposons $n> 0$. Écrivons le taux d'accroissement de $f$ en $a$. Pour $x\neq a$ :

$$\frac{f(x)-f(a)}{x-a} = \frac{x^n-a^n}{x-a} = \sum_{i=0}^{n-1} x^i a^{n-1-i}\;.$$

La somme contient $n$ termes, dont chacun tend vers $a^{n-1}$ quand $x$ tend vers $a$.

Considérons maintenant la fonction $g :x\mapsto x^{-n}$, définie pour $x\neq 0$. Son taux d'accroissement en $a\neq 0$ s'écrit :

$$\frac{g(x)-g(a)}{x-a}= \frac{(\frac{1}{x})^{n}-(\frac{1}{a})^{n}}... ...m_{i=0}^{n-1} \left(\frac{1}{x}\right)^i \left(\frac{1}{a}\right)^{n-1-i}\;.$$

La somme contient $n$ termes, dont chacun tend vers $(1/a)^{n-1}$ quand $x$ tend vers $a$. Le taux d'accroissement a donc pour limite

$$g'(a)=-n a^{-n+1-2}=-n a^{-n-1}\;.$$

$\square$ Prenons par exemple $n=3$ et $a=1$. On obtient :

$$(1+h)^3 = 1+3h+o(h)\;.$$

L'expression exacte est :

$$(1+h)^3= 1+3h+3h^2+h^3\;.$$

Si $h$ est petit (pensez $h=10^{-3}$), la valeur approchée $1+3h$ est effectivement très proche de la valeur exacte $(1+h)^3$. Il peut se faire que le taux d'accroissement admette seulement une limite unilatérale en $a$, auquel cas on parle de dérivée à gauche ou de dérivée à droite.

Définition 4   On dit que $f$ est dérivable à gauche (respectivement : dérivable à droite) en $a$ si le taux d'accroissement $\tau_a(x)$ admet une limite à gauche (respectivement : à droite) en $a$. Si c'est le cas, sa limite est la dérivée à gauche de $f$ en $a$ (respectivement : dérivée à droite de $f$ en $a$).

Considérons par exemple la fonction valeur absolue $f :x\mapsto \vert x\vert$. Son taux d'accroissement en 0 est :

$$\tau_0(x) = \frac{\vert x\vert}{x} =\left\{ \begin{array}{rcl} -1&\mbox{si}&x<0\\ 1&\mbox{si}&x>0\;. \end{array}\right.$$

La fonction $f$ n'est donc pas dérivable en 0, mais elle admet une dérivée à gauche égale à $-1$, et une dérivée à droite égale à $1$.

Il se peut aussi que la fonction ne soit définie que sur un intervalle dont $a$ est une borne, auquel cas, on ne peut espérer qu'une dérivée unilatérale. Considérons la fonction suivante.

$$\begin{array}{rcl} &f&\\ ]-\infty,1]&\longrightarrow&\mathb... ...x&\longmapsto&\displaystyle{f(x)=\sqrt{x^2-x^3}}\;. \end{array}$$

Son taux d'accroissement en 0 est défini, pour $x\in ]-\infty,1]$, par

$$\tau_0(x) = \frac{f(x)-f(0)}{x}=\frac{\sqrt{x^2-x^3}}{x} = \frac{\vert x\vert}{x}\sqrt{1-x}\;,$$

et donc :

$$\lim_{x\rightarrow 0^-} \tau_0(x)=-1$$   et$$\quad \lim_{x\rightarrow 0^+} \tau_0(x)=1\;.$$

La fonction $f$ admet une dérivée à gauche et une dérivée à droite en 0, mais elles sont différentes : $f$ n'est pas dérivable en 0.

Considérons maintenant le taux d'accroissement en $1$. Pour $x\in[0,1[$, il vaut :

$$\tau_1(x) = \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \frac{\sqrt{x^2-x^3}}{x-1} =\frac{x}{-\sqrt{1-x}}\;,$$

et donc :

$$\lim_{x\rightarrow 1^-} \tau_1(x) = -\infty\;.$$

La fonction $f$ n'admet pas de dérivée à gauche en $1$. Le fait que la limite du taux d'accroissement soit $-\infty$ se traduit par une tangente verticale à la courbe représentative (figure 2).

Figure: Courbe représentative de $x\mapsto \sqrt{x^2-x^3}$.