Une construction de l'exponentielle et du logarithme

Le logarithme népérien vous a sans doute été présenté comme la primitive de la fonction $x\mapsto 1/x$ qui s'annule en $1$, et l'exponentielle comme sa fonction réciproque. On en déduit alors les propriétés de ces deux fonctions. Nous allons voir une autre définition.

Le but de ce qui suit est de construire les fonctions exponentielle et logarithme, et d'en démontrer les principales propriétés, à partir de la propriété fondamentale de l'exponentielle, qui est de transformer les sommes en produit.

$$\forall x,y\in \mathbb{R}\;,\quad f(x+y)=f(x)f(y)\;.$$ (3)

Cette construction illustrera l'utilisation des outils de base de l'analyse : limites, continuité, dérivabilité, convexité. Dans un premier temps, nous raisonnerons par condition nécessaire, en supposant l'existence d'une fonction $f$ vérifiant (3), pour en déduire ses propriétés.

Proposition 10   Soit $f$ une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, vérifiant (3). Alors :

1. Si $f$ s'annule en un point, alors $f$ est identiquement nulle sur $\mathbb{R}$.
2. Si $f$ ne s'annule pas, alors $f(0)=1$ et pour tout $x\in \mathbb{R}$ :
   $$f(-x) = \frac{1}{f(x)}$$

3. Pour tout $x\in \mathbb{R}$, pour tout $n\in\mathbb{N}$ :
   $$f(n x) = (f(x))^n\;.$$

Démonstration : Si $f(x)=0$, alors pour tout $y\in\mathbb{R}$,

$$f(y)=f(y-x+x)=f(y-x)f(x)=0\;.$$

Donc, soit $f$ est identiquement nulle, soit elle ne s'annule jamais. Comme $f(x+0)=f(x)f(0)$, si $f(x)\neq 0$, alors $f(0)=1$. Ensuite, $f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)$, d'où le point 2. Le point 3 se vérifie aussi facilement, par récurrence sur $n$. $\square$

Proposition 11   Soit $f$ une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, non nulle, continue en 0, et vérifiant (3). Alors $f$ est :

1. strictement positive,
2. continue sur $\mathbb{R}$,
3. convexe sur $\mathbb{R}$,
4. dérivable sur $\mathbb{R}$ et :
   $$\forall x\in \mathbb{R}\;,\quad f'(x) = f(x)f'(0)\;.$$

Démonstration : D'après la proposition 10, si $f$ est non nulle, alors $f(0)=1$. Comme $f$ est continue en 0, il existe $\eta>0$ tel que pour tout $x\in ]-\eta,\eta[$, $f(x)>0$. Soit $y\in\mathbb{R}$ quelconque ; il existe $n\in\mathbb{N}$ tel que $y/n\in ]- \eta,\eta[$. D'après le point 3 de la proposition 10, $f(y)=(f(y/n))^n>0$.

Montrons maintenant la continuité en un point $x$ quelconque de $\mathbb{R}$.

$$\lim_{h\rightarrow 0} f(x+h) = \lim_{h\rightarrow 0} f(x)f(h) = f(x)\lim_{h\rightarrow 0} f(h) = f(x)\;,$$

car $f$ est continue en 0 et $f(0)=1$.

La démonstration de la convexité est plus difficile. Nous souhaitons montrer que pour tout $x<y$, et pour tout $\lambda\in[0,1]$,

$$f(\lambda x+(1-\lambda)y)\leqslant \lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)\;.$$ (4)

Nous allons d'abord montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}^*$,

$$\forall (x_1,\ldots,x_n)\in \mathbb{R}^n\;,\quad f\left(\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}\right)\leqslant \frac{f(x_1)+\cdots+f(x_n)}{n}\;.$$ (5)

D'après (3) et le point 3 de la proposition 10,

$$\forall (x_1,\ldots,x_n)\in \mathbb{R}^n\;,\quad f\left(\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}\right)= \left(\prod_{i=1}^n f(x_i)\right)^{1/n}$$

On pourrait en déduire (5), en utilisant...  la concavité du logarithme, que nous sommes précisément en train de construire. Ce ne serait pas de jeu !

Nous allons démontrer (5) par récurrence sur $n$. Observons d'abord que (5) est trivialement vraie pour $n=1$. Vérifions qu'elle est vraie pour $n=2$. D'après (3) et puisque $f$ est strictement positive, on a :

$$f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right) = \sqrt{f(x_1)f(x_2)}\;.$$

Il est facile de vérifier que si $a$ et $b$ sont deux réels positifs, alors $\sqrt{ab}\leqslant \frac{a+b}{2}$, d'où (5) pour $n=2$. Nous en déduisons ensuite que si (5) est vraie pour un entier $n$, alors elle est vraie pour $2n$. En effet :

$$\begin{array}{l} \displaystyle{ f\left(\frac{x_1+\cdots+x_n+... ...+\cdots+f(x_n)+f(x_{n+1})+\cdots+f(x_{2n})}{2n}}\;. \end{array}$$

Montrons maintenant que si (5) est vraie pour un entier $m\geqslant 2$, alors elle est vraie pour $m\!-\!1$.

$$f\left(\frac{x_1+\cdots+x_{m-1}}{m-1}\right) = f\left(\frac{x_1+\cdots+x_{m-1}+\frac{x_1+\cdots+x_{m-1}}{m-1}}{m}\right)$$

$$\leqslant \frac{1}{m}\left(f(x_1)+\cdots+f(x_{m-1})+ f\left(\frac{x_1+\cdots+x_{m-1}}{m-1}\right)\right)\;.$$

Soit en regroupant les termes :

$$f\left(\frac{x_1+\cdots+x_{m-1}}{m-1}\right)\left(1-\frac{1}{m}\right) \leqslant \frac{1}{m}\Big(f(x_1)+\cdots+f(x_{m-1})\Big)\;,$$

d'où le résultat pour $m\!-\!1$. Maintenant, si (5) est vraie pour un entier $n$, elle est vraie pour $2n$, et d'après ce qui précède, aussi pour $2n\!-\!1$, $2n\!-\!2$, ..., $n+1$. Elle est donc vraie pour tout $n$.

Soient $p$ et $q$ deux entiers positifs tels que $p<q$, et $x,y$ deux réels tels que $x<y$. Appliquons (5) pour $n=q$, $x_1=\cdots=x_p=x$, et $x_{p+1}=\cdots=x_{q}=y$. On obtient :

$$f\left(\frac{p}{q}x+(1-\frac{p}{q})y\right) \leqslant \frac{p}{q}f(x) +(1-\frac{p}{q})f(y)\;,$$

soit (4) pour $\lambda=\frac{p}{q}$. Donc (4) est vraie pour tout $\lambda$ rationnel. Mais tout réel étant limite d'une suite de rationnels, et la fonction $f$ étant continue, (4) est aussi vraie pour tout $\lambda$ réel, donc $f$ est convexe.

La dérivabilité se déduit de la convexité, en utilisant la propriété (3). Commençons par montrer que $f$ est dérivable en 0. Considérons la fonction $\varphi$, qui à $h\in\mathbb{R}^*$ associe l'accroissement :

$$\varphi(h) = \frac{f(h)-f(0)}{h-0} = \frac{f(h)-1}{h}\;.$$

La fonction $f$ étant convexe, ses accroissements sont croissants, donc la fonction $\varphi$ admet une limite à gauche et une limite à droite en 0. La fonction $f$ est donc dérivable à gauche et à droite en 0. Nous devons montrer que les deux dérivées sont égales. Pour cela, calculons $\varphi(-h)$, en utilisant le point 2 de la proposition 10.

$$\varphi(-h) = \frac{f(-h)-1}{-h} = \frac{\frac{1}{f(h)}-1}{-h} = \frac{1}{f(h)}\varphi(h)\;.$$

Or quand $h$ tend vers 0, $\frac{1}{f(h)}$ tend vers $1$, par continuité de $f$ en 0. Donc la limite à gauche de $\varphi$ en 0 est égale à sa limite à droite, ce qui entraîne que $f$ est dérivable en 0. Pour en déduire la dérivabilité en un point $x$ quelconque de $\mathbb{R}$, il suffit d'appliquer une fois de plus la propriété (3) :

$$\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = f(x)\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(h)-1}{h} = f(x)f'(0)\;.$$

Puisque $f$ est strictement positive, $f'(x)=f(x)f'(0)$ est de signe constant. La fonction $f$ est :

• strictement croissante si $f'(0)>0$,
• constante (et égale à $1$) si $f'(0)=0$,
• strictement décroissante si $f'(0)<0$.

$\square$ Jusqu'ici nous n'avons raisonné que par condition nécessaire : rien ne prouve encore qu'il existe des fonctions $f$ vérifiant les hypothèses des deux propositions précédentes.

Proposition 12   Pour tout $a>0$, il existe une unique fonction $f$, continue en 0, vérifiant (3), et telle que $f(1)=a$.

Démonstration : La fonction qui répond à la question est évidemment celle qui à $x\in \mathbb{R}$ associe $f_a(x)=a^x$. Encore faut-il préciser sa définition, et montrer qu'elle est la seule.

Si $n$ est un entier positif, $a^n$ est le produit de $n$ facteurs égaux à $a$, et $a^{-n}=1/{a^n}$. La fonction qui à $a$ associe $a^n$ est strictement croissante et bijective de $\mathbb{R}^+$ dans $\mathbb{R}^+$. Donc sa réciproque est aussi strictement croissante et bijective de $\mathbb{R}^+$ dans $\mathbb{R}^+$. Si $a$ est un réel positif, le réel $b$ tel que $b^n=a$ est donc défini de façon unique, et on convient de le noter $a^{\frac{1}{n}}$, de sorte que $(a^{\frac{1}{n}})^n=a$. Si $x=\frac{p}{q}$ est un rationnel, nous savons donc définir $a^x=(a^{\frac{1}{q}})^p$. Cette définition, et les propriétés des puissances entières, entraînent que la propriété (3) est vérifiée pour tout couple $(x,y)$ de rationnels : $a^{x+y} = a^xa^y$.

Nous souhaitons étendre la définition de $a^x$ à tous les réels, par continuité. Observons d'abord que nous pouvons, sans perte de généralité, supposer que $a>1$ et $x>0$, grâce à la propriété $a^{-x} = (a^x)^{-1}=(1/a)^x$. Si $x$ et $x'$ sont deux rationnels tels que $0<x<x'$, alors $a^x<a^{x'}$. Une des propriétés fondamentales de l'ensemble $\mathbb{R}$ est que tout réel est la borne supérieure de l'ensemble des rationnels qui lui sont inférieurs. Si $x$ est un réel quelconque et $a>1$, nous pouvons donc définir $a^x$ comme :

$$a^x = \sup\{a^y ,\;y\in\mathbb{Q}$$ et $$y<x\}\;.$$

Il reste à vérifier que la fonction ainsi définie est bien continue, et qu'on a donc aussi :

$$a^x = \inf\{a^y ,\;y\in\mathbb{Q}$$ et $$y>x\}\;.$$

Pour cela, commençons par montrer que si $(x_n)$ est une suite de rationnels positifs, tendant vers 0, alors $(a^{x_n})$ converge vers $1$. Fixons $\varepsilon$ tel que $0<\varepsilon<1$. Considérons les deux suites $((1-\varepsilon)^{\frac{1}{x_n}})$ et $((1+\varepsilon)^{\frac{1}{x_n}})$. Si la suite $(x_n)$ tend vers 0, la suite $(\frac{1}{x_n})$ tend vers $+\infty$. Si $\rho$ est un réel positif, alors quand $m\in\mathbb{N}$ tend vers l'infini, $\rho^m$ tend vers 0 si $\rho<1$, vers $+\infty$ si $\rho>1$. On en déduit que $((1-\varepsilon)^{\frac{1}{x_n}})$ converge vers 0, alors que $((1+\varepsilon)^{\frac{1}{x_n}})$ converge vers $+\infty$. Donc il existe $n_0$ tel que pour tout $n>n_0$,

$$a\in [(1-\varepsilon)^{\frac{1}{x_n}}) , (1+\varepsilon)^{\frac{1}{x_n}}],$$

soit $a^{x_n}\in [1-\varepsilon,1+\varepsilon]$. Si les $x_n$ sont des rationnels négatifs, la conclusion est la même car $a^{x_n} = (a^{-x_n})^{-1}$. Donc la conclusion reste vraie pour une suite de rationnels $x_n$ de signe quelconque. On en déduit donc que la fonction que nous avons définie est bien continue en 0.

Pour $a>0$, la fonction qui à $x$ associe $a^x$ est donc continue en 0, elle est non nulle, et elle vérifie (3) pour tout $x,y$ rationnels, donc pour tout $x,y$ réels, en passant à la limite. D'après le point 2 de la proposition 11, elle est donc continue sur $\mathbb{R}$.

Pour l'unicité, il suffit d'observer que si une fonction $f$ vérifie (3) et est telle que $f(1)=a>0$, alors par la proposition 10, elle est telle que $f(x)=a^x$, pour tout $x$ rationnel. Deux fonctions continues qui coïncident sur les rationnels, sont nécessairement égales (tout réel est limite d'une suite de rationnels). Donc $f(x)=a^x$, pour tout $x$ réel. $\square$ Pour $a>0$, notons $f_a$ l'unique fonction continue en 0, vérifiant (3), et telle que $f_a(1)=a$, à savoir la fonction qui à $x\in \mathbb{R}$ associe $a^x$.

$$\begin{array}{lccc} f_a&\mathbb{R}&\longrightarrow&\mathbb{R}^{+*}\\ &x&\longmapsto&a^x\;. \end{array}$$

Puisque $f(1)=a>0$, la fonction $f$ est non nulle et on peut lui appliquer la proposition 11 : $f_a$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.

Définition 8   On appelle logarithme, et on note $\ln$ la fonction définie sur $\mathbb{R}^{+*}$, qui à $a>0$ associe $\ln(a) = f'_a(0)$.

Proposition 13    

1. Pour tout $a,b>0$, on a :
   $$\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)\;.$$

2. Pour tout $a>0$ et $x\in \mathbb{R}$, on a :
   $$\ln(a^x) = x\ln(a)\;.$$

3. La fonction $\ln$ est strictement croissante, et :
   $$\lim_{x\rightarrow 0^+} \ln(x) = -\infty$$   et$$\quad \lim_{x\rightarrow +\infty} \ln(x) = +\infty\;.$$

Démonstration : Pour le premier point, soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs, et considérons la fonction $f_{ab}$. On a :

$$f_{ab}(x) = (ab)^x = a^x b^x = f_a(x)f_b(x)\;.$$

On calcule donc la dérivée de $f_{ab}$ en 0, en dérivant le produit $f_af_b$ :

$$\ln(ab) = f'_{ab}(0)=f'_a(0)f_b(0) + f_a(0)f'_b(0) =\ln(a)+\ln(b)\;.$$

Pour le point 2, soit $a>0$ et $x,y$ deux réels.

$$f_a(xy) = a^{xy} = (a^x)^y = f_{a^x}(y)\;.$$

Fixons $x$, dérivons par rapport à $y$ et prenons la dérivée en 0. On obtient :

$$xf'_a(0)=f'_{a^x}(0)\;,$$

d'où le résultat.

Passons au point 3. Fixons $a>1$. La fonction $f_a$ est alors strictement croissante, elle admet donc une limite en $+\infty$. Or la suite $(a^n)$ tend vers $+\infty$, donc la limite de $f_a$ en $+\infty$ est $+\infty$. La relation $a^{-x}=1/a^x$ montre que la limite de $f_a$ en $-\infty$ est 0. La fonction $f_a$ est donc bijective, de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}^{+*}$. La relation $\ln(a^x)=x\ln(a)$ montre que la fonction réciproque de $a^x$ est la fonction qui à $y\in\mathbb{R}^{+*}$ associe $\ln(y)/\ln(a)$. Cette fonction est donc strictement croissante et bijective de $\mathbb{R}^{+*}$ dans $\mathbb{R}$. $\square$ Il nous reste à définir la fonction exponentielle, qui est la réciproque du logarithme. D'après le point 3 de la proposition 13, il existe un réel unique, strictement positif, dont le logarithme vaut $1$. On le note $\mathrm{e}$.

Définition 9   On appelle exponentielle, et on note $\exp$, la fonction qui à $x\in \mathbb{R}$ associe $\mathrm{e}^x$, où $\mathrm{e}$ est l'unique réel tel que $\ln(\mathrm{e})=1$.

Proposition 14   L'exponentielle est la réciproque du logarithme. Les deux fonctions sont strictement croissantes et dérivables.

$$\forall x\in \mathbb{R} ,\; \exp'(x) = \exp(x)$$   et$$\quad \forall y\in\mathbb{R}^{+*} ,\; \ln'(y) = \frac{1}{y}\;.$$

Puisque $\ln(1)=1$, on a $\ln(\exp(x))=x$, par le point 2 de la proposition 13. La dérivée de l'exponentielle est donnée par le point 4 de la proposition 11. On dérive le logarithme comme une fonction réciproque :

$$\ln'(y) = \frac{1}{\exp'(\ln(y))} = \frac{1}{\exp(\ln(y))} = \frac{1}{y}\;.$$