Vrai ou faux

Vrai-Faux 1   Pour les doubles suites suivantes, l'identité

$$\lim_{m\to +\infty}\left(\lim_{n\to +\infty} u_{m,n}\right)= \lim_{n\to +\infty}\left(\lim_{m\to +\infty} u_{m,n}\right)$$

est-elle vraie ou fausse et pourquoi ?

1. $\square\;$ $${u_{m,n}=2^{m-n}}$$
2. $\boxtimes\;$ $${u_{m,n}=2^{-m-n}}$$
3. $\boxtimes\;$ $${u_{m,n}=\frac{2^{-n}}{m}}$$
4. $\square\;$ $${u_{m,n}=m2^{-n}}$$
5. $\boxtimes\;$ $${u_{m,n}=\frac{n}{nm+m}}$$
6. $\square\;$ $${u_{m,n}=\frac{n^2}{nm+m}}$$
7. $\boxtimes\;$ $${u_{m,n}=\frac{nm}{nm+1}}$$
8. $\boxtimes\;$ $${u_{m,n}=\frac{nm+1}{nm+m}}$$
9. $\square\;$ $${u_{m,n}=\frac{nm+n^2}{nm+m^2}}$$

Vrai-Faux 2   Pour les doubles suites suivantes, la convergence de $(u_{n,m})_{n\in\mathbb{N}}$ est uniforme en $m$ : vrai ou faux et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$ $${u_{m,n}=\frac{\sin(m)n}{n+1}}$$
2. $\square\;$ $${u_{m,n}=\frac{m\sin(m)n}{n+1}}$$
3. $\boxtimes\;$ $${u_{m,n}=\frac{2^{-m}n}{n+1}}$$
4. $\boxtimes\;$ $${u_{m,n}=m+\frac{1}{n+1}}$$
5. $\square\;$ $${u_{m,n}=m\left(1+\frac{1}{n+1}\right)}$$
6. $\square\;$ $${u_{m,n}=\frac{mn}{n+1}}$$
7. $\square\;$ $${u_{m,n}=\frac{mn}{n+m^2}}$$
8. $\boxtimes\;$ $${u_{m,n}=\frac{mn+m+1}{n+1}}$$
9. $\boxtimes\;$ $${u_{m,n}=\frac{\sin(m)n}{n+1}}$$

Vrai-Faux 3   Pour les suites de fonctions suivantes, l'identité

$$\lim_{n\to +\infty}\left(\lim_{x\to 0} f_n(x)\right)= \lim_{x\to 0}\left(\lim_{n\to +\infty} f_n(x)\right)$$

est-elle vraie ou fausse et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$ $${f_n(x)=\mathrm{e}^{-n+x}}$$
2. $\square\;$ $${f_n(x)=\mathrm{e}^{-nx}}$$
3. $\square\;$ $${f_n(x)=\mathrm{e}^{-n/x}}$$
4. $\boxtimes\;$ $${f_n(x)=\mathrm{e}^{-n/x^2}}$$
5. $\boxtimes\;$ $${f_n(x)=\frac{x}{n}}$$
6. $\boxtimes\;$ $${f_n(x)=\frac{xn}{n+x}}$$
7. $\square\;$ $${f_n(x)=\frac{xn}{xn+1}}$$
8. $\boxtimes\;$ $${f_n(x)=\frac{1+nx}{n}}$$

Vrai-Faux 4   Pour les suites de fonctions suivantes, la convergence de $(f_n(x))_{n\in\mathbb{N}}$ est uniforme en $x$ sur $[-1,1]$ : vrai ou faux et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$ $${f_n(x)=\sin(x)+\frac{1}{n}}$$
2. $\boxtimes\;$ $${f_n(x)=\sin(x)+\mathrm{e}^{x-n}}$$
3. $\boxtimes\;$ $${f_n(x)=\sin(x)(1+\frac{x^n}{n})}$$
4. $\square\;$ $${f_n(x)=\sin(x)(1+x^n)}$$
5. $\boxtimes\;$ $${f_n(x)=\sin^n(x)}$$
6. $\square\;$ $${f_n(x)=\sin^n(\pi x)}$$
7. $\square\;$ $${f_n(x)=\mathrm{e}^{-nx}\sin(x)}$$
8. $\boxtimes\;$ $${f_n(x)=(x(1-x))^n}$$
9. $\boxtimes\;$ $${f_n(x)=\left(1+\frac{x}{n}\right)^n}$$

Vrai-Faux 5   Pour les suites de fonctions suivantes, la convergence de $(f_n(x))_{n\in\mathbb{N}}$ est uniforme en $x$ sur $\mathbb{R}$ : vrai ou faux et pourquoi ?

1. $\square\;$ $${f_n(x)=\sin(x/n)}$$
2. $\boxtimes\;$ $${f_n(x)=\sin(x)+\frac{1}{n}}$$
3. $\square\;$ $${f_n(x)=\sin(x)+\mathrm{e}^{x-n}}$$
4. $\square\;$ $${f_n(x)=\left(1+\frac{x}{n}\right)^n}$$
5. $\boxtimes\;$ $${f_n(x)=\left(\frac{1}{2+x^2}\right)^n}$$
6. $\square\;$ $${f_n(x)=\left(\frac{1}{1+x^2}\right)^n}$$
7. $\boxtimes\;$ $${f_n(x)=\frac{1}{n+x^2}}$$
8. $\square\;$ $${f_n(x)=\frac{1}{n+x}}$$

Vrai-Faux 6   Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de réels strictement positifs. On définit la suite de fonctions $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ par $f_n(x) =1$ si $x\in [-u_n,u_n]$, $f(x)=0$ sinon. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$Si $(u_n)$ tend vers $1$, alors $(f_n)$ converge simplement sur $\mathbb{R}$.
2. $\boxtimes\;$Si $(u_n)$ tend vers $+\infty$, alors $(f_n)$ converge simplement vers une fonction continue sur $\mathbb{R}$.
3. $\square\;$Si $(f_n)$ converge simplement sur $[-1,1]$, alors la suite $(u_n)$ converge.
4. $\square\;$Si $(u_n)$ tend vers 0, alors $(f_n)$ converge simplement vers la fonction nulle nur $\mathbb{R}$.
5. $\boxtimes\;$La suite $(f_n)$ ne converge pas uniformément sur $\mathbb{R}$.
6. $\square\;$Si $(u_n)$ tend vers $1$, alors $(f_n)$ converge uniformément sur $[-1,1]$.

Vrai-Faux 7   Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de réels. On définit la suite de fonctions $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ par $f_n(x) =0$ si $x\leqslant 0$, $f(x)=u_n$ si $x>0$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$La suite $(f_n)$ converge simplement sur $\mathbb{R}$ si et seulement si la suite $(u_n)$ converge vers une limite finie.
2. $\square\;$Si $(u_n)$ tend vers $1$, alors $(f_n)$ converge uniformément sur $[0,1]$.
3. $\boxtimes\;$La suite $(f_n)$ converge uniformément sur $\mathbb{R}$ si et seulement si la suite $(u_n)$ tend vers 0.
4. $\boxtimes\;$La suite $(f_n)$ converge uniformément sur $]-\infty,0]$.
5. $\square\;$La suite $(f_n)$ converge uniformément sur $]0,+\infty[$.

Vrai-Faux 8   Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de réels. On définit la suite de fonctions $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ par $f_n(x) =u_n$ si $x\in [-u_n,u_n]$, $f(x)=0$ sinon. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$La suite $(f_n)$ converge simplement sur $\mathbb{R}$ si et seulement si la suite $(u_n)$ converge vers une limite finie.
2. $\boxtimes\;$Si $(u_n)$ tend vers $2$, alors $(f_n)$ converge uniformément sur $[-1,1]$.
3. $\square\;$Si $(u_n)$ tend vers $1$, alors $(f_n)$ converge uniformément sur $[-1,1]$.
4. $\square\;$Si $(u_n)$ tend vers 0, alors $(f_n)$ converge uniformément sur $[-1,1]$.
5. $\boxtimes\;$La suite $(f_n)$ converge uniformément sur $\mathbb{R}$ si et seulement si la suite $(u_n)$ tend vers 0.
6. $\square\;$Si $(u_n)$ tend vers $+\infty$, alors $(f_n)$ converge simplement sur $\mathbb{R}$.

Vrai-Faux 9   Soit $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de fonctions continues de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\square\;$ Si pour tout $x\in\mathbb{R}$, $f_n(x)$ tend vers $f(x)$ alors $f$ est continue en 0.
2. $\square\;$ Si $f_n(x)$ tend vers $f(x)$ uniformément sur $[0,1]$, alors $f$ est continue en 0.
3. $\boxtimes\;$Si $f_n(x)$ tend vers $f(x)$ uniformément sur $[-1,1]$, alors $f$ est continue en 0.
4. $\boxtimes\;$Si $f_n(x)$ tend vers $f(x)$ uniformément sur $[-A,A]$ pour tout $A>0$, alors $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.
5. $\boxtimes\;$Si $f_n(x)$ tend vers $f(x)$ uniformément sur $[-a,a]$ pour tout $a\in]0,1[$, alors $f$ est continue sur $]-1,1[$.
6. $\square\;$Si $f_n(x)$ tend vers $f(x)$ simplement sur $[-a,a]$ pour tout $a\in]0,1[$, alors la convergence est uniforme sur $]-1,1\vert$.
7. $\square\;$ Si pour tout $x$ la suite $(f_n(x))$ est croissante et si $f_n(x)$ tend vers $f(x)$ simplement sur $]-1,1[$ alors $f(x)$ est continue sur $]-1,1[$.
8. $\boxtimes\;$ Si pour tout $x$ la suite $(f_n(x))$ est croissante, si $f_n(x)$ tend vers $f(x)$ simplement sur $[-1,1]$ et si $f$ est continue sur $[-1,1]$, alors la convergence est uniforme sur $[-1,1]$.
9. $\square\;$ Si pour tout $x$ la suite $(f_n(x))$ est croissante, si $f_n(x)$ tend vers $f(x)$ simplement sur $\mathbb{R}$ et si $f$ est continue sur $\mathbb{R}$, alors la convergence est uniforme sur $\mathbb{R}$.

Vrai-Faux 10   Soit $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de fonctions continues de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. On suppose que pour tout $A>0$, $f_n(x)$ converge vers $f(x)$ uniformément sur $[-A,A]$. Vous pouvez en déduire que (vrai ou faux et pourquoi) :

1. $\boxtimes\;$$f$ est continue sur $\mathbb{R}$
2. $\square\;$$f_n$ converge vers $f$ uniformément sur $\mathbb{R}$.
3. $\boxtimes\;$$f_n$ converge vers $f$ uniformément sur $[-1,10]$
4. $\boxtimes\;$Pour tout $A>0$, l'intégrale de $f_n$ sur $[0,A]$ converge vers l'intégrale de $f$ sur $[0,A]$.
5. $\square\;$La primitive de $f_n$ nulle en 0 converge vers la primitive de $f$ nulle en zéro, uniformément sur $\mathbb{R}$.
6. $\boxtimes\;$La primitive de $f_n$ nulle en 0 converge vers la primitive de $f$ nulle en zéro, uniformément sur $[-1,1]$.
7. $\square\;$Si $f_n$ est dérivable sur $]-1,1[$, alors $f$ est dérivable sur $]-1,1[$.
8. $\square\;$Si $f_n$ et $f$ sont dérivables sur $]-1,1[$, alors pour tout $x\in]-1,1[$, $f'(x)$ est la limite de $f'_n(x)$ quand $n$ tend vers l'infini.

Vrai-Faux 11   Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\square\;$L'application $x\longmapsto 2x\sin(x)$ est uniformément continue sur $\mathbb{R}$.
2. $\boxtimes\;$L'application $x\longmapsto 2x+\sin(x)$ est uniformément continue sur $\mathbb{R}$.
3. $\boxtimes\;$L'application $x\longmapsto \frac{\sin(x)}{x}$ est uniformément continue sur $]0,+\infty[$.
4. $\square\;$L'application $x\longmapsto \frac{\cos(x)}{x}$ est uniformément continue sur $]0,+\infty[$.
5. $\boxtimes\;$L'application $x\longmapsto \frac{\cos(x)}{x}$ est uniformément continue sur $[\varepsilon ,+\infty[$, pour tout $\varepsilon >0$.
6. $\square\;$L'application $x\longmapsto \frac{1}{x(2-x)}$ est uniformément continue sur $]0,2[$.
7. $\square\;$L'application $x\longmapsto \frac{1}{x(2-x)}$ est uniformément continue sur $[\varepsilon ,2[$, pour tout $\varepsilon >0$.
8. $\square\;$L'application $x\longmapsto \frac{1}{x(2-x)}$ est uniformément continue sur $[\varepsilon ,2-\varepsilon [$, pour tout $\varepsilon >0$.

Vrai-Faux 12   Soit $f$ une application de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. On suppose que $f$ est dérivable sur $]-1,1[$. Vous pouvez en déduire que (vrai ou faux et pourquoi) :

1. $\square\;$$f$ est uniformément continue sur $]-1,1[$.
2. $\boxtimes\;$$f$ est uniformément continue sur $[-r,r]$, pour tout $r$ tel que $0<r<1$.
3. $\square\;$$f'$ est uniformément continue sur $[-r,r]$, pour tout $r$ tel que $0<r<1$.
4. $\square\;$si $f$ est bornée, alors $f$ est uniformément continue sur $]-1,1[$.
5. $\boxtimes\;$si $f'$ est bornée, alors $f$ est uniformément continue sur $[-1,1]$.

Vrai-Faux 13   Pour tout $x\in\mathbb{R}$, on pose $u_n(x)=\frac{(-x)^n}{n}$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\square\;$ La série $\sum u_n(x)$ converge normalement sur $[-1,1]$.
2. $\boxtimes\;$ La série $\sum u_n(x)$ converge normalement sur $[-r,r]$, pour tout $r$ tel que $0<r<1$.
3. $\square\;$ La série $\sum u_n(x)$ converge uniformément sur $[-1,1]$.
4. $\boxtimes\;$ La série $\sum u_n(x)$ converge uniformément sur $[0,1]$.
5. $\square\;$ La série $\sum u_n(x)$ converge uniformément sur $]-1,1]$.
6. $\square\;$ La série $\sum u_n(x)$ converge uniformément sur $[-r,1]$, pour tout $r$ tel que $0<r<1$.

Vrai-Faux 14   Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de fonctions continues de $]-1,1[$ dans $\mathbb{R}$. On suppose que pour tout $x\in]-1,1($ la série $\sum u_n(x)$ converge et on note $s(x)$ sa somme :

$$\forall x\in]-1,1[\;,\quad \sum_{n=0}^{+\infty} u_n(x) = s(x)\;.$$

Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$ Si la série $\sum u_n(x)$ est normalement convergente sur $]-1,1[$, alors $s$ est continue sur $]-1,1[$.
2. $\boxtimes\;$ Si pour tout $r\in]0,1[$, la série $\sum u_n(x)$ est normalement convergente sur $]-r,r[$, alors $s$ est continue sur $]-1,1[$.
3. $\square\;$ Si les $u_n$ sont dérivables sur $]-1,1($, alors $s$ est dérivable sur $]-1,1[$.
4. $\boxtimes\;$ Si pour tout $r\in]0,1[$, la série $\sum u_n(x)$ est normalement convergente sur $]-r,r[$, alors l'intégrale de $u_n(x)$ sur $]-1,1[$ converge vers l'intégrale de $s(x)$ sur $]-1,1[$.
5. $\boxtimes\;$ Si les $u_n$ sont dérivables sur $]-1,1($, et si pour tout $r\in]0,1[$ la série $\sum u'_n(x)$ est normalement convergente sur $[-r,r]$, alors $s$ est dérivable sur $]-1,1[$.

Vrai-Faux 15   Soit $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de fonctions définies et continues sur $[-1,1]$, à valeurs dans $\mathbb{R}^+$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\square\;$ Si pour tout $x\in[-1,1]$, la suite $(a_n(x))$ tend vers 0, alors la série $\sum (-1)^n a_n(x)$ converge simplement sur $[-1,1]$.
2. $\square\;$ Si pour tout $x\in[-1,1]$, la suite $(a_n(x))$ est décroissante, alors la série $\sum (-1)^n a_n(x)$ converge uniformément sur $[-1,1]$.
3. $\boxtimes\;$ Si pour tout $x\in[-1,1]$, la suite $(a_n(x))$ décroît et tend vers 0, alors la série $\sum (-1)^n a_n(x)$ converge uniformément sur $[-1,1]$.
4. $\boxtimes\;$ Si pour tout $x\in[-1,1]$, la suite $(a_n(x))$ décroît et tend vers 0, alors la série $\sum (-1)^n a_n(x)$ converge normalement sur $[-1,1]$.
5. $\square\;$ Si pour tout $x\in[-1,1]$, la suite $(a_n(x))$ décroît et tend vers 0, alors la série $\sum \cos(n\pi x) a_n(x)$ converge uniformément sur $[-1,1]$.
6. $\boxtimes\;$ Si pour tout $x\in[-1,1]$, la suite $(a_n(x))$ décroît et tend vers 0, alors la série $\sum \sin(2n\pi x) a_n(x)$ converge uniformément sur tout intervalle $[-r,r]$, pour $r\in]0,1[$.

Vrai-Faux 16   Pour $x\in\mathbb{R}$ et $t\in[0,1]$, on note $f(x,t)=\mathrm{e}^{t\sin(x)}$ et $F(x)$ l'intégrale $${F(x)=\int_0^1 f(x,t) \mathrm{d}t}$$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$ La fonction $F$ est continue sur $\mathbb{R}$.
2. $\boxtimes\;$ La fonction $F$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
3. $\square\;$ La fonction $F$ est périodique de période $2\pi$.
4. $\boxtimes\;$ La dérivée de $F$ est $${F'(x)=\int_0^1 \cos(x)\mathrm{e}^{t\sin(x)} \mathrm{d}t}$$.
5. $\boxtimes\;$ L'intégrale de $F$ sur $[0,2\pi]$ est égale à $${\int_0^1\left(\int_0^{2\pi} \mathrm{e}^{t\sin(x)} \mathrm{d}x\right) \mathrm{d}t}$$.

Vrai-Faux 17   Pour $x$ et $t$ appartenant à $\mathbb{R}^+$, on note $f(x,t)=t^x\mathrm{e}^{-t}$ et $F(x)$ l'intégrale $${F(x)=\int_0^{+\infty} f(x,t) \mathrm{d}t}$$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$ L'intégrale définissant $F$ converge normalement, donc uniformément.
2. $\boxtimes\;$ La fonction $F$ est continue sur $\mathbb{R}^+$.
3. $\square\;$ L'intégrale de $F$ sur $\mathbb{R}^+$ converge.
4. $\boxtimes\;$ L'intégrale de $F$ sur $[0,1]$ est égale à $${\int_0^{+\infty}\left(\int_0^{1} t^x\mathrm{e}^{-t} \mathrm{d}x\right) \mathrm{d}t}$$.
5. $\square\;$ Pour tout $x>0$, La dérivée de $F$ en $x$ est $xF(x)$.

Vrai-Faux 18   Pour $x$ et $t$ appartenant à $[0,1]$, on note $f(x,t)=t^{-x}$ et $F(x)$ l'intégrale $${F(x)=\int_0^{1} f(x,t) \mathrm{d}t}$$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\square\;$ L'intégrale définissant $F$ converge normalement, donc uniformément sur $[0,1]$.
2. $\boxtimes\;$ La fonction $F$ est continue sur $[0,1[$.
3. $\square\;$ L'intégrale de $F$ sur $[0,1]$ converge.
4. $\boxtimes\;$ L'intégrale de $F$ sur $[0,\frac{1}{2}]$ est égale à $${\int_0^{1}\left(\int_0^{\frac{1}{2}} t^{-x} \mathrm{d}x\right) \mathrm{d}t}$$.
5. $\square\;$ Pour tout $x\in[0,1]$, La dérivée de $F$ en $x$ est $xF(x-1)$.