Surfaces développables

Les surfaces développables sont des surfaces qui peuvent être "remises à plat" sans étirement ni déchirement. Ce type de surface intervient naturellement dans de nombreux domaines où la modélisation se fait justement avec des surfaces qui étaient planes et qui ont été déformées sans que leurs distances ne le soient. Citons plusieurs exemples :

• Une boule de papier froissée peut être modélisée par une surface qui était plane et qui a été déformée sans étirement ni déchirement.
• Certaines strates géologiques étaient planaires (c'est le cas si les sédiments se sont déposés sur une roche plane) et se sont déformées au cours du temps sans trop d'étirement ou de déchirement (cela peut être le cas si la roche est suffisemment dure). Elles peuvent être modélisées par des surfaces développables.
• Un vêtement est obtenu à partir d'un patron qui correspond justement à une surface planaire. Si l'on néglige l'élasticité du vêtement, il est encore naturel de le modéliser par une surface qui peut être remise à plat sans étirement ni déchirement, c'est à dire une surface développable.

La modélisation des surfaces développables est un problème compliqué, surtout si l'on n'impose pas à la surface d'être régulière de classe $C^2$. Dans ce cas, le theorema egregium nous indique que la courbure de Gauss d'une surface développable est forcément nulle en tout point ².

Prenons l'exemple du cône et du cylindre. Ces deux surfaces peuvent être obtenues en plissant une surface planaire sans étirement ni déchirement : ce sont donc des surfaces développables (Figure 19). Le theorema egregium de Gauss implique que leur courbure de Gauss est identiquement nulle. Effectivement, quand on fait directement le calcul de la courbure de Gauss, on trouve que celle-ci est identiquement nulle : cela provient du fait qu'une des courbures principales est nulle (celle qui correspond à la courbe rouge sur la Figure 19).

Figure 19: Le plan, le cône et le cylindre sont des surfaces développables

On remarque sur les exemples de la Figure 19 un fait surprenant : pour tout point $p$ de la surface, il existe un segment de droite $C_p$ qui contient $p$ et qui est inclus dans la surface. Une surface qui vérifie cette propriété est dite réglée. Cette constatation est en fait générale : toute surface régulière de classe $C^2$ à courbure de Gauss nulle est réglée. Mais attention, la réciproque n'est pas vraie : il existe des surfaces réglées non développables (les exemples de la Figure 21 permettent de s'en convaincre).

On peut voir sur les Figures 22 et 23 des exemples de modélisation de surfaces basées sur les surfaces développables. Dans ces deux cas, la surface sous-jacente n'est pas régulière de classe $C^2$. Un autre domaine où les surfaces développables sont utilisées est l'architecture. On peut par exemple citer le célèbre architecte Frank Gehry, qui les utilise dans la conception de ses bâtiments (Figure 24).

Figure 20: Exemple de surfaces réglées et développables

Figure 21: Exemple de surfaces réglées non développables

Figure: Modélisation d'une feuille de papier (développable) un peu froissée à partir de son du bord (source http://www-ljk.imag.fr/Publications/Basilic/com.lmc.publi.PUBLI_Inproceedings@1376f732f04_4b6ccc5c/RCHT_EG11.pdf)

Figure: Modélisation d'un vêtement (développable par morceaux) à partir de son bord (à gauche) (source http://www-ljk.imag.fr/Publications/Basilic/com.lmc.publi.PUBLI_Inproceedings@117681e94b6_dffda2/garments.png)

Figure 24: Musée Guggenheim de Bilbao. Ce bâtiment comporte des bouts de surfaces développables (source http://fr.wikipedia.org/wiki/Frank_Gehry)