Courbes de Bézier

Les courbes de Bézier sont des courbes paramétrées polynômiales qui ont été découvertes par l'ingénieur français Pierre Bézier (1910-1999) dans les années $60$. Elles ont joué un rôle important dans le développement des logiciels de CAO, ont donné naissance à de nombreux objets mathématiques et sont encore utilisées dans des logiciels de dessin vectoriel. Pierre Bézier (pour plus de renseignements, on peu aussi regarder le site http://rocbo.lautre.net/bezier/pb-indus.htm) a travaillé chez Renault toute sa carrière. Une de ses préoccupation était de créer un moyen simple de modéliser des formes à partir de machines à commande numérique. L'idée lumineuse qu'il a eu consiste à exprimer une courbe comme combinaison linéaire de points (appelés points de contrôles). Ceci est bien illustré sur la Figure 14 : à gauche, on a des points (ordonnés); à droite, on a une courbe dont les extrémités sont deux points de cette courbe et qui est "attirée" par les autres points.

Figure 14: Points de contrôles $P_0$, $P_1$, $P_2$, $P_3$, $P_4$ (à gauche) et courbe de Bézier associée (à droite)

La définition de ces courbes est assez simple et utilise les polynômes de Bernstein. La courbe de Bézier associée à $n+1$ points $P_0,...,P_n$ de $\mathbb{R}^2$ est la courbe paramétrée $P:[0,1]\to\mathbb{R}^2$ donnée pour tout $t\in [0,1]$ par :

$$P(t) = \sum_{i=0}^n B^n_i(t) P_i,$$

où $B^n_i$ est le polynôme de Bernstein $B^n_i : t \mapsto C^n_i t^i (1-t)^{n-i}$. La courbe de Bézier a des propriétés assez sympathiques :

• Elle a pour extrémités les points $P_0$ et $P_1$ ($P(0)=P_0$ et $P(1)=P_n$).
• Le vecteur $\overrightarrow{P_0P_1}$ est tangent à la courbe de Bézier au point de paramètre $t=0$.
• Le vecteur $\overrightarrow{P_{n-1}P_n}$ est tangent à la courbe de Bézier au point de paramètre $t=1$.
• La courbe est "attirée" par les points $P_1$,...,$P_{n-1}$ (cette propriété est précisée ci-dessous).
• La courbe de Bézier ne dépend pas du repère choisi. Si on effectue une rotation des points de contrôles, la forme de la courbe de Bézier reste la même.

Les points $P_0,...,P_n$ sont appelés points de contrôles de la courbe de Bézier, ce qui est assez naturel. En effet, la courbe dépend de ces points. Quand on les bouge, on modifie la courbe qui est "attirée" par ces points. Plus précisément, chaque point $P(t_0)$ de la courbe de Bézier est combinaison linéaire des points de contrôles $P_0$,...,$P_n$ :

$$P(t_0) = \sum_{i=0}^n \lambda_i P_i,$$   avec$$\lambda_i = B^n_i(t_0).$$

En fait, les propriétés sympathiques des courbes de Bézier proviennent de propriétés sur les polynômes de Bernstein, comme par exemple celle de la partition de l'unité :

$$\forall t \in [0,1]\quad \sum_{i=1}^nB^n_i(t)=1.$$

On peut remarquer que cette propriété implique que le point $P(t_0)$ dans la formule ci-dessus est barycentre des points $P_0$,...,$P_n$.

Figure 15: Polynômes de Bernstein dans le cas $n=2$ (à gauche), $n=3$ (au milieu) et $n=4$ (à droite)

Les courbes de Bézier forment un outil de base qui est utilisé pour définir d'autres notions utiles en modélisation. C'est le cas par exemple des courbes B-splines, beaucoup utilisées dans les logiciels de dessin, qui sont des courbes obtenues en mettant "bout à bout" des courbes de Bézier.