Corrigé du devoir

Exercice 1   Prenons une courbe plane régulière de classe $C^2$ à courbure constante $\overline{\kappa}$ et considérons une paramétrisation $\gamma : I \to \mathbb{R}^2$ par abscisse curviligne. Par définition, le centre de courbure en $\gamma(t)$ est donné par :

$$C(s) = \gamma(s) + \frac{1}{\overline{\kappa}}\overrightarrow{N}(s).$$

En dérivant, on obtient

$$C'(s) = \gamma'(s) + \frac{1}{\overline{\kappa}}\overrightarrow{N}'(s).$$

Or les formules de Serret-Frenet indiquent que $\overrightarrow{N}'(s) = -\overline{\kappa}(s) \overrightarrow{T}(s)$, et donc

$$C'(t) = \overrightarrow{T}(s) - \overrightarrow{T}(s) = 0.$$

Le centre de courbure $C(s)$ est donc constant égal à $C_0$. Donc pour tout $s\in I$

$$\left\Vert \gamma(s) - C_0 \right\Vert = \left\vert \frac{1}{\overline{\kappa}}\right\vert \Vert\overrightarrow{N}(s)\Vert = \frac{1}{\kappa}.$$

Le point $\gamma(s)$ appartient donc au cercle de centre $C_0$ et de rayon $1/\kappa$. Comme l'application $\gamma$ est continue (et que $I$ est un intervalle), le support géométrique est un arc de cercle.

Exercice 2  

1. Le support géométrique de cette courbe est une hélice (Figure 12).

   Figure 12: Hélice

   
2. Il faut tout d'abord calculer une abscisse curviligne. On choisit le paramètre $t_0=0$ et on calcule la fonction $s_{t_0}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ donnée par
   $$s_{t_0}(t) =\int_0^{t}\Vert\gamma'(u)\Vert du = \int_0^{t} \sqrt{R^2+a^2} du = \sqrt{R^2+a^2} t.$$
   Nous remarquons que l'application $s_{t_0}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ est un $C^1$-difféomorphisme. La paramétrisation par abscisse curviligne $\widetilde{\gamma} = \gamma \circ s_{t_0}^{-1}$ est donc donnée par
   $$\widetilde{\gamma} (s)= \gamma\left( \frac{s}{\sqrt{R^2+a^2}... ...}}\right)\\ a\frac{s}{\sqrt{R^2+a^2}} \end{array} \right).$$

3. Calculons le repère $(\widetilde{\gamma}(s), \overrightarrow{T}(s), \overrightarrow{T}(s), \overrightarrow{T}(s))$ de Serret-Frenet en tout point de paramètre $s$. On a :
   $$\overrightarrow{T}(s) = \widetilde{\gamma}'(s) = \frac{1}{\s... ...\left(\frac{s}{\sqrt{R^2+a^2}}\right)\\ a \end{array}\right).$$
   D'autre part, on a :
   $$\widetilde{\gamma}''(s) = \frac{1}{R^2+a^2} \left( \begin{a... ...\left(\frac{s}{\sqrt{R^2+a^2}}\right)\\ 0 \end{array}\right).$$
   On en déduit que $\gamma''(s)$ ne s'annulle jamais et que tout point est birégulier.
   $$\overrightarrow{N}(s) = \frac{\widetilde{\gamma}''(s)}{\Vert... ...\left(\frac{s}{\sqrt{R^2+a^2}}\right)\\ 0 \end{array}\right).$$
   $$\overrightarrow{B}(s)=\overrightarrow{T}(s)\wedge \overright... ...\left(\frac{s}{\sqrt{R^2+a^2}}\right)\\ R \end{array}\right).$$

4. La courbure est donnée par :
   $$\kappa_a(s) = \Vert \widetilde{\gamma}''(s)\Vert = \frac{R}{R^2+a^2}.$$
   On remarque que cette courbure est constante.
5. La torsion est donnée par la formule $\tau(s) = \overrightarrow{B}'(s) . \overrightarrow{N}(s)$. Or on a
   $$\overrightarrow{B}'(s)= \frac{1}{R^2+a^2} \left( \begin{ar... ...\left(\frac{s}{\sqrt{R^2+a^2}}\right)\\ 0 \end{array}\right),$$
   ce qui donne
   $$\tau_a(s) = \overrightarrow{B}'(s). \overrightarrow{N}(s) = \frac{-a}{R^2+a^2}.$$
   En passant à la limite, on a :

6. $$\lim_{a\to 0} \kappa_a =$$   et$$\quad \lim_{a\to 0} \tau_a = 0$$
   On observe que la courbe $\gamma$ tend vers une paramétrisation du cercle quand $a$ tend vers 0. On observe également que la courbure $\kappa_a$ tend vers la courbure $\frac{1}{R}$ du cercle et que la torsion $\tau_a(s)$ tend vers la torsion du cercle qui vaut 0.

Exercice 3  

1. Cette surface est appelée surface de révolution, car elle est obtenue en faisant tourner un cercle de rayon $r$ paramétré par
   $$u\in [0,2\pi[\mapsto (R+r\cos u,0,r\sin u)$$
   autour de l'axe $(0,0,1)$ (Voir Figure 13).

   Figure 13: Tore de révolution (image prise sur wikipedia)

   
2. L'aire de cette surface est donnée par
   $$Aire = \int_0^{2\pi}\int_0^{2\pi} \left\Vert \frac{\partial f}{\... ...t_0^{2\pi}\int_0^{2\pi} \left\vert r(R+r\cos u) \right\vert dudv =4\pi^2 r R.$$

3. La courbe $\mathcal{C}_1$ est le cercle de centre $(0,0,0)$ et de rayon $(R+r)$. La courbe $\mathcal{C}_2$ est le cercle de centre $(R,0,0)$ et de rayon $r$.
4. Les deux cercles $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ s'intersectent au point $m=(R+r,0,0)$. Un vecteur tangent à la courbe $\mathcal{C}_1$ au point $m$ est donné par $\frac{\partial f}{\partial u}f(0,0)$ et un vecteur tangent à la courbe $\mathcal{C}_2$ au point $m$ est donné par $\frac{\partial f}{\partial v}f(0,0)$. Calculons ces dérivées partielles pour tout $(u,v)$ :
   $$\frac{\partial f}{\partial u}(u,v)= \left(\begin{array}{c} -r\si... ...n{array}{c} -(R+r\cos u) \sin v\\ (R+r\cos u) \cos v\\ 0 \end{array}\right)$$
   On remarque que pour tout $(u,v)\in [0,2\pi[\times (0,2\pi[$, on a
   $$\frac{\partial f}{\partial u}(u,v) . \frac{\partial f}{\partial v}(u,v) = 0.$$
   On en déduit que ces deux vecteurs sont orthogonaux. En particulier, les vecteurs tangents aux deux cercles $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ au point d'intersection $m=f(0,0)$ sont orthogonaux.
5. On note $K(u,v)$ le vecteur orthogonal à l'espace tangent $T_mS$ à la surface au point $m=f(u,v)$ donné par :
   $$K(u,v) = \frac{\frac{\partial f}{\partial u}(u,v) \wedge \frac{\p... ...al f}{\partial u}(u,v) \wedge \frac{\partial f}{\partial v}(u,v) \right\Vert}.$$
   En reprenant les formules ci-dessus, on a
   $$\frac{\partial f}{\partial u}(u,v) \wedge \frac{\partial f}{\part... ...(\begin{array}{c} \cos u \cos v\\ \cos u \sin v\\ \sin u \end{array}\right)$$
   et donc on a :
   $$K(u,v) = \left(\begin{array}{c} -\cos u \cos v\\ -\cos u \sin v\\ -\sin u \end{array}\right)$$
   On a donc :
   $$L(u,v) = \frac{\partial^2f}{\partial u^2}(u,v) . K(u,v) = \left(\... ...array}{c} -\cos u \cos v\\ -\cos u \sin v\\ -\sin u \end{array}\right) = r.$$
   $$M(u,v) = \frac{\partial^2f}{\partial u \partial v}(u,v) . K(u,v) ... ...array}{c} -\cos u \cos v\\ -\cos u \sin v\\ -\sin u \end{array}\right) = 0.$$
   $$N(u,v) = \frac{\partial^2f}{\partial v^2}(u,v) . K(u,v) = \left(\... ...u \cos v\\ -\cos u \sin v\\ -\sin u \end{array}\right) = (R+r\cos u) \cos u.$$
   Comme $M(u,v)=0$, cela signifie que la deuxième fondamentale $II(u,v)$ est diagonale dans la base $\left(\frac{\partial f}{\partial u}(u,v), \frac{\partial f}{\partial v}(u,v)\right)$. Or cette base est orthogonale car les deux vecteurs $\frac{\partial f}{\partial u}(u,v)$ et $\frac{\partial f}{\partial v}(u,v)$ sont orthogonaux. Les deux directions principales sont donc
   $$e_1 = \frac{\frac{\partial f}{\partial u}(u,v) }{\left\Vert\frac{... ...begin{array}{c} -\sin u \cos v\\ - \sin u \sin v\\ \cos u \end{array}\right)$$   et$$\quad e_2 = \frac{\frac{\partial f}{\partial v}(u,v) }{\left\Vert... ...ght\Vert}= \left(\begin{array}{c} - \sin v\\ \cos v\\ 0 \end{array}\right).$$
   Les courbures principales associées sont
   $$\lambda_1 = \frac{L(u,v)}{\left\Vert \frac{\partial f}{\partial u}(u,v)\right\Vert^2}=\frac{1}{r}$$   et$$\quad\lambda_2=\frac{N(u,v)}{\left\Vert \frac{\partial f}{\partial v}(u,v)\right\Vert^2}=\frac{\cos u}{R+r\cos u}.$$

6. La courbure de Gauss $G_m=G(u,v)$ est donnée par
   $$G_m = \lambda_1 \lambda_2 = \frac{\cos u}{r (R+r\cos u)}.$$
   On a donc
   $$\begin{array}{l} G_m >0 \Longleftrightarrow \cos u > 0 \Long... ... u = 0 \Longleftrightarrow u\in \{-\pi/2,\pi/2\}\\ \end{array}$$
   L'ensemble des points où la courbure s'annulle est l'union des deux cercles horizontaux de rayon $R$ formés par les points d'altitude la plus haute $z=r$ et la plus basse $z=-r$. Cet ensemble s'écrit :
   $$\left\{\left( \begin{array}{c} R\cos v\\ R\sin v\\ r \end{... ...s v\\ R\sin v\\ -r \end{array}\right), v\in[0,2\pi[\right\}.$$
   L'ensemble des point $m$ où $G_m >0$ est la partie "extérieure" de la surface bordée par ces deux cercles. En effet, on observe que le plan tangent en tout point de cette partie là est d'un même coté de la surface. L'ensemble des point $m$ où $G_m <0$ est la partie "intérieure" de la surface bordée par ces deux cercles. En effet, on observe que le plan tangent en tout point de cette partie là traverse la surface.