Sections planes des cônes et des cylindres de révolution

Les mathématiciens grecs étudiaient déjà les coniques, qu'ils définissaient comme sections planes des cônes de révolution. On attribue à Apollonius de Perge (v. 262-v. 190 av. J.-C.) l'introduction, dans son traité en huit volumes intitulé les Coniques, de la terminologie ellipse, hyperbole, parabole, mais ces termes étaient peut-être utilisés avant lui et beaucoup de propriétés de ces courbes étaient déjà connues. Ménechme (v. 380-v. 320 av.J.-C.) s'en servait pour tenter de résoudre le problème de la duplication du cube (voir le chapitre «Géométrie euclidienne»). En effet, si on veut introduire entre deux nombres et deux réels et tels que constitue une progression géométrique, on a $\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{x}$ et $\dfrac{x}{a}=\dfrac{b}{y}$ , de sorte que et ; on est donc ramené à construire l'intersection d'une parabole et d'une hyperbole ; mais on peut aussi écrire $\dfrac{y}{x}=\dfrac{b}{y}$ , ou encore et , ce qui amène à construire l'intersection de deux paraboles. C'est à Pappus (290-350) qu'on attribue la définition des foyers et directrices, mais là encore ces notions étaient peut-être déjà connues avant lui.

De fait, l'intersection d'un cône de révolution par un plan ne passant pas par le sommet de est :

un cercle si est perpendiculaire à l'axe de ;
une ellipse si l'intersection de et du plan parallèle à passant par est réduite à (sans que soit perpendiculaire à l'axe de ) ;
une parabole si le plan parallèle à mené par est tangent à le long d'une génératrice ;
une hyperbole si l'intersection de et du plan parallèle à passant par est la réunion de deux génératrices de .

L'intersection d'un cylindre de révolution avec un plan est :

soit vide, soit constituée d'une ou deux génératrices si l'axe du cylindre est parallèle au plan ;
un cercle si le plan est perpendiculaire à l'axe du cylindre ;
une ellipse si le plan n'est ni parallèle ni perpendiculaire à l'axe du cylindre.