Sections planes des cônes et des cylindres de révolution

Les mathématiciens grecs étudiaient déjà les coniques, qu'ils définissaient comme sections planes des cônes de révolution. On attribue à Apollonius de Perge (v. 262-v. 190 av. J.-C.) l'introduction, dans son traité en huit volumes intitulé les Coniques, de la terminologie ellipse, hyperbole, parabole, mais ces termes étaient peut-être utilisés avant lui et beaucoup de propriétés de ces courbes étaient déjà connues. Ménechme (v. 380-v. 320 av.J.-C.) s'en servait pour tenter de résoudre le problème de la duplication du cube (voir le chapitre «Géométrie euclidienne»). En effet, si on veut introduire entre deux nombres $a$ et $b$ deux réels $x$ et $y$ tels que $a,x,y,b$ constitue une progression géométrique, on a $\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{x}$ et $\dfrac{x}{a}=\dfrac{b}{y}$, de sorte que $x^2=ay$ et $xy=ab$ ; on est donc ramené à construire l'intersection d'une parabole et d'une hyperbole ; mais on peut aussi écrire $\dfrac{y}{x}=\dfrac{b}{y}$, ou encore $x^2=ay$ et $y^2=bx$, ce qui amène à construire l'intersection de deux paraboles. C'est à Pappus (290-350) qu'on attribue la définition des foyers et directrices, mais là encore ces notions étaient peut-être déjà connues avant lui.

De fait, l'intersection d'un cône de révolution $C$ par un plan $P$ ne passant pas par le sommet $S$ de $C$ est :

• un cercle si $P$ est perpendiculaire à l'axe de $C$ ;
• une ellipse si l'intersection de $C$ et du plan parallèle à $P$ passant par $S$ est réduite à $S$ (sans que $P$ soit perpendiculaire à l'axe de $C$) ;
• une parabole si le plan parallèle à $P$ mené par $S$ est tangent à $C$ le long d'une génératrice ;
• une hyperbole si l'intersection de $C$ et du plan parallèle à $P$ passant par $S$ est la réunion de deux génératrices de $C$.

L'intersection d'un cylindre de révolution avec un plan est :

• soit vide, soit constituée d'une ou deux génératrices si l'axe du cylindre est parallèle au plan ;
• un cercle si le plan est perpendiculaire à l'axe du cylindre ;
• une ellipse si le plan n'est ni parallèle ni perpendiculaire à l'axe du cylindre.