Calcul de l'inverse

Soit $A\in{\cal M}_n(\mathbb{R})$ une matrice carrée. Soit $b\in\mathbb{R}^n$ un vecteur quelconque. Chercher un $n$-uplet $x=(x_1,\ldots,x_n)$ tel que $Ax=b$, c'est résoudre un système linéaire de $n$ équations à $n$ inconnues. Si la matrice $A$ est inversible, alors la solution s'écrit $x=A^{-1}b$. La méthode du pivot de Gauss parmet de résoudre le système $Ax=b$ pour un second membre quelconque, donc de calculer $x=A^{-1}b$. Les coefficients de $A^{-1}$ se lisent sur le système résolu. Voici ce qu'on obtient pour une matrice $A$ à deux lignes et deux colonnes.

$$\left\{ \begin{array}{rrcr} x&+2y&=&a\ [2ex] 3x&+4y&=&b \en... ...cl} x&=&-2a+b\ [2ex] y&=&\frac{1}{2}(3a-b) \end{array}\right.$$

Les coefficients de $A^{-1}$ sont ceux de $a$ et $b$ dans l'expression de $x$ et $y$. Dans le cas général on obtient :

$$A=\left(\begin{array}{cc} \alpha&\beta\\ \gamma&\delta \end{arra... ... \left(\begin{array}{rr} \delta&-\beta\\ -\gamma&\alpha \end{array}\right)\;,$$

si $\alpha\delta-\beta\gamma\neq 0$. L'expression de $A^{-1}$ est facile à mémoriser. Pour inverser une matrice à deux lignes et deux colonnes, il faut :

1. échanger les deux coefficients diagonaux
2. changer le signe des deux autres
3. diviser tous les coefficients par le déterminant $\alpha\delta-\beta\gamma$.

Pour $n\geqslant 3$, il n'y a pas de formule générale aussi facile. La technique la plus sûre consiste à résoudre le système $Ax=b$ pour un second membre quelconque, avec la méthode du pivot de Gauss, puis à écrire ensuite que la solution obtenue est le produit de $A^{-1}$ par le second membre. Soit par exemple à inverser la matrice $A$ suivante.

$$A= \left( \begin{array}{rrr} \hspace{3mm}1&0&-1\\ 1&-1&0\\ 1&-1&1 \end{array}\right)$$

Ecrivons le système

$$A\left(\begin{array}{c}x\ y\ z\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}a\ b\ c\end{array}\right)\;,$$

soit

$$\left\{\begin{array}{rrrcr} x&&-z&=&a\\ x&-y&&=&b\\ x&-y&+z&=&c \end{array}\right.$$

Voici les différentes étapes de la résolution par la méthode du pivot de Gauss.

$$\left\{\begin{array}{rrrcr} x&&-z&=&a\\ x&-y&&=&b\\ x&-y&+z&=&c... ...in{array}{rrrcr} x&&-z&=&a\\ &-y&+z&=&b-a\\ &-y&+2z&=&c-a \end{array}\right.$$

$$\Longleftrightarrow\quad \left\{\begin{array}{rrrcr} x&&-z&=&a\ ... ...{\begin{array}{rrrcr} x&&-z&=&a\\ &y&-z&=&a-b\\ &&z&=&c-b \end{array}\right.$$

$$\Longleftrightarrow\quad \left\{\begin{array}{rrrcr} x&&&=&a-b+c\... ...end{array}\right) = A^{-1}\left(\begin{array}{c}a\ b\ c\end{array}\right)\;,$$

avec

$$A^{-1} = \left (\begin{array}{rrr} 1&-1&\hspace*{3mm}1\\ 1&-2&1\\ 0&-1&1 \end{array}\right)\;.$$