Le Rapido

Voulez-vous calculer vos chances de gagner au Bridge, au Poker, au Loto, au Keno ? Le procédure est à peu près la même et vous avez tous les outils en main.

Commençons par une formule générale, qui vous servira pour tous les jeux de hasard. Soit $N$ un entier au moins égal à $2$. Soient $m$ et $n$ deux autres entiers inférieurs ou égaux à $N$.

$$\binom{N}{n} = \sum_{k=0}^{\min\{m,n\}} \binom{m}{k}\binom{N-m}{n-k}$$ (8)

On peut démontrer cette formule par récurrence, en utilisant les propriétés des coefficients du binôme, mais il est plus intéressant de la comprendre. Disons que $N$ est un nombre d'objets parmi lesquels vous vous apprêtez à en piocher $n$ : $N=52$ cartes et vous en recevez $n=13$ (Bridge) ; $N=32$ cartes et vous en recevez $n=5$ (Poker) ; $N=49$ numéros et vous en cochez $n=6$ (Loto) etc...  Parmi les $N$ objets, $m$ sont marqués et ce sont ceux qui peuvent vous faire gagner : $m=4$ as au bridge, $m=6$ numéros du tirage officiel au loto, etc...

Vous avez $\binom{N}{n}$ choix possibles. Ces choix se répartissent selon le nombre d'objets marqués que vous aurez en main. Il peut y en avoir au plus $\min\{m,n\}$. Comment constituer une sélection de $n$ objets en tout, parmi lesquels $k$ sont marqués ? Il faut choisir les $k$ objets marqués parmi $m$ en tout : $\binom{m}{k}$ façons de le faire. Il faut ensuite choisir $n-k$ objets non marqués parmi $N-m$ : $\binom{N-m}{n-k}$ possibilités. La formule (8) traduit cette décomposition.

Comme cas particulier, voici comment décomposer le nombre de mains au bridge ($13$ cartes distribuées sur $52$) en fonction du nombre d'as qu'elles contiennent.

$$\binom{52}{13} = \binom{4}{0}\binom{48}{13}+\binom{4}{1}\binom{48... ...m{4}{2}\binom{48}{11}+\binom{4}{3}\binom{48}{10}+ \binom{4}{4}\binom{48}{9}\;.$$

Comment en déduire vos chances d'avoir $4$ as dans une main ? C'est facile, il suffit de diviser le nombre de mains contenant $4$ as par le nombre total de mains.

$$\frac{\binom{4}{4}\binom{48}{9}}{\binom{52}{13}}\simeq 0.002641\;.$$

Le Rapido, comme son nom l'indique, ne demande pas une réflexion très puissante, et les résultats défilent toutes les 10 minutes sur un écran de télé. Pour jouer, vous cochez 8 numéros parmi 20 sur la grille A, et 1 numéro parmi 4 sur la grille B. Les «bons» numéros affichés à la télé sont choisis de même. Vous pouvez donc avoir $k$ bons numéros ($k$ entre 0 et 8) sur la grille A et 0 ou 1 sur la grille B. Vos chances d'avoir $k$ bons numéros sur la grille A sont de :

$$\frac{\binom{8}{k}\binom{12}{8-k}}{\binom{20}{8}}\;.$$

Pour avoir vos chances d'avoir en plus le bon numéro de la grille B, multipliez par $1/4$. Voici les probabilités pour $k$ allant de 0 à 8 et $b=0$ ou $1$ selon que vous avez ou non le numéro de la grille B.

$$\begin{array}{\vert c\vert ccccccccc\vert} \hline b\backslas... ...2&0.06877&0.02445&0.00367&0.00019&0.00000\\ \hline \end{array}$$

Vos chances d'avoir au moins 3 bons numéros sur la grille A sont de $74\%$, ce qui vous encourage à jouer. Cependant vous ne gagnez qu'à partir de 4 bons numéros. Voici les gains en euros offerts pour 1 euro misé, pour chacune des combinaisons gagnantes.

$$\begin{array}{\vert c\vert ccccc\vert} \hline b\backslash k&... ...ne 0&0&2&10&50&1000\\ 1&1&6&30&150&10000\\ \hline \end{array}$$

D'après les probabilités calculées plus haut, sur $100 000$ joueurs payant chacun 1 euro, environ 6877 gagneront 1 euro, environ 7335 gagneront 2 euros, environ 2445 gagneront 6 euros, ...  Au total, la Française des Jeux reversera en moyenne $66 518$ euros, pour $100 000$ euros de mise empochés.