Devoir

Essayez de bien rédiger vos réponses, sans vous reporter ni au cours, ni au corrigé. Si vous souhaitez vous évaluer, donnez-vous deux heures ; puis comparez vos réponses avec le corrigé et comptez un point pour chaque question à laquelle vous aurez correctement répondu.


Questions de cours :  

  1. Soit $ a$ un entier. Montrer que l'ensemble des multiples entiers de $ a$, noté $ a\mathbb{Z}$ est un sous-groupe de $ \mathbb{Z}$.
  2. Soit $ G$ un sous-groupe de $ \mathbb{Z}$. Montrer qu'il existe un entier positif ou nul $ a$ tel que $ G=a\mathbb{Z}$.
  3. Soient $ a$ et $ b$ deux entiers non nuls. Montrer qu'il existe un entier strictement positif $ d$ tel que :

    $\displaystyle \{ sa+tb ,\;s,t\in\mathbb{Z} \}=d\mathbb{Z}\;.
$

  4. Montrer que tout entier $ n$ qui divise à la fois $ a$ et $ b$ est un diviseur de $ d$.
  5. Soient $ a,b$ deux entiers premiers entre eux. Montrer qu'il existe deux entiers $ s$ et $ t$ tels que $ sa+tb=1$ (identité de Bézout). En déduire que si $ c$ est un troisième entier tel que $ a$ divise le produit $ bc$, alors $ a$ divise $ c$ (lemme de Gauss).

Exercice 1 :  
  1. Démontrer par récurrence que pour tout $ n\in\mathbb{N}$, il existe deux nombres entiers $ a_n$ et $ b_n$ tels que $ (2+\sqrt{3})^n=a_n+b_n\sqrt{3}$.
  2. Soient $ u$ et $ v$ deux entiers et $ n\in\mathbb{N}$. Vérifier l'égalité suivante :

    $\displaystyle (2u-v)a_{n+1}+(2v-3u)b_{n+1}=ua_n+vb_n\;.
$

  3. Démontrer par récurrence que pour tout $ n$, $ a_n$ et $ b_n$ sont premiers entre eux.
  4. Démontrer que pour tout $ n\in\mathbb{N}$, $ b_n$ et $ b_{n+1}$ sont premiers entre eux.
  5. Démontrer que pour tout $ n\in\mathbb{N}$, soit $ a_n$ et $ b_{n+1}$ sont premiers entre eux, soit leurs diviseurs communs sont $ 1$ et $ 2$.

Exercice 2 : On pose $ a=960$ et $ b=528$.
  1. Calculer $ \mathrm{pgcd}(a,b)$ par l'algorithme d'Euclide, et en déduire une identité de Bézout. Calculer $ \mathrm{ppcm}(a,b)$.
  2. Déterminer l'ensemble des couples $ (u,v)$ d'entiers relatifs tels que :

    $\displaystyle au+bv=\mathrm{pgcd}(a,b)\;.
$

  3. Donner la décomposition en facteurs premiers de $ a$ et $ b$.
  4. En déduire la décomposition en facteurs premiers de $ \mathrm{pgcd}(a,b)$ et $ \mathrm{ppcm}(a,b)$, et retrouver les résultats de la question 1.

Exercice 3 :  
  1. Montrer que pour tout $ n\in\mathbb{N}$, $ 8^{2n}\equiv 1\;[21]$.
  2. En déduire que pour tout $ n\in\mathbb{N}$, $ 2^{4^{n+1}}+5\equiv 0\;[21]$.
  3. Calculer les restes de la division par $ 21$ de $ 64^{16^{8^{4^2}}}$, $ 2^{16^{8^{4^2}}}$ et $ 32^{16^{8^{4^2}}}$.

Exercice 4 :  
  1. Résoudre dans $ \mathbb{Z}$ l'équation $ 18x-31\equiv 0\;[7]$.
  2. Résoudre dans $ \mathbb{Z}$ l'équation $ 18x^2-31x+11\equiv 0\;[7]$.
  3. Résoudre dans $ \mathbb{Z}$ l'équation $ 18x^3-31x^2+11x-45 \equiv 0\;[7]$.


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