Devoir

Essayez de bien rédiger vos réponses, sans vous reporter ni au cours, ni au corrigé. Si vous souhaitez vous évaluer, donnez-vous deux heures ; puis comparez vos réponses avec le corrigé et comptez un point pour chaque question à laquelle vous aurez correctement répondu.

Questions de cours :  

1. Soit $a$ un entier. Montrer que l'ensemble des multiples entiers de $a$, noté $a\mathbb{Z}$ est un sous-groupe de $\mathbb{Z}$.
2. Soit $G$ un sous-groupe de $\mathbb{Z}$. Montrer qu'il existe un entier positif ou nul $a$ tel que $G=a\mathbb{Z}$.
3. Soient $a$ et $b$ deux entiers non nuls. Montrer qu'il existe un entier strictement positif $d$ tel que :
   $$\{ sa+tb ,\;s,t\in\mathbb{Z} \}=d\mathbb{Z}\;.$$

4. Montrer que tout entier $n$ qui divise à la fois $a$ et $b$ est un diviseur de $d$.
5. Soient $a,b$ deux entiers premiers entre eux. Montrer qu'il existe deux entiers $s$ et $t$ tels que $sa+tb=1$ (identité de Bézout). En déduire que si $c$ est un troisième entier tel que $a$ divise le produit $bc$, alors $a$ divise $c$ (lemme de Gauss).

Exercice 1 :  

1. Démontrer par récurrence que pour tout $n\in\mathbb{N}$, il existe deux nombres entiers $a_n$ et $b_n$ tels que $(2+\sqrt{3})^n=a_n+b_n\sqrt{3}$.
2. Soient $u$ et $v$ deux entiers et $n\in\mathbb{N}$. Vérifier l'égalité suivante :
   $$(2u-v)a_{n+1}+(2v-3u)b_{n+1}=ua_n+vb_n\;.$$

3. Démontrer par récurrence que pour tout $n$, $a_n$ et $b_n$ sont premiers entre eux.
4. Démontrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $b_n$ et $b_{n+1}$ sont premiers entre eux.
5. Démontrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$, soit $a_n$ et $b_{n+1}$ sont premiers entre eux, soit leurs diviseurs communs sont $1$ et $2$.

Exercice 2 : On pose $a=960$ et $b=528$.

1. Calculer $\mathrm{pgcd}(a,b)$ par l'algorithme d'Euclide, et en déduire une identité de Bézout. Calculer $\mathrm{ppcm}(a,b)$.
2. Déterminer l'ensemble des couples $(u,v)$ d'entiers relatifs tels que :
   $$au+bv=\mathrm{pgcd}(a,b)\;.$$

3. Donner la décomposition en facteurs premiers de $a$ et $b$.
4. En déduire la décomposition en facteurs premiers de $\mathrm{pgcd}(a,b)$ et $\mathrm{ppcm}(a,b)$, et retrouver les résultats de la question 1.

Exercice 3 :  

1. Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $8^{2n}\equiv 1\;[21]$.
2. En déduire que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $2^{4^{n+1}}+5\equiv 0\;[21]$.
3. Calculer les restes de la division par $21$ de $64^{16^{8^{4^2}}}$, $2^{16^{8^{4^2}}}$ et $32^{16^{8^{4^2}}}$.

Exercice 4 :  

1. Résoudre dans $\mathbb{Z}$ l'équation $18x-31\equiv 0\;[7]$.
2. Résoudre dans $\mathbb{Z}$ l'équation $18x^2-31x+11\equiv 0\;[7]$.
3. Résoudre dans $\mathbb{Z}$ l'équation $18x^3-31x^2+11x-45 \equiv 0\;[7]$.