Vrai ou Faux

Vrai-Faux 1   Étant donnés cinq nombres entiers consécutifs, on trouve toujours parmi eux (vrai ou faux et pourquoi) :

1. $\boxtimes\;$ au moins deux multiples de 2.
2. $\boxtimes\;$ au plus trois nombres pairs.
3. $\square\;$ au moins deux multiples de 3.
4. $\boxtimes\;$ exactement un multiple de 5.
5. $\square\;$ au moins un multiple de 6.
6. $\square\;$ au moins un nombre premier.

Vrai-Faux 2   Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$ $60$ a plus de diviseurs que $100$.
2. $\square\;$ $60$ a moins de diviseurs que $90$.
3. $\boxtimes\;$ $60$ a moins de diviseurs que $120$.
4. $\boxtimes\;$ si un entier divise $60$, alors il divise $120$.
5. $\square\;$ si un entier strictement inférieur à $60$ divise $60$, alors il divise $90$.
6. $\boxtimes\;$ si un nombre premier divise $120$, alors il divise $60$.

Vrai-Faux 3   On veut constituer la somme exacte de 59 € seulement à l'aide de pièces de 2 € et de billets de 5 €. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$ Il y a au plus 27 pièces de 2 €.
2. $\square\;$ Il peut y avoir exactement 10 pièces de 2 €.
3. $\boxtimes\;$ Il peut y avoir exactement 12 pièces de 2 €.
4. $\square\;$ Il peut y avoir un nombre pair de billets de 5 €.
5. $\boxtimes\;$ Il y a au moins un billet de 5 €.

Vrai-Faux 4   Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\square\;$ Si un nombre est divisible par $9$, alors il est divisible par $6$.
2. $\boxtimes\;$ Si un nombre est divisible par $100$, alors il est divisible par $25$.
3. $\square\;$ Si un nombre est divisible par $2$ et par $3$, alors il est divisible par $12$.
4. $\boxtimes\;$ Si un nombre est divisible par $10$ et par $12$, alors il est divisible par $15$.
5. $\square\;$ Si un nombre est divisible par $6$ et par $8$, alors il est divisible par $48$.
6. $\square\;$ Le produit des entiers de $3$ à $10$ est divisible par $1000$.
7. $\boxtimes\;$ Le produit des entiers de $3$ à $10$ est divisible par $1600$.
8. $\boxtimes\;$ Si la somme des chiffres d'un entier en écriture décimale vaut $39$, alors il est divisible par $3$ mais pas par $9$.
9. $\square\;$ Si la somme des chiffres d'un entier en écriture décimale vaut $18$, alors il est divisible par $6$ et par $9$.

Vrai-Faux 5   Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\square\;$ Si un entier est divisible par deux entiers, alors il est divisible par leur produit.
2. $\boxtimes\;$ Si un entier est divisible par deux entiers premiers entre eux, alors il est divisible par leur produit.
3. $\boxtimes\;$ Si un entier est divisible par deux entiers, alors il est divisible par leur ppcm.
4. $\square\;$ Si un nombre divise le produit de deux entiers, alors il divise au moins un de ces deux entiers.
5. $\boxtimes\;$ Si un nombre premier divise le produit de deux entiers, alors il divise au moins un de ces deux entiers.
6. $\square\;$ Si un entier est divisible par deux entiers, alors il est divisible par leur somme.
7. $\boxtimes\;$ Si un entier divise deux entiers, alors il divise leur somme.
8. $\boxtimes\;$ Si deux entiers sont premiers entre eux, alors chacun d'eux est premier avec leur somme.
9. $\square\;$ Si deux entiers sont premiers entre eux, alors chacun d'eux est premier avec leur produit.
10. $\boxtimes\;$ Si deux entiers sont premiers entre eux, alors leur somme et leur produit sont premiers entre eux.

Vrai-Faux 6   Soient $a,b,d$ trois entiers. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$ Si $d$ divise $a$ et $b$, alors $d$ divise leur pgcd.
2. $\square\;$ S'il existe deux entiers $u$ et $v$ tels que $au+bv=d$, alors $d=\mathrm{pgcd}(a,b)$.
3. $\square\;$ S'il existe deux entiers $u$ et $v$ tels que $au+bv=d$, alors $d$ divise $\mathrm{pgcd}(a,b)$.
4. $\boxtimes\;$ S'il existe deux entiers $u$ et $v$ tels que $au+bv=d$, alors $\mathrm{pgcd}(a,b)$ divise $d$.
5. $\square\;$ Si $\mathrm{pgcd}(a,b)$ divise $d$, alors il existe un couple d'entiers $(u,v)$ unique, tel que $au+bv=d$.
6. $\boxtimes\;$ L'entier $d$ est un multiple de $\mathrm{pgcd}(a,b)$ si et seulement si il existe un couple d'entiers $(u,v)$, tel que $au+bv=d$.

Vrai-Faux 7   Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$ Si un entier est congru à 0 modulo $6$, alors il est divisible par $6$.
2. $\square\;$ Si le produit de deux entiers est congru à 0 modulo $6$ alors l'un des deux est multiple de $6$.
3. $\boxtimes\;$ Si un entier est congru à $5$ modulo $6$ alors toutes ses puissances paires sont congrues à $1$ modulo $6$.
4. $\boxtimes\;$ Si deux entiers sont congrus à $4$ modulo $6$, alors leur somme est congrue à $2$ modulo $6$.
5. $\square\;$ Si deux entiers sont congrus à $4$ modulo $6$, alors leur produit est congru à $2$ modulo $6$.
6. $\boxtimes\;$ Si un entier est congru à $4$ modulo $6$ alors toutes ses puissances sont aussi congrues à $4$ modulo $6$.

Vrai-Faux 8   Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$ Si le produit de deux entiers est congru à 0 modulo $5$ alors l'un des deux est multiple de $5$.
2. $\boxtimes\;$ Si un entier est congru à $2$ modulo $5$ alors sa puissance quatrième est congrue à $1$ modulo $5$.
3. $\square\;$ Si deux entiers sont congrus à $2$ modulo $5$, alors leur somme est congrue à $1$ modulo $5$.
4. $\boxtimes\;$ Pour tout entier, il existe un entier tel que le produit des deux soit congru à $1$ modulo $5$.
5. $\square\;$ Aucun entier n'est tel que son carré soit congru à $-1$ modulo $5$.
6. $\boxtimes\;$ Aucun entier n'est tel que son carré soit congru à $2$ modulo $5$.
7. $\square\;$ La puissance quatrième d'un entier quelconque est toujours congrue à $1$ modulo $5$.
8. $\boxtimes\;$ La puissance quatrième d'un entier non multiple de $5$ est toujours congrue à $1$ modulo $5$.