Le fameux

Poly d’analyse

ENSIMAG 1^{ère} Année 1^{er} semestre

M. Dalmasso Elie C.d.G, Prakash C., Franz C., Amélie D., Nicolas D., Antonin L., M.Mathieu S.

1999/2000

Contents

1 Espaces Métriques 5 1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Espaces métriques complet et théorème du point fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Espaces métriques compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4 Produit d’espaces métriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Espaces Vectoriels Normés 15 2.1 Espaces de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Continuité dans les E.V.N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3 Equivalence et convexité de normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4 Séries dans les E.V.N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.5 Compacité en dimension infinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 Différentiabilité dans les espaces de Banach 25 3.1 Différentiabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2 Composition de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.3 Théorème de la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4 Espaces de Hilbert 33 4.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.2 Projection sur un convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.3 Représentation de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.4 Bases hilbertiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5 Intégration 45 5.1 Construction rapide de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.2 Intégrale des fonctions mesurables positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5.3 Fonctions intégrables (au sens de Lebesgue) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6 Les distributions 59 6.1 Définition des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 6.2 Opérations sur les distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

6.2.1 Dérivation des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 6.2.2 Multiplication par les fonctions C^{∞} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 6.2.3 Distributions périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4 CONTENTS

Chapter 1

Espaces Métriques

1.1 Définitions

Définition 1 On appelle \underline{espace métrique} la donnée d’un ensemble E et d’une fonction distance d : E × E ⟶ ℝ_{+} vérifiant :

(i) ∀ x, y ∈ E, d(x, y) = 0 ⟺ x = y

(ii) ∀ x, y ∈ E, d(x, y) = d(y, x)
(iii) ∀ x, y, z ∈ E, d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y)

Si F ⊂ E, F ≠ ∅ et F muni de la distance d est un espace métrique, alors F est un \underline{sous-espace métrique} de (E, d). Remarque 1 ∀ x, y, z ∈ E, |d(x, y) − d(x, z)| ≤ d(y, z) Exemples 1

1) ℝ^{n}(n ≥ 1), d(x, y) = [∑_{i=1}^{n} (x_{i} − y_{i})]^{1/2} où x = (x_{1}, …, x_{n}), y = (y_{1}, …, y_{n})

2) ℝ^{n}(n ≥ 1), d(x, y) = ∑_{i=1}^{n} |x_{i} − y_{i}|

3) Soit A un ensemble, A ≠ ∅.

On pose E = {f : A → ℝ ; f bornée} (i.e. sup_{x∈A} |f(x)| < +∞)

Si f, g ∈ E, f − g ∈ E.

Posons d(f, g) = sup_{x∈A} |f(x) − g(x)|

d est une distance sur E. A partir de maintenant, (E, d) est un espace métrique. Définition 2 Soient a ∈ E et r > 0.

(i) La \underline{boule ouverte} de centre a et de rayon r > 0 est l’ensemble

B(a, r) = {x ∈ E ; d(a, x) < r}

(ii) La \underline{boule fermée} de centre a et de rayon r > 0 est l’ensemble

B′(a, r) = {x ∈ E ; d(a, x) ≤ r}

(iii) La \underline{sphère} de centre a et de rayon r > 0 est l’ensemble

S(a, r) = {x ∈ E ; d(a, x) = r}

Définition 3

(i) A ⊂ E est \underline{ouvert} si et seulement si ∀ x ∈ A, ∃ r > 0 tq B(x, r) ⊂ A.

(ii) F ⊂ E est \underline{fermé} si et seulement si le complémentaire de F dans E est ouvert.

Remarque 2 B(a, r) est un ouvert et B′(a, r) est un fermé.

Notions de topologie générale

Définition 4 On appelle \underline{espace topologique} la donnée d’un ensemble E et d’un ensemble T de parties de E, appelées \underline{parties ouvertes} de E, telles que :

(i) ∅ et E appartiennent à T

(ii) L’intersection d’un nombre fini d’ouverts est un ouvert

(iii) La réunion quelconque d’ouverts est un ouvert

Définition 5 Soit E un espace topologique. F ⊂ E est \underline{fermé} si le complémentaire de E dans F est un ouvert.

Définition 6 Soit E un espace topologique, et A ⊂ E. V ⊂ E est un \underline{voisinage de A dans E} s’il existe U ouvert dans E tel que A ⊂ U ⊂ V. Si A = \{a\}, a ∈ E, on parle de \underline{voisinage d’un point}.

Définition 7 Soit (x_{n})_{n∈ℕ} une suite d’élements de E et soit x ∈ E. On dit que \underline{(x_{n})_{n∈ℕ} tend vers x} si pour tout voisinage V de x il existe n_{0} ∈ ℕ tel que ∀ n ≥ n_{0}, x_{n} ∈ V.

Remarque 3

1) Soit (E, d) un espace métrique. E est un espace topologique si on définit les ouverts comme dans la définition 3 (page 6).

2) Soit (E, d) un espace métrique. (x_{n})_{n∈ℕ} tend vers x dans E si et seulement sid(x_{n}, x) tend vers 0.

Démonstration

• U_{1} … U_{N} ouverts, U = ⋂_{i=1}^{N} U_{i}

Soit x ∈ U. ∀ i, x ∈ U_{i} donc ∀ i, ∃ r_{i} > 0 tq B(x, r_{i}) ⊂ U_{i}.

Posons r = min_{1≤i≤N} r_{i}. Alors B(x, r) ⊂ U.

• U_{j} ouverts, j ∈ J, U = ⋃_{j∈J} U_{j}

Soit x ∈ U. ∃ j ∈ J tq x ∈ U_{j}. Donc ∃ r > 0 tq B(x, r) ⊂ U_{j} ⊂ ⋃_{k∈J} U_{k} = U.

Définition 8 Soit E un espace topologique et A ⊂ E. L’\underline{adhérence de A} notée \overline{A} est l’intersection des fermés contenant A (i.e. \overline{A} est le plus petit fermé contenant A).

Remarque 4

1) x ∈ \overline{A} ⟺ ∃ (x_{n})_{n∈ℕ} ∈ A^{ℕ} tq x_{n} ⟶ x
2) A est fermé ⟺ A = \overline{A}

Définition 9 Soit E un ensemble et d_{1}, d_{2} deux distances sur E. d_{1} est \underline{équivalente} à d_{2} (d_{1} ∼ d_{2}) s’il existe a, b > 0 tels que

∀ x, y ∈ E, a.d_{1}(x, y) ≤ d_{2}(x, y) ≤ b.d_{1}(x, y)

Définition 10 Soient (E, d) et (E′, d′) deux espaces métriques. Une application f : E ⟶ E′ est \underline{continue en x_{0} ∈ E} si pour tout voisinage V′ de f(x_{0}) dans E′, il existe un voisinage V de x_{0} dans E tel que f(V) ⊂ V′. f est \underline{continue} si elle est continue en tout point de E.

Proposition 1 Les assertions suivantes sont équivalentes:

(i) f est continue en x_{0} ∈ E

(ii) pour tout V′ voisinage de f(x_{0}) dans E′, f^{−1}(V′) est un voisinage de x_{0} dans E

(iii) ∀ ε > 0, ∃ η > 0 tq d(x, x_{0}) ≤ η ⟹ d′(f(x), f(x_{0})) ≤ ε

1.2 Espaces métriques complet et théorème du point fixe

(E, d) est un espace métrique

Définition 11 Une suite (x_{n})_{n∈ℕ} infinie est \underline{de Cauchy} si

∀ ε > 0, ∃ n_{0} ∈ ℕ tq ∀ p, q ≥ n_{0}, d(x_{p}, x_{q}) ≤ ε

Proposition 2

Toute suite convergente est de Cauchy.

Démonstration Soit x_{n} ⟶ x, soit ε > 0. ∃ n_{0} tq ∀ n ≥ n_{0}, d(x, x_{n}) ≤ \frac{ε}{2} ∀ p, q ≥ n_{0}, d(x_{p}, x_{q}) ≤ d(x_{p}, x) + d(x, x_{q}) ≤ \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε

Remarque 5 La réciproque est fausse (cf. suites de Cauchy dans ℚ).

Définition 12 Un espace métrique est \underline{complet} si toute suite de Cauchy est convergente.

Exemples 2

1) ℝ^{k} est complet.

2) E = C[0, 1].

Si on pose d(f, g) = ∫_{0}^{1} |f(t) − g(t)| dt, d est une distance sur E.

E n’est pas complet.

Proposition 3

Soit (E, d) un espace métrique.

(i) Si E est complet et si F ⊂ E est fermé, (F, d) est complet.

(ii) Soit F ⊂ E, F ≠ ∅. Si (F, d) est complet, F est fermé dans E.

Théorème 1 Théorème du point fixe contractant

Soit (E, d) un espace métrique complet. Soit T : E ⟶ E une application telle que ∀ x, y ∈ E, d(T x, T y) ≤ k.d(x, y) où k désigne une constante dans [0, 1[. Alors il existe un unique point x ∈ E tel que T x = x. De plus, x est la limite de la suite (x_{n})_{n∈ℕ} telle que ∀ n ∈ ℕ, x_{n+1} = T x_{n} avec x_{0} quelconque dans E.

Démonstration

• Unicité :

Soient x, y ∈ E tels que T x = x et T y = y.

d(x, y) = d(T x, T y) ≤ k d(x, y) ⟹ d(x, y) = 0 ⟹ x = y

• Existence : Soit x_{0} ∈ E et posons ∀ n ≥ 1, x_{n} = T x_{n−1}. Montrons que (x_{n})_{n∈ℕ} est de Cauchy.

d(x_{n}, x_{n−1}) = d(T x_{n−1}, T x_{n−2}
≤ k d(x_{n−1}, x_{n−2})
≤ k^{n−1} d(x_{1}, x_{0}) par récurrence
d(x_{n}, x_{n+m}) ≤ d(x_{n+m}, x_{n+m−1}) + ⋯ + d(x_{n+1}, x_{n})
≤ (k^{n+m−1} + ⋯ + k^{n}) d(x_{1}, x_{0})
≤ k^{n}(1 + k + ⋯ + k^{n−1}) d(x_{1}, x_{0})
≤ \frac{k^{n}}{1 − k} d(x_{1}, x_{0}) ⟶_{n,m→∞} 0

Donc ∃ x ∈ E tq x_{n} ⟶ x et on a : x_{n} = T x_{n−1} ⟹ x = T x par passage la limite car T est continue.

Remarque 6 d(x, x_{n}) ≤ \frac{k^{n}}{1 − k} d(x_{1}, x_{0})

Application

Soit f : ℝ × ℝ ⟶ ℝ une application continue vérifiant :

∃ M > 0 tq ∀ x, y, z_{i}nℝ, |f(x, y) − f(x, z)| ≤ M |y − z|

(f est lipschitzienne par rapport à la deuxième variable uniformément par rapport à la première variable). ∀ x_{0} ∈ ℝ, ∀ y_{0} ∈ ℝ, il existe y ∈ C^{1}(ℝ) unique telle que :

\{ \begin{matrix}∀ x ∈ ℝ, y′(x) = f(x, y(x)) \\ y(x_{0}) = y_{0} \end{matrix}  (1.1)

Exemple 3 Exemple de fonction vérifiant les hypothèses : f(x, y) = a(x) y avec a continue et bornée. |f(x, y) − f(x, z)| = |a(x)| |y − z| ≤ ∥a∥_{∞} |y − z| Lemme 1

Soit I un intervalle de ℝ contenant x_{0}. On a l’équivalence suivante :

1) y ∈ C^{1}(I) est solution de 1.1 (page 9) sur I

2) y ∈ C^{1}(I) est solution de : ∀ x ∈ I, y(x) = y_{0} + ∫_{x_{0}}^{x} f(t, y(t)) dt

Démonstration Soit f : ℝ × ℝ ⟶ ℝ continue telle que ∃ M > 0 tq ∀ x, y, z ∈ ℝ, |f(x, y) − f(x, z)| ≤ M |y − z|. Soit x_{0}, y_{0} ∈ ℝ. Soit R > 0 tel que R M < 1.

On pose E = C[x_{0}, x_{0} + R], d(y, z) = sup_{x_{0}≤t≤x_{0}+R} |y(t) − z(t)|

(E, d) est complet.

On pose T : E ⟶ E tel que ∀ x ∈ [x_{0}, x_{0} + R], T y(x) = y_{0} + ∫_{x_{0}}^{x} f(s, y(s)) ds
y ⟼ T y

Soient y, z ∈ E, x ∈ [x_{0}, x_{0} + R].

|T y(x) − T z(x)| = |∫_{x_{0}}^{x} (f(s, y(s)) − f(s, z(s))) ds|
≤ ∫_{x_{0}}^{x} |f(s, y(s)) − f(s, z(s))| ds
≤ ∫_{x_{0}}^{x} M |y(s) − z(s)| ds
≤ M d(x, z) ∫_{x_{0}}^{x_{0}+R} ds
= R M d(y, z)

Or ceci est vrai pour tout x dans [x_{0}, x_{0} + R], d’où d(T y, T z) ≤ M R d(y, z) D’après le théorème du point fixe 1 (page 8), il existe donc un unique y ∈ E tel que T y = y. Et par le lemme 1 (page 10), y est solution de l’équation 1.1 (page 9) sur [x_{0}, x_{0} + R]. On peut ensuite étendre la solution sur ℝ en se plaçant en x_{0} + R etc...

Remarque 7 On a le même R partout grâce à l’uniformité. Si on prend f(x, y) = y^{2} : |f(x, y) − f(x, z)| ≤ |y − z| |y + z| Donc ça ne marche pas : on a un M au voisinage du point auquel on se place. Il faut prendre R_{1} > 0, [x_{0}, x_{0} + R_{1}], R_{2} > 0, [x_{0} + R_{1}, x_{0} + R_{1} + R_{2}] … Donc le résultat est valable uniquement sur [x_{0}, a] avec a < +∞.

1.3 Espaces métriques compacts

Définition 13 Soient (E, d) un espace métrique et A ⊂ E, A ≠ ∅. On dit que A est \underline{compact} si de toute suite (x_{n})_{n∈ℕ} d’élements de A on peut extraire une suite (x_{n_{k}})_{k∈ℕ} qui converge dans A.

Remarque 8 A est compact si de tout recouvrement ouvert on peut extraire un sous-recouvrement fini.

Définition 14 Soient (E, d) un espace métrique et A ⊂ E, A ≠ ∅. Le \underline{diamètre} de A est par définition :

δ(A) = sup_{x,y∈A} d(x, y) ∈ [0, +∞]

On dit que A est \underline{borné} si δ(A) est fini.

Proposition 4

Si A est compact, A est fermé et borné.

Démonstration

• A est fermé :

Soit x ∈ E tel que x = lim x_{n}, avec ∀ n, x_{n} ∈ A.

Il existe (n_{k}) strictement croissante telle que x_{n_{k}} converge dans A, donc x = lim_{k→+∞} x_{n_{k}} ∈ A.

• A est borné :

Par l’absurde : si A n’est pas borné, il existe (x_{n})_{n∈ℕ} et (y_{n})_{n∈ℕ} tels que d(x_{n}, y_{n}) ⟶ +∞

∃ (n_{k}) ↗↗ tq x_{n_{k}} ⟶_{k→∞} x ∈ A.

∃ (k_{j}) ↗↗ tq y_{n_{k_{j}}} ⟶_{j→∞} y ∈ A.

On a aussi x_{n_{k_{j}}} ⟶_{j→∞} x ∈ A.

Alors : \underbrace{d(x_{n_{k_{j}}} , y_{n_{k_{j}}})}_{⟶+∞} ≤ \underbrace{d(x_{n_{k_{j}}} , x)}_{⟶0} + \underbrace{d(y_{n_{k_{j}}} , y)}_{⟶0} +d(x, y) ce qui est impossible.

Proposition 5

1) Si A est compact, alors A est complet.

2) Si A est compact et si F ⊂ A, F ≠ ∅ et F fermé, alors F est compact.

Démonstration

1) Soit (x_{n})_{n∈ℕ} une suite de Cauchy dans A. ∃ (n_{k}) ↗↗ tq x_{n_{k}} ⟶ x ∈ A. Alors x_{n} ⟶ x. (Si une suite extraite d’une suite de Cauchy est convergente, alors la suite est convergente).

2) Soit (x_{n})_{n∈ℕ} une suite d’éléments de F. ∀ n, x_{n} ∈ A. Donc ∃ (n_{k}) ↗↗ tq x_{n_{k}} ⟶ x ∈ A. Comme F est fermé, x ∈ F.

Proposition 6

Soient (E, d) et (E′, d′) des espaces métriques. Soit f : E ⟶ E′ une application continue et soit A un compact de E. Alors f(A) est compact.

Démonstration Soit (y_{n})_{n∈ℕ} telle que ∀ n ∈ ℕ, y_{n} ∈ A. ∀ n ∈ ℕ, ∃ x_{n} ∈ A tq f(x_{n}) = y_{n}. ∃ (n_{k}) ↗↗ tq x_{n_{k}} ⟶ x ∈ A. Comme f est continue, y_{n_{k}} = f(x_{n_{k}}) ⟶ f(x) ∈ f(A).

Proposition 7

Soit (E, d) un espace métrique et A ⊂ E un compact. Si f : A ⟶ ℝ est continue, alors il existe x, y ∈ A tels que :

f(x) = inf_{t∈A} f(t) et f(y) = sup_{t∈A} f(t)

Démonstration A est compact, donc f(A) est compact d’après la proposition 6 (page 12). Donc f(A) est borné par la proposition 4 (page 11), et l’inf et le sup existent. Montrons que l’inf est atteint :

∃ (x_{n})_{n∈ℕ} tq ∀ n, x_{n} ∈ A et f(x_{n}) ⟶ inf_{t∈A} f(t).

∃ (n_{k}) ↗↗ tq x_{n_{k}} ⟶ x ∈ A. Donc f(x_{n_{k}}) ⟶ f(x).

Proposition 8

Soit (E, d) un espace métrique et A ⊂ E un compact. Alors pour tout x de E, il existe y (non unique) dans A tel que :

d(x, y) = d(x, A)

On dit que y est la \underline{meilleure approximation} de x sur A pour d.

Démonstration y ⟼ d(x, y) est continue, d’où le résultat par la proposition 7 (page 12).

Remarque 9 Problème de l’unicité :

1) ℝ^{2} avec la distance euclidienne :

A = S(0, 1), x = 0

∀ y ∈ A, d(0, y) = d(0, A)

2) ℝ^{2} avec la distance d(x, y) = max(|x_{1} − y_{1}| , |x_{2} − y_{2}|) :

A = S(0, 1), x = (2, 0)

∀ t ∈ [−1; 1], d((2, 0), (1, t)) = d((2, 0), A)

1.4 Produit d’espaces métriques

Soient (E_{j}, d_{j})_{j=1..n} (n ≥ 2) des espaces métriques. Soient E = E_{1} × E_{2} × … × E_{n} et x = (x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}) ∈ E.

On pose d(x, y) = max_{1≤j≤n} d_{j}(x_{j}, y_{j}).

On vérifie que d est une distance sur E.

14 CHAPTER 1. ESPACES MÉTRIQUES

Espaces Vectoriels Normés

Le corps des scalaires sera toujours 𝕂 = ℝ ou ℂ

2.1 Espaces de Banach

Définition 1 On appelle \underline{norme} sur un espace vectoriel E, une application de E dans ℝ_{+} (notée x ⟼ ∥x∥_{E} ou ∥x∥) telle que :

(i) ∀ x ∈ E, ∀ λ ∈ 𝕂, ∥λx∥ = |λ| . ∥x∥ (ii) ∀ x, y ∈ E, ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥ (iii) ∀ x ∈ E, ∥x∥ = 0 ⟺ x = 0

Remarque 1 1) Soit E un E.V.N., E est aussi un espace métrique pour la distance d(x, y) = ∥x − y∥. E est donc aussi un espace topologique.

2) x ⟼ ∥x∥ est continue (et même lipschitzienne) : |∥x∥ − ∥y∥| ≤ ∥x − y∥

3) x_{n} ⟶ x, y_{n} ⟶ y, λ_{n} ⟶ λ ⟹ x_{n} + y_{n} ⟶ x + y, λ_{n}x_{n} ⟶ λx

4) Si on n’a que l’implication vers la gauche dans 3 on parle de \underline{semi-norme}. Définition 2 Un E.V.N. complet est un \underline{espace de Banach}. Exemples 1

1) ℝ^{k} avec ∥x∥_{2} = (∑_{j=1}^{k} x_{j}^{2})^{\frac{1}{2}} est complet.

Il en est de même avec ∥x∥_{1} = ∑_{j=1}^{k} |x_{j}| et ∥x∥_{∞} = max_{1≤j≤k} |x_{j}|.

2) ℂ^{k} avec ∥z∥_{2} = (∑_{j=1}^{k} |z_{j}|^{2})^{\frac{1}{2}} est également complet.

3) E = C[0, 1] avec ∥u∥_{∞} = sup_{0≤t≤1} |u(t)| est encore complet.

Démonstration du point 3 Soit (u_{n})_{n∈ℕ} une suite de Cauchy dans E. Soit ε > 0. ∃ N ∈ ℕ tq ∀ n, m ≥ N, ∥u_{n} − u_{m}∥_{∞} ≤ ε Donc

∀ n, m ≥ N, ∀ t ∈ [0, 1], |u_{n}(t) − u_{m}(t)| ≤ ε  (2.1)

c’est-à-dire : ∀ t ∈ [0, 1], (u_{n}(t))_{n∈ℕ} est de Cauchy dans 𝕂. Donc ∀ t ∈ [0, 1], il existe u(t) ∈ 𝕂 tel que u_{n}(t) ⟶_{n→∞} u(t). Dans 2.1 on fait tendre m vers +∞ :

∀ n ∈ ℕ, ∀ t ∈ [0, 1], |u_{n}(t) − u(t)| ≤ ε

Donc ∀ n ∈ ℕ, ∥u_{n} − u∥_{∞} ≤ ε Il reste à montrer que u est continue : Soit t_{0} ∈ [0, 1] et t ∈ [0, 1].

\begin{aligned}|u(t) − u(t_{0})| & ≤ & |u(t) − u_{N}(t)| + |u_{N}(t) − u_{N}(t_{0})| + |u_{N}(t_{0}) − u(t_{0})| \\ & ≤ & 2 ∥u_{N} − u∥_{∞} + |u_{N}(t) − u_{N}(t_{0})| \end{aligned}

∃ η > 0 (η depend de N) tq |t − t_{0}| ≤ η ⟹ |u_{N}(t) − u_{N}(t_{0})| ≤ ε Donc si |t − t_{0}| ≤ η on a : |u(t) − u(t_{0})| ≤ 3 ε

2.2 Continuité dans les E.V.N.

Théorème 1 Soient E et F deux E.V.N. et u : E ⟼ F une application linéaire. Les propriétés suivantes sont équivalentes :

(i) Il existe une constante C ≥ 0 telle que ∥u(x)∥ ≤ C ∥x∥ pour tout x ∈ E

(ii) u est lipschitzienne i.e. ∃ C ≤ 0 tq ∀ x, y ∈ E, ∥u(x) − u(y)∥ ≤ C ∥x − y∥

(iii) u est uniformément continue

(iv) u est continue

(v) u est continue à l’origine

Démonstration

• 1 ⟹ 2 ⟹ 3 ⟹ 4 ⟹ 5 : évident.

• 5 ⟹ 1 : ∃ C > 0 tq ∥u(x)∥ ≤ 1 si ∥x∥ ≤ C.

Si x ≠ 0 : \underbrace{∥u (\frac{Cx}{∥x∥})∥}_{= \frac{C∥u(x)∥}{∥x∥}} ≤ 1

Donc ∥u(x)∥ ≤ \frac{1}{C} ∥x∥

Exemples 2 1) E, F des E.V.N. de dimension finie et u : E ⟶ F linéaire. Montrons que u est continue. Soit (e_{j})_{1≤j≤n} une base de E.

Pour x = ∑_{j=1}^{n} x_{j}e_{j}, on pose ∥x∥_{1} = ∑_{j=1}^{n} |x_{j}|

Soit ∥.∥ une norme sur F.

∥u(x)∥ = ∥u (∑_{j=1}^{n} x_{j} e_{j})∥
= ∥∑_{j=1}^{n} x_{j} u(e_{j})∥
≤ ∑_{j=1}^{n} |x_{j}| ∥u(e_{j})∥
≤ A ∥x∥_{1}

avec A = max_{1≤j≤n} ∥u(e_{j})∥

2) E = C^{1}([0, 1]) muni de ∥.∥_{∞}, F = C^{1}([0, 1]) muni de ∥.∥_{∞}

Soit \begin{matrix}u : E & ⟶ & F \\ f & ⟼ & u(f) = f′ \end{matrix}

Si on prend f_{n}(x) = x^{n} : ∥f_{n}∥_{∞} = 1 et ∥(f_{n})′∥_{∞} = n Donc u n’est pas continue.

Définition 3 Soient E et F deux E.V.N. On note \underline{L(E, F)} l’ensemble des applications linéaires \underline{continues} de E dans F. ^{1} L(E, F) est un E.V. Si F = 𝕂, on note E′ = L(E, 𝕂).

1c’est ce qui nous intéresse dans le cadre de l’analyse

Proposition 1

L’application L(E, F) ⟶ ℝ^{+}, u ⟼ ∥u∥ = sup_{∥x∥≤1} ∥u(x)∥ est une norme.

Remarque 2 u est bien définie, par le 1 du théorème 1 (page 16).

Remarque 3

1) On a aussi : ∥u∥ = sup_{∥x∥=1} ∥u(x)∥ = sup_{x≠0} \frac{∥u(x)∥}{∥x∥}

2) ∥u(x)∥ ≤ ∥u∥ ∥x∥

3) Si u ∈ L(E, F) et v ∈ L(F, G) avec E, F, G des E.V.N., on a :

∥v ∘ u∥ ≤ ∥v∥ ∥u∥

Proposition 2

Si E et F sont des E.V.N. et si F est un Banach, alors L(E, F) est un Banach. En particulier E′ est un Banach.

Démonstration Soit (u_{n})_{n∈ℕ} une suite de Cauchy dans L(E, F). Soit ε > 0. ∃ N ∈ ℕ tq ∀ n, m ≥ N, ∥u_{n} − u_{m}∥ ≤ ε Donc ∀ n, m ≥ N, ∀ x ∈ E, ∥u_{n}(x) − u_{m}(x)∥ ≤ ε ∥x∥ c’est-à-dire : ∀ x ∈ E, (u_{n}(x))_{x∈ℕ} est de Cauchy dans F. F étant complet, pour tout x ∈ E il existe u(x) ∈ F tel que u_{n}(x) ⟶_{n→∞} u(x).

• Montrons que u : E ⟶ F est linéaire :

Si x, y ∈ E et λ ∈ 𝕂 :

u(x + λ y) = lim_{n→+∞} u_{n}(x + λ y)
= lim_{n→+∞}(u_{n}(x) + λ u_{n}(y))
= lim_{n→+∞} u_{n}(x) + λ lim_{n→+∞} u_{n}(y)
= u(x) + λ u(y)

• Montrons que u est continue :

En faisant tendre m vers +∞, on a :

∀ n ≥ N, ∀ x ∈ E, ∥u_{n}(x) − u(x)∥ ≤ ε ∥x∥

∥u(x)∥ ≤ ∥u(x) − u_{N}(x)∥ + ∥u_{N}(x)∥
≤ ε ∥x∥ + ∥u_{N}∥ ∥x∥
= (ε + ∥u_{N}∥) ∥x∥

Donc u est continue, par le 1 du théorème 1 (page 16).

Par conséquent, u ∈ L(E, F).

On a alors : ∀ n ≥ N, ∥u_{N} − u∥ ≤ ε, donc u_{n} ⟶_{n→∞} u.

Définition 4 Soient E et F des E.V.N. Une application linéaire de E dans F est un \underline{isomorphisme} de E sur F si :

(i) u est bijective

(ii) u et u^{−1} sont continues

Remarque 4

1) u est un isomorphisme de E sur F si et seulement si il existe v ∈ L(F, E) tel que v∘u = Id_{E} et u ∘ v = Id_{F}

2) u est un isomorphisme de E sur F si et seulement si u est surjective et

∃ a, A > 0 tq ∀ x ∈ E, a ∥x∥ ≤ ∥u(x)∥ ≤ A ∥x∥

Théorème 2 Théorème de l’inverse continu Soient E et F des E.V.N et u ∈ L(E, F). Si E et F sont des Banach et u est bijective, alors u^{−1} est continue.

2.3 Equivalence et convexité de normes

Définition 5 Soit E un E.V. et ∥.∥_{1} et ∥.∥_{2} deux normes sur E. ∥.∥_{1} et ∥.∥_{2} sont \underline{équivalentes} si i : (E, ∥.∥_{1}) ⟶ (E, ∥.∥_{2}) est un isomorphisme (i.e. si ∀ x ∈ E, ∃ a, A > 0 tq a ∥x∥_{1} ≤ ∥x∥_{2} ≤ A ∥x∥_{1}).

Proposition 3

Si E est un E.V. de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes.

Démonstration

Soit (e_{j})_{1≤j≤n} une base de E et ∥x∥_{1} = ∑_{j=1}^{n} |x_{j}| si x = ∑_{j=1}^{n} x_{j} e_{j}

Soit ∥.∥ une norme quelconque sur E.

∥x∥ = ∥∑_{j=1}^{n} x_{j} e_{j}∥ ≤ ∑_{j=1}^{n} |x_{j}| ∥e_{j}∥ ≤ A ∥x∥_{1} où A = max_{1≤j≤n} ∥e_{j}∥

(E, ∥.∥_{1}) ⟶ ℝ_{+}, x ⟼ ∥x∥ est continue car : | ∥x∥ − ∥y∥ | ≤ ∥x − y∥ ≤ A ∥x − y∥_{1} Donc l’inf existe et est atteint en y ≠ 0, i.e. ∃ a > 0 tq inf_{∥x∥_{1}=1} ∥x∥ = a.

Comme ∥\frac{x}{∥x∥_{1}} ∥_{1} = 1, alors ∥x∥ ≥ a ∥x∥_{1} et donc ∥.∥ ∼ ∥.∥_{1}

Proposition 4 Meilleure approximation sur un E.V. fermé

Soit E un E.V.N. et F un S.E.V. de dimension finie de E.

∀ x ∈ E, ∃ y ∈ F tq ∥x − y∥ = d(x, F) = inf_{z∈F} ∥x − z∥

Démonstration Soit d = d(x, F) Posons A = F ∩ B′(x, d + 1) Il est clair que d ≤ inf_{z∈A} ∥x − z∥

Soit ε ∈]0, 1[. Par la définition de d : ∃ z ∈ F tq d ≤ ∥x − z∥ ≤ d + ε

Donc z ∈ A, d’où inf_{z∈A} ∥x − z∥ ≤ d + ε

En faisant tendre ε vers 0 on obtient : inf_{z∈A} ∥x − z∥ ≤ d

On en déduit que d = inf_{z∈A} ∥x − z∥ et comme A est compact, l’inf est atteint.

Définition 6 Soit E un E.V.

1) Soit A ⊂ E, A ≠ ∅. A est \underline{convexe} si et seulement si

∀ x, y ∈ A, ∀ λ ∈ [0, 1], λ x + (1 − λ) y ∈ A

2) Une norme sur E est \underline{strictement convexe} si

\begin{matrix}∥x∥ = ∥y∥ = 1 \\ ∥x + y∥ = 2 \end{matrix} \} ⟹ x = y

Remarque 5 La norme euclidienne est strictement convexe, la norme du max ne l’est pas.

Proposition 5

Soit E un E.V.N. Si la norme est strictement convexe, le probleme de la meilleure approximation sur un convexe A admet au plus une solution.

Démonstration Soit x ∈ E. Si a, b ∈ A vérifient ∥x − a∥ = ∥x − b∥ = d(x, A) = d, alors montrons que a = b :

1) Si d = 0 : x = a = b

2) Si d > 0 : Posons s = \frac{x − a}{d} et t = \frac{x − b}{d}

On a : ∥s∥ = 1 et ∥t∥ = 1.

De plus : \frac{a + b}{2} ∈ A

Donc d ≤ ∥x − \frac{a + b}{2}∥ = ∥\frac{x − a}{2} + \frac{x − b}{2}∥ ≤ \frac{∥x − a∥}{2} + \frac{∥x − a∥}{2} = d

D’où ∥x − \frac{a + b}{2}∥ = d et ∥s + t∥ = ∥\frac{2x − a − b}{d}∥ = 2

Comme la norme est convexe, s = t donc a = b.

2.4 Séries dans les E.V.N.

Définition 7 Soit E un E.V.N., soit (x_{n})_{n∈ℕ} une suite dans E.

On dit que la série ∑_{n≥0} x_{n} est \underline{convergente} vers x si la suite S_{N} = ∑_{n=0}^{N} x_{n} converge vers x.

On dit que la série est \underline{absolument convergente (normalement)} si ∑_{n≥0} ∥x_{n}∥ converge.

Proposition 6

Si E est un E.V.N. complet alors toute série absolument convergente est convergente.

Démonstration Soient p > q ≥ 0.

∥S_{p} − S_{q}∥ = ∥ ∑_{n=q+1}^{p} x_{n}∥ ≤ ∑_{n=q+1}^{p} ∥x_{n}∥ ⟶_{p,q→∞} 0

Remarque 6 La réciproque est fausse.

Théorème 3 Soit E un Banach et u ∈ L(E, E). Si ∑_{n≥0} ∥u^{n}∥ < +∞ alors I − u est un isomorphisme et (I − u)^{−1} = ∑_{n≥0} u^{n}

Démonstration

Posons v = ∑_{n≥0} u^{n} ∈ L(E, E) = L(E).

v ∘ (I − u) = (∑_{n≥0} u^{n}) ∘ (I − u) = ∑_{n≥0} u^{n} − ∑_{n≥1} u^{n} = I

De même, (I − u) ∘ v = I

Remarque 7 Soit u ∈ L(E) tel que ∥u∥ < 1, alors I −u est un isomorphisme et (I −u)^{−1} = ∑_{n≥0} u^{n}

2.5 Compacité en dimension infinie

Théorème 4 Théorème de F.Riesz Soit E un E.V.N. Si la boule unité fermée est compacte, E est de dimension finie.

Remarque 8 Il y a en fait équivalence.

Démonstration Supposons B′(0, 1) compacte.

B′(0, 1) ⊂ ⋃_{x∈B′(0,1)} B (x, \frac{1}{2})

D’après la remarque 8 (page 11) du chapitre 1,

∃ p ∈ ℕ, x_{1}, …, x_{p} ∈ B′(0, 1) tq B′(0, 1) = ⋃_{j=1}^{p} B (x_{j}, \frac{1}{2})

Soit F l’espace vectoriel engendré par x_{1}, …, x_{p}. F est donc de dimention finie. Montrons que E=F : Sinon, il existe x ∈ E\F et on pose α = d(x, F), α > 0 car F est fermé.

Soit y ∈ F tel que α ≤ ∥x − y∥ ≤ \frac{3}{2}α

Posons z = \frac{x − y}{∥x − y∥}

∥z∥ = 1 donc ∃ x_{j} ∈ B′(0, 1) tq z ∈ B(x_{j}, \frac{1}{2})

x = y + ∥x − y∥ z = \underbrace{y + ∥x − y∥ x_{j}}_{∈F} + ∥x − y∥ (z − x_{j})

Alors α ≤ ∥x − y∥ ∥z − x_{j}∥ D’où ∥x − y∥ ≥ \frac{α}{∥z − x_{j}∥} ≥ 2α : contradiction.

Remarque 9 Soit E un E.V.N. et A ⊂ E, A ≠ ∅.

1) Si A est compacte alors A est fermée et bornée.

2) Si E est de dimension finie, A est fermée et bornée, alors A est compacte.

3) Si E est de dimension infinie, une partie fermée bornée n’est pas forcément compacte.

Définition 8 Soit (E, d) et (F, δ) deux espaces métriques, H ⊂ F^{E} et x_{0} ∈ E. On dit que H est \underline{équicontinue en x_{0}} si

∀ ε > 0, ∃ η > 0 tq ∀ f ∈ H, d(x, x_{0}) ≤ η ⟹ δ(f(x), f(x_{0})) ≤ ε

H est \underline{équicontinue} si H est équicontinue en tout x_{0} de E.

Exemples 3 1) Un ensemble fini de fonctions équicontines est équicontinu.

2) Une suite uniformément convergente de fonctions continues est équicontinue.

3) E, F E.V.N., H ∈ L(E, F), H borné. Alors H est équicontinue.

Démonstration de l’exemple 1 Soitf_{1}, …, f_{p} continues en x_{0}, soit ε > 0. ∀ j ∈ {1, .., p}, ∃ η_{j} > 0 tq d(x, x_{0}) ≤ η_{j} ⟹ δ(f_{j}(x), f_{j}(x_{0})) ≤ ε Posons η = min_{1≤j≤p} η_{j} > 0

Si d(x, x_{0}) ≤ η, alors ∀ j ∈ {1, .., p}, δ(f_{j}(x), f_{j}(x_{0})) ≤ ε

Théorème 5 Théorème d’Ascoli Soit E un espace métrique compact et F un Banach. Soit H ⊂ C(E, F) (C(E, F) muni de la convergence uniforme), H ≠ ∅ et pour x ∈ E, H(x) = {f(x) ; f ∈ H}. \overline{H} est compacte si et seulement si H est équicontinue et ∀ x ∈ E, \overline{H(x)} est compacte dans F.

Remarque 10

• Si F = ℝ ou ℂ, ou un E.V. de dimension finie, la deuxième condition peut être remplacée par : ∀ x ∈ E, H(x) borné dans F.

• E ne peut pas être un E.V. car un E.V. n’est pas compact, mais en général E sera une partie compacte d’un E.V.

• Si H ⊂ C([0, 1], [a, b]), montrer que \overline{H(x)} est compacte est trivial car H(x) ⊂ [a, b] implique que H(x) soit borné.

24 CHAPTER 2. ESPACES VECTORIELS NORMÉS

Différentiabilité dans les espaces de Banach

Dans tout le chapitre on travaille sur ℝ.

3.1 Différentiabilité

Définition 1 Soit E et F deux espaces de Banach, soit U un ouvert non vide de E et a ∈ U, soit f : U ⟶ F. f est dite (Fréchet) \underline{différentiable en a} s’il existe L ∈ L(E, F) telle que :

f(a + h) = f(a) + L(h) + \underbrace{∥h∥ε(h)}_{o(∥h∥)}

où ε : V ⟶ F est une application définie sur un voisinage ouvert V de 0_{E} ^{1} tel que ∀h ∈ V, a+h ∈

U, et lim_{h→0} ε(h) = 0.

L est unique et s’appelle la \underline{dérivée de f en a} et on la note f′(a) ou df_{a} ou Df(a).

Quelques propriétés

1) L est unique.

2) f est \underline{différentiable sur U} si f est différentiable en tout point de U. Dans ce cas, on a f′ : U ⟶ L(E, F).

On dit que f est de classe C^{1} si f est différentiable sur U et f′ est continue. (f est C^{2} si f′ est C^{1}, ...)

3) L’ensemble des applications différentiables en a ∈ U (respectivement sur U) est un espace vectoriel.

4) Si f est différentiable en a ∈ U alors f est continue en a.

1le zéro dans E

Démonstration

• Point 1 :

Si on a L_{1} et L_{2} :

Soit h ∈ E \ 0 et t ∈]0; ε′[ (ε′ assez petit pour que a + t h ∈ V).

\begin{aligned}f(a + t h) & = & f(a) + L_{1}(t h) + o(∥t h∥) \\ & = & f(a) + L_{2}(t h) + o(∥t h∥) \end{aligned}

Donc ∥L_{1}(h) − L_{2}(h)∥ = ∥\frac{L_{1}(t h) − L_{2}(t h)}{t}∥ = \frac{o(t ∥h∥)}{t} ⟶_{t→0} 0

• Point 4 :

|f(a + h) − f(a)| ≤ L(h) + ∥h∥ ∥ε(h)∥ ⟶_{h→0} 0

Définition 2 (Différentiabilité au sens de Gato) Soit E et F deux espaces de Banach, soit U un ouvert non vide de E et a ∈ U, soit f : U ⟶ F. Soit v ∈ E et t ∈ ℝ^{∗}. On dit que f est (Gato) \underline{différentiable dans la direction du vecteur v} si

\frac{f(a + t v) − f(a)}{t} admet une limite quand t tend vers 0.

Remarque 1 f est différentiable en a ⇒ f est différentiable dans toutes les directions en a. Attention la réciproque est fausse.

Remarque 2 Pour le cas où E=ℝ:

• Si E = F = ℝ :

On sait que lim_{h→0,h≠0} \frac{f(a + h) − f(a)}{h} = f′(a)

Or f(a + h) = f(a) + f′(a)(h) + o(|h|)

Donc lim_{h→0,h≠0} \frac{f(a + h) − f(a)}{h} = f′(a)(1)

D’où f′(a)(h) = f′(a)h

Par exemple : f(x) = x^{2}, f′(x) = 2x, f′(x)(1) = 2x, f′(x)(h) = 2xh

• Soit :

\begin{matrix}θ : L(ℝ, F) & ⟶ & F \\ u & ⟼ & θ(u) = u(1) \end{matrix}

On a : u : t ⟼ t x ⟷ x

θ est un isomorphisme.

Exemples 1

1) Soit f : U ⟶ F et c ∈ F tel que ∀ x ∈ U, f(x) = c.
Alors ∀ x ∈ U, f′(x) = 0. Donc f′ : U ⟶ L(E, F) est nulle.
f est C^{∞}.
f′′ ∈ L(E, L(E, F)).

2) U = E et f ∈ L(E, F).

Alors ∀ x ∈ E, f′(x) = f (car f(x + h) − f(x) = f(h) = f′(x)(h)).

Donc f′ est constante, f est C^{∞} et les dérivées suivantes sont nulles.

3) Soit E_{1}, E_{2} et F des Banach, et B : E_{1} × E_{2} → F une application bilinéaire continue.

Soit ∥x∥_{∞} = max(∥x_{1}∥ , ∥x_{2}∥) pour x = (x_{1}, x_{2}) ∈ E_{1} × E_{2}.

B est continue en 0 ⟺ ∃ M > 0 tq ∥B(x, y)∥ ≤ M ∥x∥ ∥y∥

Démonstration de l’exemple 3 Comme B est continue en 0 : ∃ δ > 0 tq ∥(x, y)∥ ≤ δ ⟹ ∥B(x, y)∥ ≤ 1 Soit x et y non nuls.

On a alors : \underbrace{∥B (\frac{δ x}{∥x∥}, \frac{δ y}{∥y∥})∥}_{= \frac{δ^{2}}{∥x∥ ∥y∥} ∥B(x, y)∥} ≤ 1

D’où : ∥B(x, y)∥ ≤ \frac{1}{δ^{2}} ∥x∥ ∥y∥ et on prend M = \frac{1}{δ^{2}}

Proposition 1

B est différentiable et B′(x, y)(h, k) = B(x, k) + B(h, y)

Exemple 2

\begin{matrix}ℝ × ℝ & ⟶ & ℝ \\ (x, y) & ⟼ & xy \end{matrix}

Démonstration

B(x + h, y + k) = B(x, y) + \underbrace{B(x, k) + B(h, y)}_{B′(x,y)(h,k)} + \underbrace{B(h, k)}_{o(∥(h,k)∥)}

En effet ∥B(h, k)∥ ≤ M ∥h∥ ∥k∥ ≤ M ∥(h, k)∥^{2} donc on a bien B(h, k) = o(∥(h, k)∥). De plus, B′(x, y) : (h, k) ⟼ B(x, k) + B(h, y) est clairement lineaire :

B′(x, y)( \underbrace{(h, k) + (u, v)}_{(h+u,k+v)} ) = B(x, k + v) + B(h + u, y)
= B(x, k) + B(x, v) + B(h, y) + B(u, y)
= B′(x, y)(h, k) + B′(x, y)(u, v)

C’est également continu : ∥B′(x, y)(h, k)∥ ≤ M (∥x∥ ∥k∥ + ∥y∥ ∥h∥) ≤ M (∥x∥ + ∥y∥) ∥(h, k)∥ Donc

\begin{matrix}B′ : E_{1} × E_{2} & ⟶ & L(E_{1} × E_{2}, F) \\ (x, y) & ⟼ & B′(x, y) \end{matrix}

est bien linéaire et continue, et on a B′(x, y)(h, k) = B(x, k) + B(h, y)

Application Soit E, F, et G trois espaces de Banach.

\begin{matrix}B : L(E, F) × L(F, G) & ⟶ & L(E, G) \\ (u, v) & ⟼ & B(u, v) = v ∘ u \end{matrix}

B est bilinéaire et continue (∥B(u, v)∥ = ∥v ∘ u∥ ≤ ∥v∥ . ∥u∥) Donc B est différentiable et B′(u, v)(h, k) = B(u, k) + B(h, v) = k ∘ u + v ∘ h B est C^{∞}.

3.2 Composition de fonctions

Théorème 1 Soit E, F, et G trois espaces de Banach. Soit U ⊂ E un ouvert, a ∈ U, f : U ⟶ F, V ⊂ F un ouvert, b = f(a) ∈ V et g : V ⟶ G. Si f est différentiable en a et si g est différentiable en b = f(a), alors g ∘ f (définie sur un voisinage de a et continue en a) est différentiable en a. On a :

(g ∘ f)′(a) = g′(f(a)) ∘ f′(a)

Si f et g sont de classe C^{p} (p ≥ 1) alors g ∘ f est C^{p}.

Fonctions à valeurs dans un produit d’espaces vectoriels normés

Proposition 2

Soit U ⊂ E un ouvert, soit f : U ⟶ F = F_{1} × ⋯ × F_{k} avec F_{i} espace vectoriel normé,

∥x∥ = max_{1≤i≤k} ∥x_{i}∥ pour x = (x_{1}, ⋯, x_{k}) ∈ F.

\begin{matrix}u_{i} : F_{i} & ⟶ & F \\ x_{i} & ⟼ & (0, …, 0, x_{i}, 0, …, 0) \end{matrix}

\begin{matrix}p_{i} : F & ⟶ & F_{i} \\ x & ⟼ & x_{i} \end{matrix}

f est différentiable en a ∈ U si et seulement si pour j = 1, …, k, f_{j} = p_{j} ∘ f est différentiable en a. On a alors :

f′(a) = ∑_{j=1}^{k} u_{j} ∘ f_{j}′(a)

Démonstration

• (⇒)

p_{j} ∈ L(F, F_{j}) (p_{j} est continue car ∥p_{j}(x)∥ = ∥x_{i}∥ ≤ ∥x∥)), donc p_{j} est différentiable.

D’où p_{j} ∘ f = f_{j} est différentiable.

• (⇐)

∑_{j=1}^{k} u_{j} ∘ p_{j} = id_{F} ⟹ ∑_{j=1}^{k} u_{j} ∘ \underbrace{p_{j} ∘ f}_{f_{j}} = f

De plus u_{j} ∈ L(F_{j}, F).

Donc f′(a) = ∑_{j=1}^{k}(u_{j} ∘ f_{j})′(a) = ∑_{j=1}^{k} u_{j}′(f_{j}(a)) ∘ f_{j}′(a) = ∑_{j=1}^{k} u_{j} ∘ f_{j}′(a)

Cas où E est un produit d’espaces de Banach

Proposition 3

Soit U ⊂ E = E_{1} × ⋯ × E_{k} un ouvert avec E_{i} espace de Banach, soit f : U ⟶ F. Soit a = (a_{1}, …, a_{k}) ∈ U.

\begin{matrix}λ_{i} : E_{i} & ⟶ & E \\ x_{i} & ⟼ & (a_{1}, …, a_{i−1}, x_{i}, a_{i+1}, …, a_{k}) \end{matrix}

(f ∘ λ_{i} est définie sur λ_{i}^{−1}(U) qui est un ouvert de E_{i}) Si f est différentiable en a ∈ U, alors pour i = 1, …, k, f ∘ λ_{i} est différentiable en a_{i} ∈ λ_{i}^{−1}(U). On a :

f′(a)(h) = ∑_{i=1}^{k} (f ∘ λ_{i})′(a_{i}) (h_{i})

avec h = (h_{1}, …, h_{k})

On note (f ∘ λ_{i})′(a_{i}) ou \frac{∂f}{∂x_{i}} (a) ou f_{x_{i}}(a).

3.3 Théorème de la moyenne

Théorème 2 Théorème de la moyenne

Soit F un espace de Banach. Soit f : [a, b] ⟶ F et g : [a, b] ⟶ ℝ deux applications continues sur [a, b] et différentiables sur ]a, b[. Si ∀ t ∈]a, b[, ∥f′(t)∥ ≤ g′(t) alors ∥f(b) − f(a)∥ ≤ g(b) − g(a).

Démonstration Soit ε > 0. On va montrer que

∀ t ∈ [a, b], ∥f(t) − f(a)∥ ≤ g(t) − g(a) + ε(t − a) + ε  (3.1)

3.1 est vraie pour t ∈ [a, a + η] avec η > 0 et η < b − a, car f et g sont continues. Soit A = {η ∈]0, b − a] ; 3.1 est vraie pour t ∈ [a, a + η]} A ≠ ∅.

Posons θ = sup A. Par continuité 3.1 est vraie pour t = θ + a = θ′. Supposons θ < b − a. ∃ η > 0 tq pour tout t ∈ [θ′, θ′ + η] : ∥f(t) − f(θ′) − f′(θ′)(t − θ′)∥ ≤ \frac{ε}{2}(t − θ′) (f est différentiable en θ′) De même |g(t) − g(θ′) − g′(θ′)(t − θ′)| ≤ \frac{ε}{2}(t − θ′) Par inégalité triangulaire :

∥f(t) − f(θ′)∥ ≤ ∥f′(θ′)∥ (t − θ′) + \frac{ε}{2}(t − θ′)
≤ g′(θ′)(t − θ′) + \frac{ε}{2}(t − θ′)
≤ g(t) − g(θ′) + ε(t − θ′)

Pour t ∈ [θ′, θ′ + η] :

∥f(t) − f(a)∥ ≤ ∥f(t) − f(θ′)∥ + ∥f(θ′) − f(a)∥
≤ g(t) − g(θ′) + ε(t − θ′) + g(θ′) − g(a) + ε(θ′ − a) + ε
= g(t) − g(a) + ε(t − a) + ε

Donc 3.1 est vraie sur [θ′, θ′ + η] : contradiction. Donc θ = b − a et l’égalité est vraie sur [a, b].

Proposition 4 Soit E et F espaces de Banach, soit U un ouvert de E, f : U ⟶ F différentiable sur U. On suppose qu’il existe une constante k ≥ 0 telle que ∀ x ∈ U, ∥f′(x)∥ ≤ k. Alors si [x, y] est un segment inclus dans U, on a :

∥f(y) − f(x)∥ ≤ k ∥y − x∥

En particulier f est lipschitzienne sur les boules incluses dans U et sur les convexes inclus dans U .

Démonstration On pose f̃: t ∈ [0, 1] ⟼ f(x + t(y − x)) et on applique le théorème de la moyenne à f̃: f̃′(t)(1) = f′(x + t(y − x))(y − x) Donc ∥f̃′(t)∥ = ∥f′(x + t(y − x))(y − x)∥ ≤ ∥f′(x + t(y − x))∥ ∥y − x∥ ≤ k ∥y − x∥ = g′(t) en prennant g(t) = k ∥y − x∥ t

Corollaire 1

Soit f : U ⟶ F de classe C^{1}. Alors f est localement lipschitzienne.

Démonstration Soit x_{0} ∈ U, f′ est continue sur un voisinage V de x_{0} et est bornée sur V.

Proposition 5

Soit E = C^{1}([a, b], R). Si u ∈ E, ∥u∥ = max(∥u∥_{∞} , ∥u′∥_{∞}). (E, ∥.∥) est complet. Soit F ∈ C^{1}([a, b] × ℝ × ℝ), posons pour u ∈ E

J(u) = ∫_{a}^{b} F (x, u(x), u′(x)) dx

Alors J est de classe C^{1} et on a :

∀ h ∈ E, J′(u)(h) = ∫_{a}^{b} (\frac{∂F}{∂y} (x, u(x), u′(x)) h(x) + \frac{∂F}{∂z} (x, u(x), u′(x)) h′(x)) dx

Démonstration Soient y, z, s, t ∈ ℝ, x ∈ [a, b] et r ∈ [0, 1].

\begin{aligned}F (x, y + s, z + t) − F (x, y, z) & = & ∫_{0}^{1} \frac{d}{dr} (F (x, y + rs, z + rt))dr \\ & = & ∫_{0}^{1} \{\frac{∂F}{∂y} (x, y + rs, z + rt)s + \frac{∂F}{∂z} (x, y + rs, z + rt)t\} dr \end{aligned}

Soit ε > 0 et soit h ∈ E.

J(u + h) − J(u) = ∫_{a}^{b} {F (x, u(x) + h(x), u′(x) + h′(x)) − F (x, u(x), u′(x))} dx

= ∫_{a}^{b} (∫_{0}^{1} \{\frac{∂F}{∂y} (x, u(x) + rh(x), u′(x) + rh′(x))h(x)

+ \frac{∂F}{∂z} (x, u(x) + rh(x), u′(x) + rh′(x))h′(x)\} dr) dx

= \underbrace{∫_{a}^{b} \{\frac{∂F}{∂y} (x, u(x), u′(x))h(x) + \frac{∂F}{∂z} (x, u(x), u′(x))h′(x)\} dx}_{L(h)} + \underbrace{∫_{a}^{b} A(x) dx}_{B}

Montrons que L ∈ L(E, ℝ ou ℂ) = E′ et que ∃ η > 0 tq ∥h∥ < η ⟹ |B| ≤ ε ∥h∥ :

• |L(h)| ≤ sup_{x∈[a,b]} \{|\frac{∂F}{∂y} (x, u(x), u′(x))| + |\frac{∂F}{∂z} (x, u(x), u′(x))|\} ∥h∥ (b − a)

• A(x) = ∫_{0}^{1} \{\frac{∂F}{∂y} (x, u(x) + rh(x), u′(x) + rh′(x)) − \frac{∂F}{∂y} (x, u(x), u′(x))\} h(x) dr

+ ∫_{0}^{1} \{\frac{∂F}{∂z} (x, u(x) + rh(x), u′(x) + rh′(x)) − \frac{∂F}{∂z} (x, u(x), u′(x))\} h′(x) dr

Il existe η > 0 tq si ∥h∥ ≤ η :

|\frac{∂F}{∂y} (x, u(x) + rh(x), u′(x) + rh′(x)) − \frac{∂F}{∂y} (x, u(x), u′(x))| ≤ ε

32 CHAPTER 3. DIFFÉRENTIABILITÉ DANS LES ESPACES DE BANACH

et |\frac{∂F}{∂z} (x, u(x) + rh(x), u′(x) + rh′(x)) − \frac{∂F}{∂z} (x, u(x), u′(x))| ≤ ε

pour tout x ∈ [a, b] car u est fixé donc u[a, b] et u′[a, b] sont compacts. Donc |A(x)| ≤ ε( |h(x)| + |h′(x)| ) ≤ 2 ε ∥h∥ et |B| = |∫_{a}^{b} A(x) dx| ≤ 2 ε ∥h∥ (b − a)

∥J′(u + v) − J′(u)∥ = sup_{∥h∥=1} |J′(u + v)(h) − J′(u)(h)|

Espaces de Hilbert

Soit H un espace vectoriel sur 𝕂 = ℝ ou ℂ.

4.1 Définitions

Définition 1 Un \underline{produit scalaire} sur H est une application de H × H → 𝕂 (notée (x, y) ↦ ⟨x, y⟩) vérifiant :

(i) ∀ λ, μ ∈ 𝕂, ∀ x, y, z ∈ H, ⟨λx + μy, z⟩ = λ⟨x, z⟩ + μ⟨y, z⟩

(ii) ∀ x, y ∈ H, ⟨x, y⟩ = \overline{⟨y, x⟩}
(iii) ∀ x ∈ H, ⟨x, x⟩ ≥ 0
(iv) ∀ x ∈ H, ⟨x, x⟩ = 0 ⟺ x = 0

Proposition 1 On a:

1) L’ingalit de Cauchy-Schwarz :

∀ x, y ∈ H, |⟨x, y⟩|^{2} ≤ ⟨x, x⟩ · ⟨y, y⟩

(On a égalité lorsque x et y sont colinéaires.)

2) L’identité du parallélogramme : Si on note ∥x∥ = \sqrt{⟨x, x⟩}, on a: 2 (∥x∥^{2} + ∥y∥^{2}) = ∥x + y∥^{2} + ∥x − y∥^{2}

Démonstration

1) Si ⟨x, y⟩ = 0, c’est clair; sinon soit t ∈ ℂ.

\begin{aligned}0 ≤ ⟨x + ty, x + ty⟩ & = & ⟨x, x⟩ + t ⟨y, x⟩ + \overline{t} ⟨x, y⟩ + |t|^{2} ⟨y, y⟩ \\ & = & ⟨x, x⟩ + 2 Re (t ⟨y, x⟩) + |t|^{2} ⟨y, y⟩ \end{aligned}

∃ θ ∈ [0, 2π[ et r > 0 tq ⟨y, x⟩ = r · e^{ıθ}

Prenons t = s · e^{−ıθ} où s ∈ ℝ. ⟨x, x⟩ + 2rs + s^{2}⟨y, y⟩ ≥ 0 Le discriminant de ce polynôme en s doit être négatif.

2) On a:

Remarque 1 Pour démontrer 1, on n’a pas utilisé ⟨x, x⟩ > 0 pour x ≠ 0.

Proposition 2 L’application x ⟼ \sqrt{⟨x, x⟩} = ∥x∥ est une norme sur H.

Démonstration

∥x + y∥^{2} = ⟨x, x⟩ + ⟨x, y⟩ + ⟨y, x⟩ + ⟨y, y⟩
= ∥x∥^{2} + 2 Re⟨x, y⟩ + ∥y∥^{2}
≤ ∥x∥^{2} + ∥y∥^{2} + 2 ∥x∥ ∥y∥
= (∥x∥ + ∥y∥)^{2}

Définition 2 Un \underline{espace préhibertien} est un espace vectoriel H muni d’un produit scalaire. Si cet espace est complet pour la norme provenant du produit scalaire, on dit que H est un \underline{espace de Hilbert}.

Exemples 1

1) H = ℝ^{N}, 𝕂 = ℝ, ⟨x, y⟩ = ∑_{j=1}^{n} x_{j}y_{j} est un Hilbert.

2) H = ℂ^{N}, 𝕂 = ℂ, ⟨x, y⟩ = ∑_{j=1}^{n} x_{j}\overline{y_{j}} est un Hilbert.

3) Soit Ω ⊂ ℝ^{N} un ouvert borné.

1. H = C (\overline{Ω}, ℂ), 𝕂 = ℂ, ⟨x, y⟩ = ∫_{Ω} x (t) \overline{y (t)} dt est un préhilbertien. Il n’est pas complet.

2. H = L^{2} (Ω), 𝕂 = ℂ, ⟨x, y⟩ = ∫_{Ω} x (t) \overline{y (t)} dt est un Hilbert. C’est le complété de l’espace préhilbertien défini précédemment.

4.2. PROJECTION SUR UN CONVEXE 35

4) H = l_{ℂ}^{2} (ℕ) = \{x = (x_{n})_{n∈ℕ} ; ∀ n, x_{n} ∈ ℂ, ∑_{n≥0} |x_{n}|^{2} < +∞\}, ⟨x, y⟩ = ∑_{n≥0} x_{n}\overline{y_{n}} est un

Hilbert. Définition 3 Soit H un préhilbertien.

1) x, y ∈ H sont \underline{orthogonaux} si ⟨x, y⟩ = 0.

2) Soit A ⊂ H, A ≠ ∅.

On appelle \underline{orthogonal de A dans H} l’ensemble noté A^{⊥} tel que:

A^{⊥} = {x ∈ H ; ∀ y ∈ A, ⟨x, y⟩ = 0}

Remarque 2 On peut donner la définition 3 dans un espace vectoriel H muni d’une application vérifiant seulement 1 et 2 de la définition 1.

Proposition 3 Soit H un préhilbertien.

1) Soit A ⊂ H, A ≠ ∅. Alors A^{⊥} est un sous-espace vectoriel fermé de H.

2) Soit A, B ⊂ H, A ≠ ∅ et A ⊂ B. Alors B^{⊥} ⊂ A^{⊥}.

3) Soit A ⊂ H, A ≠ ∅. Alors A ⊂ (A^{⊥})^{⊥}.

4) Soit A un sous-espace vectoriel de H. Si H est complet alors \overline{A} = (A^{⊥})^{⊥}. Le dernier point est le seul non trivial... Remarque 3 \overline{A}^{⊥} = A^{⊥} et \overline{vect(A)}^{⊥} = A^{⊥}

4.2 Projection sur un convexe

Théorème 1 Projection sur un convexe fermé Soit H un espace de Hilbert. Soit C ⊂ H une partie convexe fermée et non vide. Alors pour tout x ∈ H, il existe un unique a ∈ C tel que :

∥x − a∥ = d (x, C) = inf_{y∈C} ∥x − y∥

Démonstration • Existence :

Soit (y_{n})_{n∈ℕ} une suite d’éléments de C telle que ∥x − y_{n}∥ ⟶ d (x, C).

∀ n ≠ m, \frac{1}{2} ∥y_{n} − y_{m}∥^{2} = ∥x − y_{n}∥^{2} + ∥x − y_{m}∥^{2} − 2 ∥x − \frac{y_{n} + y_{m}}{2} ∥^{2}

Et \frac{y_{n} + y_{m}}{2} ∈ C car C est convexe.

Donc ∥x − \frac{y_{n} + y_{m}}{2} ∥ ≥ d (x, C).

On a alors:

0 ≤ \frac{1}{2} ∥y_{n} − y_{m}∥^{2} ≤ \underbrace{∥x − y_{n}∥^{2} + ∥x − y_{m}∥^{2} − 2d (x, C)^{2}}_{⟶_{n,m→+∞} 0}

Donc (y_{n})_{n∈ℕ} est de Cauchy. Comme H est complet, il existe a ∈ H tel que lim y_{n} = a. Comme C est fermé, a ∈ C.

d (x, C) = lim_{n→+∞} ∥x − y_{n}∥ = ∥x − a∥

• Unicité :

Supposons qu’il existe a et b ∈ C tels que ∥x − a∥ = ∥x − b∥ = d (x, C). On définit la suite (y_{n})_{n∈ℕ} d’éléments de C par: y_{2p} = a et y_{2p+1} = b. On sait que ∥x − y_{n}∥ ⟶ d (x, C), et donc que (y_{n}) est de Cauchy dans H complet. Ainsi, a = b par unicité de la limite.

Théorème 2 Caractérisation de la projection Soit H un espace de Hilbert. Soit C ⊂ H une partie convexe, fermée et non vide. On a l’équivalence suivante :

(i) a ∈ C est la projection de x sur C (ii) a ∈ C et ∀ y ∈ C, Re ⟨x − a, y − a⟩ ≤ 0

Démonstration

• i) ⇒ ii)

Soit y ∈ C et soit t ∈ ]0, 1]. (1 − t) · a + t · y ∈ C car C est convexe. ∥x − ((1 − t) a + ty)∥^{2} ≥ ∥x − a∥^{2} Or,

\begin{aligned}∥x − ((1 − t) a + ty)∥^{2} & = & ∥x − a − t (y − a)∥^{2} \\ & = & ∥x − a∥^{2} + t^{2} ∥y − a∥^{2} − 2 Re (t⟨x − a, y − a⟩) \end{aligned}

Donc ∀ t ∈]0, 1], 2 Re (t⟨x − a, y − a⟩) ≤ t^{2} ∥y − a∥^{2}

D’où ∀ t ∈]0, 1], 2 Re ⟨x − a, y − a⟩ ≤ t ∥y − a∥^{2}

On fait t ⟶ 0, d’où : Re ⟨x − a, y − a⟩ ≤ 0.

• ii) ⇒ i)

Soit y ∈ C.

∥x − y∥^{2} = ∥x − a + a − y∥^{2} = ∥x − a∥^{2} + ∥y − a∥^{2} − 2 Re⟨x − a, y − a⟩

Donc par ii) ∥x − y∥^{2} ≥ ∥x − a∥^{2} + ∥y − a∥^{2} ≥ ∥x − a∥^{2}

d’où : ∥x − a∥ = inf_{y∈C} ∥x − y∥

Proposition 4

Soit H un espace de Hilbert. Soit C ∈ H une partie convexe, fermée et non vide. Pour x ∈ H, on note P_{c}x la projection de x sur C. On a:

∀ x_{1}, x_{2} ∈ H, ∥P_{c}x_{1} − P_{c}x_{2}∥ ≤ ∥x_{1} − x_{2}∥

Démonstration Posons a_{j} = P_{c}x_{j} pour j = 1, 2. ∥a_{1} − a_{2}∥^{2} = ⟨a_{1} − a_{2}, a_{1} − a_{2}⟩ = Re⟨a_{1} − a_{2}, a_{1} − a_{2}⟩

= \underbrace{Re⟨a_{1} − x_{1}, a_{1} − a_{2}⟩}_{≥0} +Re⟨x_{1} − x_{2}, a_{1} − a_{2}⟩ + \underbrace{Re⟨x_{2} − a_{2}, a_{1} − a_{2}⟩}_{≥0} par le théorème 2 (page 36)

≤ Re⟨x_{1} − x_{2}, a_{1} − a_{2}⟩ ≤ ∥x_{1} − x_{2}∥ ∥a_{1} − a_{2}∥ d’après Cauchy-Schwarz.

Corollaire 1

Soit H un espace de Hilbert et soit F un sous-espace vectoriel fermé de H (F est donc convexe).

1) a = P_{F} x est caractérisé par : \{ \begin{matrix}a ∈ F \\ ∀ y ∈ F, ⟨x − a, y⟩ = 0 \end{matrix}

2) P_{F} est linéaire et continue

3) H = F ⊕ F^{⊥}

Démonstration

1) a = P_{F} x est caractérisé par :

(1) \{ \begin{matrix}∀ y ∈ F, Re⟨x − a, y − a⟩ ≤ 0 d’après le théorème 2 (page 36) \\ a ∈ F \end{matrix}

Ce qui est équivalent à :

(2) \{ \begin{matrix}a ∈ F \\ ∀ y ∈ F, ⟨x − a, y⟩ = 0 \end{matrix}

En effet :

• 2 ⇒ 1 ∀ y ∈ F, ⟨x − a, y − a⟩ = 0 car y − a ∈ F, donc Re⟨x − a, y − a⟩ ≤ 0

• 1 ⇒ 2 On a : ∀ y ∈ F, Re⟨x − a, y + a − a⟩ ≤ 0 car y + a ∈ F i.e. : ∀ y ∈ F, Re⟨x − a, y⟩ ≤ 0 Mais si y ∈ F, alors −y ∈ F, donc Re⟨x − a, −y⟩ ≤ 0 D’où ∀ y ∈ F, Re⟨x − a, y⟩ = 0 Si y ∈ F, iy ∈ F Re⟨x − a, iy⟩ = 0 d’où Im⟨x − a, y⟩ = 0

2) Soit x, x′ ∈ H, λ, μ ∈ ℂ. On veut savoir si : P_{F} (λx + μx′) = λP_{F} x + μP_{F} x′ Or, par 1 ∀ y ∈ F, ⟨λx + μx′ − P_{F} (λx + μx′) , y⟩ = 0 et ∀y ∈ F, ⟨λx + μx′ − λP_{F} x − μP_{F} x′, y⟩ = λ⟨x − P_{F} x, y⟩ + μ⟨x′ − P_{F} x, y⟩ = 0

3) F ∩ F^{⊥} = {0}

∀ x ∈ H, x = \underbrace{P_{F} x}_{∈F} + \underbrace{x − P_{F} x}_{∈F^{⊥}}

Remarque 4 Dans le théorème 1 (page 35), on peut supposer H préhilbertien avec C ⊂ H une partie non vide convexe et complète. Même remarque pour le corollaire 1 (page 37).

4.3 Représentation de Riesz

Théorème 3 Théorème de représentation de Riesz Soit L ∈ L (H, 𝕂)=H’, H Hilbert. Il existe a ∈ H unique tel que:

∀ x ∈ H, L (x) = ⟨x, a⟩

De plus : ∥L∥ = ∥a∥

Démonstration Posons F = L^{−1} (0).

1. Si F = H, alors L ≡ 0^{1} et on prend a = 0.

2. Sinon, soit z ∈ F^{⊥}\{0} (base de F^{⊥} puisque sa dimension est de 1)

1identiquement égal à

• Existence :

∀ x ∈ H, ∃ λ ∈ 𝕂, y ∈ F tq x = y + λz (H = F ⊕ \overbrace{V ect(z)}^{=F^{⊥}})

L (x) = L (y) + λ · L (z) = λ · L (z) ⟹ λ = \frac{L(x)}{L(z)}

0 = ⟨y, z⟩ = ⟨x − \frac{L(x)}{L(z)} · z, z⟩ = ⟨x, z⟩ − \frac{L(x)}{L(z)} · ∥z∥^{2}

L(x) = \frac{L(z)}{∥z∥^{2}} · ⟨x, z⟩ = ⟨x, \frac{\overline{L(z)}}{∥z∥^{2}} · z⟩

On prend a = \frac{\overline{L(z)}}{∥z∥^{2}} · z

• Unicité :

∀ x ∈ H, ⟨x, a⟩ = ⟨x, a′⟩ ⟺ ∀ x ∈ H, ⟨x, a − a′⟩ = 0 ⟺ a = a′

D’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz : |L(x)| = |⟨x, a⟩| ≤ ∥x∥ · ∥a∥ ⇒ ∥L∥ ≤ ∥a∥ Or, si L ≡ 0, alors ∥L∥ = ∥a∥ = 0.

Sinon, a ≠ 0 et L (\frac{a}{∥a∥}) = ∥a∥ ⇒ ∥L∥ = ∥a∥

Remarque 5

• Soit

\begin{matrix}θ : H & ⟶ & H′ \\ a & ⟼ & φ_{a} \end{matrix} où φ_{a} (x) = ⟨x, a⟩

θ est une bijection, et est anti-linéaire :

θ (a + b) = θ_{a} + θ_{b} θ (λ · a) = \overline{λ} · θ (a) N.B.: H′ dual de H. Ici, il faut H complet car H′ l’est forcément et il y a isomorphisme.

• Si H Hilbert sur ℝ, f : H ⟶ ℝ différentiable, ∀ x ∈ H, f′(x) ∈ L(H, ℝ) = H′ ∀ x ∈ H, ∃ a ∈ H tq ∀ h ∈ H, f′(x)(h) = ⟨h, a⟩ = ⟨a, h⟩ On note: a = ∇f (x) = (\overrightarrow{grad}f) (x)

Définition 4 Soit H un espace de Hilbert. Soit (H_{n})_{n∈ℕ} une suite de sous-espaces vectoriels fermés de H. On dit que H est \underline{somme hilbertienne} des H_{n} notée: H = ⨁_{n≥0} H_{n} si :

1) ∀ n ≠ m, ∀ x ∈ H_{n}, ∀ y ∈ H_{m}, ⟨x, y⟩ = 0

2) L’espace vectoriel F engendré par les H_{n} est dense dans H (F est l’ensemble des combinaisons linéaires finies d’éléments des H_{n}, n ∈ ℕ).

Théorème 4 On suppose que H = ⨁_{n≥0} H_{n}. Si x ∈ H, on note x_{n} = P_{H_{n}}x. Alors, on a:

1)

x = ∑_{n≥0} x_{n} (i.e. x = lim_{N→+∞} ∑_{n=0}^{N} x_{n})

2)

∥x∥^{2} = ∑_{n≥0} ∥x_{n}∥^{2}

(Identité de Bessel-Parseval) Réciproquement, soit (x_{n})_{n∈ℕ} une suite d’éléments de H telle que :

∀ n ∈ ℕ, x_{n} ∈ H_{n}

et telle que :

∑_{n≥0} ∥x_{n}∥^{2} < +∞

Alors la série ∑_{n≥0} x_{n} converge dans H et si x = ∑_{n≥0} x_{n}, alors ∀ n ≥ 0, x_{n} = P_{H_{n}}x

Démonstration

1) Posons pour N ∈ ℕ,

S_{N} = ∑_{n=0}^{N} P_{H_{n}}

Si x ∈ H,

S_{N}x = ∑_{n=0}^{N} x_{n}

et on doit montrer que :

lim_{N→+∞} ∥x − S_{N}x∥ → 0

∥S_{N}x∥^{2} = ⟨S_{N}x, S_{N}x⟩ = ⟨∑_{n=0}^{N} x_{n}, ∑_{n=0}^{N} x_{n}⟩ = ∑_{n=0}^{N}⟨x_{n}, x_{n}⟩ = ∑_{n=0}^{N} ∥x_{n}∥^{2} (4)

Ce que l’on pouvait directement obtenir grâce au théorème de Pythagore.

Or, ∀ n, ⟨x, x_{n}⟩ = ∥x_{n}∥^{2} (car ∀ n, ⟨x − x_{n}, x_{n}⟩ = 0). D’où :

4.3. REPRÉSENTATION DE RIESZ 41

⟨x, S_{N}x⟩ = ⟨x, ∑_{n=0}^{N} x_{n}⟩ = ∑_{n=0}^{N}⟨x, x_{n}⟩ = ∑_{n=0}^{N} ∥x_{n}∥^{2}

Donc ∥S_{N}x∥^{2} = ⟨x, S_{N}x⟩ ≤ ∥x∥ · ∥S_{N}x∥, d’après Cauchy-Schwarz. D’où:

∥S_{N}x∥ ≤ ∥x∥ (5)

Soit ε > 0, comme F est dense dans H, il existe x^{∗} ∈ F tel que ∥x − x^{∗}∥ ≤ ϵ/2 ∃ N_{0} ∈ ℕ tq ∀ N ≥ N_{0}, S_{N}x^{∗} = x^{∗} Soit N ≥ N_{0},

∥S_{N}x − x∥ ≤ ∥S_{N}x − S_{N}x^{∗}∥ + ∥S_{N}x^{∗} − x∥
= ∥S_{N}X − S_{N}x^{∗}∥ + ∥x − x^{∗}∥
≤ ∥x − x^{∗}∥ + ∥x − x^{∗}∥ par (5)
≤ ε

2) (4) ⇒ ∥x∥^{2} = ∑_{n≥0} ∥x_{n}∥^{2}

Réciproquement Posons

u_{N} = ∑_{n=0}^{N} x_{n}

Soit p > q dans ℕ :

∥u_{p} − u_{q}∥^{2} = ∥ ∑_{n=q+1}^{p} x_{n}∥^{2} = ∑_{n=q+1}^{p} ∥x_{n}∥^{2} ⟶_{p,q→+∞} 0

Donc, la suite u est de Cauchy, et elle converge. Donc, on peut poser :

x = ∑_{n≥0} x_{n}

Soit z_{n} ∈ H_{n}, ⟨x − x_{n}, z_{n}⟩ = ⟨x, z_{n}⟩ − ⟨x_{n}, z_{n}⟩

et ⟨x, z_{n}⟩ = lim_{N→+∞} ∑_{p=0}^{N}⟨x_{p}, z_{n}⟩ = ⟨x_{n}, z_{n}⟩ (dès que N ≥ n).

D’où

∀ z_{n} ∈ H_{n}, ⟨x − x_{n}, z_{n}⟩ = 0

D’après le corollaire 1 (page 37) (avec x_{n} ∈ H_{n}), on a :

x_{n} = P_{H_{n}}x

4.4 Bases hilbertiennes

Définition 5 On appelle \underline{base hilbertienne} d’un espace de Hilbert H, une suite (e_{n})_{n≥0} d’éléments de H telle que :

1) ∀ n ≠ m, ⟨e_{n}, e_{m}⟩ = 0 et ∀ n, ⟨e_{n}, e_{n}⟩ = 1

2) L’espace vectoriel engendré par les (e_{n})_{n∈ℕ} est dense dans H.

Remarque 6 Soit H un Hilbert et (e_{n})_{n∈ℕ} une base hilbertienne de H. D’après le théorème 4 avec H_{n} = 𝕂 e_{n}, tout x ∈ H s’écrit de manière unique:

x = ∑_{n≥0}⟨x, e_{n}⟩e_{n}

et

∥x∥^{2} = ∑_{n≥0} |⟨x, e_{n}⟩|^{2}

Les ⟨x, e_{n}⟩ sont les \underline{cœfficients de Fourier} de x par rapport à la base hilbertienne (e_{n})_{n≥0}.

Réciproquement Si λ = (λ_{n}) ∈ l_{𝕂}^{2} (ℕ), alors la série ∑_{n≥0} λ_{n}e_{n} est convergente vers un élément

x ∈ H et ∀ n, λ_{n} = ⟨x, e_{n}⟩ et ∥x∥^{2} = ∑_{n≥0} |λ_{n}|^{2}

(exemple: λ_{n} = \frac{1}{n + 1} (n ≥ 0))

Remarque 7 Ne pas confondre base hilbertienne et base algébrique, qui est une famille non forcément dénombrable d’éléments de l’espace vectoriel qui est libre et telle que tout élément de l’espace vectoriel s’écrit comme une combinaison linéaire \underline{finie} d’éléments de cette base. Par contre, il s’agit de la même chose en dimension finie.

Remarque 8 Tout espace de Hilbert \underline{séparable} admet une base hilbertienne. Si l’espace de Hilbert n’est pas séparable, on peut faire des choses...

H est séparable s’il existe un sous-ensemble D ⊂ H dénombrable et dense dans H. D = {v_{0}, v_{1}, …, v_{n}, …} avec v_{j} ≠ 0 pour tout j

F_{n+1} = V ect(v_{0}, v_{1}, …, v_{n}), ⋃_{n≥1} F_{n} est dense dans H.

Dans F_{1}, on prend un vecteur e_{1} de norme 1. Ensuite, on prend F_{2} tel que dim F_{2} = dim F_{1} + 1 = 2 et on prend un vecteur e_{2} de norme 1 orthogonal à e_{1}, etc.

Exemple 2 H = {f ∈ C([0, 2π] , ℂ) ; f périodique de période 2π}

Pour f, g ∈ H, on pose ⟨f, g⟩ = ∫_{0}^{2π} f(t) · \overline{g(t)}dt

⟨, ⟩ est un produit scalaire. Mais (H, ∥·∥) n’est pas complet. H est un préhilbertien.

4.4. BASES HILBERTIENNES 43 Le complété de H est L_{p}^{2}(0, 2π)

e_{n}(θ) = \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{ınθ}

⟨e_{n}, e_{m}⟩ = δ_{n}^{m}

L’espace vectoriel engendré par les (e_{n}) est dense dans L_{p}^{2}(0, 2π). démo 1: avec le théorème de Weierstrass (polynômes trigonométriques) démo 2: avec les distributions Remarque 9 Si (e_{n})_{n≥0} est une famille orthonormale dans un Hilbert H, posons B = V ect{e_{n} ; n ∈ ℕ}. (e_{n})_{n≥0} est une base hibertienne de H si et seulement si B^{⊥} = {0}.

44 CHAPTER 4. ESPACES DE HILBERT

Intégration

\overline{ℝ_{+}} = [0, +∞[∪\{+∞\} = \{x ∈ ℝ ; x ≥ 0\} ∪ \{+∞\}.

\begin{aligned}∀x ∈ \overline{ℝ_{+}}, & x + (+∞) & = & +∞ \\ & x × (+∞) & = & \{ \begin{matrix}+∞ & si x ≥ 0 \\ 0 & si x = 0 \end{matrix} \end{aligned}

5.1 Construction rapide de l’intégrale

Définition 1 Une \underline{tribu} sur ℝ^{N} (N ≥ 1) est une famille de parties de ℝ^{N} stable par passage au complémentaire et par réunion dénombrable (et donc par intersection dénombrable). Si B désigne une tribu sur ℝ^{N}, les éléments de B s’appellent les \underline{ensembles mesurables}. Une \underline{mesure positive} μ sur B est une application (non constante égale à +∞) de B dans \overline{ℝ_{+}} croissante et dénombrablement additive. (ℝ^{N}, B, μ) est un \underline{espace mesuré}. Soit (ℝ^{N}, B, μ) un espace mesuré. On dit que cet espace est \underline{complet}, ou que μ est complète ou que B est complète pour μ si :

(B ∈ B, μ(B) = 0, A ⊂ B) ⇒ A ∈ B

Si (ℝ^{N}, B, μ) est un espace mesuré, on peut montrer qu’ il existe une tribu B̃ et une mesure (positive) μ̃ sur B̃ telles que :

(i) B ⊂ B̃

(ii) ∀B ∈ B, μ̃(B) = μ(B)

(iii) (ℝ^{N}, B̃, μ̃) est complet

Rappelons que la \underline{tribu des boréliens} sur ℝ^{N} est la tribu engendrée par les ouverts (et donc par les fermés) de ℝ^{N}. On peut montrer que cette tribu notée B_{ℝ^{N}} est engendrée par les pavés :

∏_{j=1}^{N}[a_{j}, b_{j}] avec − ∞ < a_{j} < b_{j} < +∞

On peut montrer qu’il existe une unique mesure μ sur B_{ℝ^{N}} vérifiant :

μ (∏_{j=1}^{N}[a_{j}, b_{j}]) = ∏_{j=1}^{N} (b_{j} − a_{j})

μ est la \underline{mesure de Borel} de ℝ^{N}. La complétée de cette mesure s’appelle la \underline{mesure de Lebesgue de ℝ^{N}}.

Définition 2 Une application f : ℝ^{N} → \overline{ℝ_{+}} est \underline{mesurable} si l’image réciproque de tout intervalle de \overline{ℝ_{+}} est un ensemble mesurable et on définit l’\underline{intégrale} de f par :

∫_{ℝ^{N}} f(x) dx = lim_{h→0^{+}} ∑_{j=0}^{∞} μ̃(f^{−1}([jh, (j + 1)h[)) jh

(sauf si f est égale à +∞ sur un B ∈ B̃ tel que μ̃(B) > 0 : dans ce cas, on pose ∫_{ℝ^{N}} f(x) dx = +∞)

5.2 Intégrale des fonctions mesurables positives

On ¡¡admet¿¿ qu’il existe une application qui à f : ℝ^{N} → \overline{ℝ_{+}} mesurable associe un élément de \overline{ℝ_{+}} noté

∫_{ℝ^{N}} f(x) dx ou ∫_{ℝ^{N}} f dx ou ∫ f

vérifiant les 4 propriétés suivantes :

1) Si f, g : ℝ^{N} → \overline{ℝ_{+}} sont mesurables et α, β ∈]0; +∞[ on a

∫ (αf + βg) = α ∫ f + β ∫ g (linéarité de l’intégrale)

2) Si f, g : ℝ^{N} → \overline{ℝ_{+}} sont mesurables et si ∀ x ∈ ℝ^{N}, f(x) ≤ g(x) alors

∫ f ≤ ∫ g (croissance de l’intégrale)

3) Si A = ∏_{j=1}^{N}[a_{j}, b_{j}] avec −∞ < a_{j} < b_{j} < +∞

∫ 1l_{A} = ∏_{j=1}^{N}(b_{j} − a_{j})

4) Le théorème 1 (page 46) de Beppo-Levi est vérifié.

Théorème 1 Théorème de la convergence monotone ou de Beppo-Levi

Si (f_{n})_{n∈ℕ} est une suite croissante de fonctions mesurables de ℝ^{N} dans \overline{ℝ_{+}}, on a :

∫_{ℝ^{N}} lim f_{n}(x) dx = lim ∫_{ℝ^{N}} f_{n}(x) dx ≤ +∞

Corollaire 1 Soit (f_{n}) : ℝ^{N} → \overline{ℝ_{+}} mesurables pour tout n, on a :

∫_{ℝ^{N}} (∑_{n=0}^{+∞} f_{n}(x)) dx = ∑_{n=0}^{+∞} ∫_{ℝ^{N}} f_{n}(x) dx

Démonstration

Posons ∀ x, g_{j}(x) = ∑_{n=0}^{j} f_{n}(x).

On a alors ∀ x, g_{j}(x) ≤ g_{j+1}(x) et ∀ j, g_{j} : ℝ^{N} → \overline{ℝ_{+}} est mesurable. ∀ j ∈ ℕ, a_{j} ≥ 0 donc ∑_{j≥0} a_{j} converge toujours dans \overline{ℝ_{+}}. S_{K} = ∑_{j=0}^{K} a_{j}.

Corollaire 2 Si A ⊂ ℝ^{N} est un ensemble mesurable et si m(A) = ∫_{ℝ^{N}} 1l_{A} où m est la mesure de Lebesgue sur ℝ^{N}, on a :

(i) Si A, B ⊂ ℝ^{N} sont mesurables et si A ⊂ B alors m(A) ≤ m(B). (ii) Si A_{n} ⊂ ℝ^{N} est une suite d’ensembles mesurables, avec A_{n} ∩ A_{m} = ∅ pour n ≠ m alors :

m ( ⋃_{n≥0} A_{n}) = ∑_{n≥0} m(A_{n})

Démonstration (i) ∀ x ∈ ℝ, 1l_{A}(x) ≤ 1l_{B}(x) et on applique 2. (ii) 1l_{⋃_{n≥0} A_{n}} = ∑_{n≥0} 1l_{A_{n}} et on applique le corollaire précédent.

Remarque 1 1) Si A_{n} est une suite d’ensembles mesurables, on a :

m ( ⋃_{n≥0} A_{n}) ≤ ∑_{n≥0} m(A_{n})

2) Si A, B ⊂ ℝ^{N} sont mesurables, on a :

m(A ∪ B) + m(A ∩ B) = m(A) + m(B)

Démonstration

1) 1l_{⋃_{n≥0} A_{n}} ≤ ∑_{n≥0} 1l_{A_{n}}

2) A ∪ B = (A\(A ∩ B)) ∪ B\(A ∩ B)) ∪ (A ∩ B) d’où

m(A ∪ B) = m(A) − m(A ∩ B) + m(B) − m(A ∩ B) + m(A ∩ B)

Ensembles négligeables - Propriétés vraies presque partout

Définition 3 Soit A ⊂ ℝ^{N} un ensemble mesurable. Si m(A) = 0 on dit que A est \underline{négligeable} (pour la mesure considérée, ici celle de Lebesgue).

Remarque 2 D’après la remarque 1,1, une réunion dénombrable d’ensembles négligeables est négligeable. Dans ℝ (N = 1), ℚ est dénombrable donc négligeable car les points sont de mesure nulle pour la mesure de Lebesgue.

m([0, 1] ∩ ℚ) = 0, m([0, 1] ∩ (ℝ\ℚ)) = 1

Définition 4 Soit P (x) une propriété faisant intervenir les points x de ℝ^{N}. On dit que P est vraie presque partout (p.p.) si {x ∈ ℝ^{N} ; P (x) est fausse} est négligeable.

Théorème 2 Soit f : ℝ^{N} → \overline{ℝ_{+}} une application mesurable. On a :

∫_{ℝ^{N}} f(x) dx = 0 ⟺ f = 0 p.p. (f(x) = 0 p.p.)

Démonstration Posons A = {x ∈ ℝ^{N} ; f(x) ≠ 0}

• (⇐)

∀ x ∈ ℝ^{N}, f(x) ≤ lim_{n→∞} n1l_{A}(x)

∫_{ℝ^{N}} f(x) dx ≤ ∫_{ℝ^{N}} lim_{n→∞} n1l_{A}(x) dx =^{th1} lim_{n→∞} n \underbrace{∫_{ℝ^{N}} 1l_{A}(x) dx}_{m(A)=0} car n1l_{A} est croissante.

• (⇒)

1l_{A}(x) ≤ lim_{n→∞} nf(x)

m(A) = ∫_{ℝ^{N}} 1l_{A}(x) dx ≤ ∫_{ℝ^{N}} lim_{n→∞} nf(x) dx =^{th1} lim_{n→∞} n \underbrace{∫_{ℝ^{N}} f(x) dx}_{=0} = 0

5.3 Fonctions intégrables (au sens de Lebesgue)

Définition 5 Soit f : ℝ^{N} → \overline{ℝ}. f est \underline{mesurable} si l’image réciproque de tout intervalle de \overline{ℝ} est mesurable. Si f_{+}(x) = max(f(x), 0) et f_{−}(x) = max(−f(x), 0), on dit que f est \underline{intégrable} (au sens de Lebesgue) sur ℝ^{N} si

∫_{ℝ^{N}} f_{+} < +∞ et ∫_{ℝ^{N}} f_{−} < +∞

On appelle \underline{intégrale} de f le nombre noté ∫_{ℝ^{N}} f(x) dx tel que :

∫_{ℝ^{N}} f(x) dx = ∫_{ℝ^{N}} f_{+}(x) dx − ∫_{ℝ^{N}} f_{−}(x) dx

Démonstration de la cohérence de la définition : On a f = f_{+} − f_{−}.

Si f = g − h, g, h ≥ 0 et ∫_{ℝ^{N}} g ≤ +∞, ∫_{ℝ^{N}} h ≤ +∞, on a ∫_{ℝ^{N}} f = ∫_{ℝ^{N}} g − ∫_{ℝ^{N}} h. En effet :

Soit r = g − f_{+} = h − f_{−}, r ≥ 0 et r ≤ g : 0 ≤ ∫_{ℝ^{N}} r ≤ ∫_{ℝ^{N}} g ≤ +∞

On a ∫_{ℝ^{N}} g = ∫_{ℝ^{N}} r + ∫_{ℝ^{N}} f_{+} et ∫_{ℝ^{N}} r = ∫_{ℝ^{N}} f_{−} + ∫_{ℝ^{N}} h

Proposition 1

1) L’ensemble des applications intégrables de ℝ^{N} sur \overline{ℝ} est un espace vectoriel, noté L^{1}(ℝ^{N}), et l’application (f ∈ L^{1}(ℝ^{N}) ↦ ∫_{ℝ^{N}} f) est une forme linéaire.

2) Soient f, g ∈ L^{1}(ℝ^{N}) telles que f ≤ g. Alors ∫_{ℝ^{N}} f ≤ ∫_{ℝ^{N}} g.

3) Soient f, g : ℝ^{N} → \overline{ℝ} mesurables avec g ∈ L^{1}(ℝ^{N}) et |f| ≤ g. Alors f ∈ L^{1}(ℝ^{N}).

4) Soit f : ℝ^{N} → \overline{ℝ} mesurable, f ∈ L^{1}(ℝ^{N}) ⟺ |f| ∈ L^{1}(ℝ^{N})

5) Si f ∈ L^{1}(ℝ^{N}), on a |∫_{ℝ^{N}} f| ≤ ∫_{ℝ^{N}} |f|.

Démonstration

• Point 1

f = g − h, f′ = g′ − h′

f + f′ = (g + g′) − (h + h′)

∫ (f + f′) = ∫ (g + g′) − ∫ (h + h′) = ∫ g + ∫ g′ − ∫ h − ∫ h′ = ∫ f + ∫ f′

• Point 4

f = f_{+} − f_{−} et ∫ f_{+} < +∞, ∫ f_{−} < +∞

|f| = f_{+} + f_{−}

∫ |f| = ∫ f_{+} + ∫ f_{−} < +∞

N.B. Oublier : ∫_{0}^{+∞} \frac{sin x}{x} dx = lim_{X→+∞} ∫_{0}^{X} \frac{sin x}{x} dx

∫_{0}^{+∞} |\frac{sin x}{x}| dx n’existe pas.

Définition 6 Soit f : ℝ^{N} → ℂ, f = f_{1} + if_{2}, f_{1}, f_{2} : ℝ^{N} → ℝ f est \underline{mesurable} ⟺ f_{1} et f_{2} sont mesurables. f est \underline{intégrable} ⟺ f_{1} et f_{2} sont intégrables, et alors :

∫_{ℝ^{N}} f = ∫_{ℝ^{N}} f_{1} + i ∫_{ℝ^{N}} f_{2}

On a :

|∫_{ℝ^{N}} f| ≤ ∫_{ℝ^{N}} |f| et ∫_{ℝ^{N}} |f + g| ≤ ∫_{ℝ^{N}} |f| + ∫_{ℝ^{N}} |g|

Intégration sur un sous-ensemble

Définition 7 Soit A ⊂ ℝ^{N} un ensemble mesurable et soit f : A → \overline{ℝ}. On note :

f_{A} : x ↦ f_{A}(x) = \{ \begin{matrix}f(x) & si x ∈ A \\ 0 & sinon \end{matrix}

et on pose

∫_{A} f =^{def} ∫_{ℝ^{N}} f_{A}

(f est intégrable sur A ⟺ f_{A} est intégrable sur ℝ^{N}). On note L^{1}(A) l’ensemble des applications intégrables sur A.

Remarque 3 Soient f et g mesurables et égales p.p.. Si l’une est intégrable, l’autre l’est aussi et elles ont même intégrale.

Démonstration |∫ f − ∫ g| ≤ |∫ (f − g)| ≤ ∫ |f − g| et d’après le théorème 2 (page 48), ∫ |f − g| = 0. (Si f, g ≥ 0, f ≤ g + |f − g| et g ≤ f + |f − g|).

Si f est mesurable et définie sur un ensemble de mesure nulle, alors f est intégrable et ∫ f = 0.

Démonstration Si A ⊂ ℝ^{N} tq m(A) = 0,

f_{A} = \{ \begin{matrix}f & sur A \\ 0 & sur ℝ^{N}\A \end{matrix}

f_{A} = 0 p.p.

Intégration d’une fonction définie p.p.

Définition 8 Soit f définie p.p. sur ℝ^{N}. Soit A ⊂ ℝ^{N} mesurable tel que ∀ x ∈ ℝ^{N}\A, f(x) est défini et m(A) = 0. Posons :

f̃(x) = \{ \begin{matrix}f(x) & si x ∈ ℝ^{N}\A \\ ¡¡autre chose¿¿ & si x ∈ A \end{matrix}

Si f̃ est intégrable, alors tout autre prolongement l’est aussi et l’intégrale est la même (cf remarque 3). On dit que f est \underline{intégrable} et on pose

∫_{ℝ^{N}} f = ∫_{ℝ^{N}} f̃

Théorème 3 Théorème de la convergence dominée de Lebesgue

Soit (f_{n}) ∈ L^{1}(ℝ^{N}) telle que f_{n}(x) → f(x) p.p.. On suppose qu’il existe g ∈ L^{1}(ℝ^{N}) telle que ∀ n ∈ ℕ, |f_{n}(x)| ≤ g(x) p.p. Alors f ∈ L^{1}(ℝ^{N}) et on a :

∫_{ℝ^{N}} |f_{n} − f| ⟶_{n→+∞} 0 et ∫_{ℝ^{N}} f_{n} ⟶_{n→+∞} ∫_{ℝ^{N}} f

Démonstration Posons A_{n} = {x ∈ ℝ^{N} ; |f_{n}(x)| > g(x)} B = {x ∈ ℝ^{N} ; f_{n}(x) ne tend pas vers f(x)}

N = B ∪ ( ⋃_{n≥0} A_{n}), N est alors négligeable.

f̃_{n}(x) = \{ \begin{matrix}f_{n}(x) & si x ∈ ℝ^{N}\N \\ 0 & sinon \end{matrix}
f̃(x) = \{ \begin{matrix}f(x) & si x ∈ ℝ^{N}\N \\ 0 & sinon \end{matrix}
g̃(x) = \{ \begin{matrix}g(x) & si x ∈ ℝ^{N}\N \\ 0 & sinon \end{matrix}

g_{n}(x) = |f̃_{n}(x) − f̃(x)| et h_{n}(x) = sup_{k≥n} g_{k}(x)

∀ n, h_{n} ≥ h_{n+1}; ∀ n, h_{n} ≥ 0 h_{n}(x) → 0 0 ≤ h_{n} ≤ 2g̃ donc 2g̃ − h_{n} ≥ 0 et (2g̃ − h_{n}) est croissante. Alors, le théorème 1 (page 46) (Beppo-Levi) donne :

lim_{n∞} ∫_{ℝ^{N}} (2g̃ − h_{n}) = ∫_{ℝ^{N}} lim_{n∞}(2g̃ − h_{n}) = 2 ∫_{ℝ^{N}} g̃

lim_{n∞} ∫_{ℝ^{N}} (2g̃ − h_{n}) = lim_{n∞} (2 ∫_{ℝ^{N}} g̃ − ∫_{ℝ^{N}} h_{n}) = 2 ∫_{ℝ^{N}} g̃ − lim_{n∞} ∫_{ℝ^{N}} (h_{n})

Donc lim_{n∞} ∫_{ℝ^{N}} (h_{n}) = 0

Applications

1)

Proposition 2 Soit (f_{n}) ∈ C([a, b]) telle que (f_{n}) converge uniformément vers f ∈ C([a, b]). Alors :

lim_{n→∞} ∫_{a}^{b} f_{n} = ∫_{a}^{b} f

Démonstration ∃ M > 0 tq ∀ n, |f_{n}| ≤ M et ∃ C tq |f| ≤ C. ∃ n_{0} tq ∀ n ≥ n_{0}, |f_{n} − f| ≤ 1 ⟹ |f_{n}| ≤ 1 + |f| ≤ 1 + C. ∀ n ∈ {0, …, n_{0} − 1}, ∃ C_{n} tq |f_{n}| ≤ C_{n}. On pose alors M = max_{0≤n≤n_{0}−1}(1 + C, C_{n})

2) f_{n}(x) = 1l_{[n,n+1]}(x). f_{n} ∈ L^{1}(ℝ^{+}). ∀ x ≥ 0, f_{n}(x) ⟶ 0. ∫_{ℝ^{N}} f_{n} = 1 et ∫_{ℝ^{N}} lim_{n∞} f_{n} = 0 : ne marche pas !

La fonction g du théorème est g(x) = 1 sur ℝ^{+}, qui n’est pas intégrable.

L’espace L^{1}(ℝ^{N})

Soit f ∈ L^{1}(ℝ^{N}). Posons N_{1}(f) = ∫_{ℝ^{N}} |f|.

On a :

1. N_{1}(0) = 0

2. ∀ f ∈ L^{1}(ℝ^{N}), ∀ λ ∈ ℝ ou ℂ, N_{1}(λf) = |λ| N_{1}(f)

3. ∀ f, g ∈ L^{1}(ℝ^{N}), N_{1}(f + g) ≤ N_{1}(f) + N_{1}(g).

Donc on a presque une norme. Si N_{1}(f) = 0 pour f ∈ L^{1}(ℝ^{N}), alors f = 0 p.p., donc N_{1} n’est pas une norme.

Définition 9 Soient f, g ∈ L^{1}(ℝ^{N}). On dit que f ∼ g (f équivalente à g) si et seulement si f = g p.p.. C’est une relation d’équivalence. Posons L^{1}(ℝ^{N}) = L^{1}(ℝ^{N})_{/∼} = {ḟ ; f ∈ L^{1}(ℝ^{N})}. On a alors g ∈ ḟ ⟺ f ∼ g.

Proposition 3

L^{1}(ℝ^{N}) est un espace vectoriel si on pose ḟ + ġ = ḟ + g et λḟ = λ̇f ∥.∥_{1} est une norme sur L^{1}(ℝ^{N}) si on pose ∥ḟ∥_{1} = N_{1}(f).

Théorème 4

Soient (f_{n}), f ∈ L^{1}(ℝ^{N}). On suppose que ∫_{ℝ^{N}} |f_{n} − f| ⟶_{n→+∞} 0.

Alors, il existe une suite extraite (f_{n_{k}}) telle que f_{n_{k}}(x) ⟶ f(x) p.p. et il existe g ∈ L^{1}(ℝ^{N}) telle que |f_{n_{k}}(x)| ≤ g(x) p.p..

Définition 10 On peut de même définir ∀ p ∈ ℕ^{∗}, L^{p}(ℝ^{N}) = L^{p}(ℝ^{N})_{/∼}. On munit L^{p}(ℝ^{N}) de la

norme : ∥ḟ∥_{p} = N_{p}(f) = (∫_{ℝ^{N}} |f|^{p})^{\frac{1}{p}}

Définition 11 L^{∞}(ℝ^{N}) = \{f : ℝ^{N} → \overline{ℝ} ou ℂ ; f mesurable et ∃ c ≥ 0 tq |f(x)| ≤ c p.p.\}. L^{∞}(ℝ^{N}) est un espace vectoriel normé. Soit f ∈ L^{∞}(ℝ^{N}). Posons N_{∞}(f) = inf{c ≥ 0/ |f(x)| ≤ c pp}.

On a :

1. N_{∞}(0) = 0

2. N_{∞}(λf) = |λ| N_{∞}(f)

3. N_{∞}(f + g) ≤ N_{∞}(f) + N_{∞}(g)

4. N_{∞}(f) = 0 ⟹ f = 0 p.p.

Définition 12 On pose L^{∞}(ℝ^{N}) = L^{∞}(ℝ^{N})/ ∼ et ∥ḟ∥_{∞} = N_{∞}(f).

54 CHAPTER 5. INTÉGRATION Théorème 5 Pour p ∈ {1, 2, ∞}, L^{p}(ℝ^{N}) est complet. L^{2}(ℝ^{N}) est un Hilbert si l’on pose

< f, g >= ∫_{ℝ^{N}} f(t)\overline{g(t)} dt

Exemple 1

L_{p}^{2}(0, 2π) = \{ \begin{matrix}fdéfinie p.p. sur ℝ, mesurable, 2π-périodique \\ et ∀a ∈ ℝ de carré intégrable sur [a, a + 2π] \end{matrix} \}

Remarque 4 ∃M ⊂ [0, 1], M non mesurable

f(x) = \{ \begin{matrix}1 & si x ∈ M \\ −1 & si x ∈ [0, 1]\M \end{matrix} et f^{2} = 1 sur [0, 1]

Posons e_{n}(x) = \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{inx}, (e_{n})_{n∈ℤ} est une base hilbertienne de L_{p}^{2}(0, 2π). On a alors :

∀ f ∈ L_{p}^{2}(0, 2π), f = ∑_{n∈ℤ}⟨f, e_{n}⟩ e_{n} (⟨f, e_{n}⟩ = c_{n}(f))

c’est-à-dire : ∥f − ∑_{n=−N}^{N}⟨f, e_{n}⟩ e_{n}∥ ⟶_{N→+∞} 0

c’est-à-dire : ∫_{[0,2π]} |f(x) − ∑_{n=−N}^{N}⟨f, e_{n}⟩\frac{e^{inx}}{\sqrt{2π}} |^{2} dx ⟶_{N→+∞} 0

Théorème 6 Soit I un intervalle de ℝ et A ⊂ ℝ^{N} un ensemble mesurable. Soit f une fonction définie sur I × A (en fait définie ∀t ∈ I et p.p. sur A). On suppose que ∀t ∈ I, (x ↦ f(t, x)) ∈ L^{1}(A) et on pose :

F (t) = ∫_{A} f(t, x) dx

1. Continuité : Sous les hypothèses suivantes : (a) x p.p. sur A, (t ↦ f(t, x)) est continue sur I

(b) ∃ g ∈ L^{1}(A) tq ∀ t ∈ I, |f(t, x)| ≤ g(x), x p.p. sur A Alors F est continue sur I.

2. Dérivabilité : Sous les hypothèses suivantes : (a) x p.p. (t ↦ f(t, x)) est dérivable sur I

(b) ∃ h ∈ L^{1}(A) tq ∀ t ∈ I, |\frac{∂f}{∂t} (t, x)| ≤ h(x), x p.p. sur A

Alors F est dérivable sur I et :

F′(t) = ∫_{A} \frac{∂f}{∂t} (t, x) dx

Exemple 2 Soit (t_{n}) tel que t_{n} ⟶_{n→+∞} t dans I. F (t_{n}) = ∫_{A} f(t_{n}, x) dx. Soit f_{n}(x) = f(t_{n}, x) f_{n}(x) ⟶ f(t, x) p.p. sur A et ∀ n, |f_{n}| ≤ g p.p. Le théorème de convergence dominée (3 (page 51))assure que F (t_{n}) → F (t).

Exemple 3 g ∈ C[0, 1] F (t) = ∫_{0}^{t} g(x) dx F′(t) = g(t)

F (t) = ∫_{0}^{1} \underbrace{1l_{[0,t]}(x)g(x)}_{f(t,x)} dx

Définition 13 Soit f une fonction continue sur un ouvert Ω de ℝ^{N}. On appelle support de f et on note \underline{Supp(f)} le complémentaire dans Ω du plus grand ouvert sur lequel f est nulle.

Supp (f) = \overline{\{x ∈ Ω ; f(x) ≠ 0\}}

Définition 14 On désigne par C_{0}(Ω) l’espace vectoriel des fonctions continues sur Ω à support compact, c’est-à-dire :

C_{0}(Ω) = {f ∈ C(Ω) ; ∃ Kcompact, K ⊂ Ω tq ∀ x ∈ Ω\K, f(x) = 0}

Théorème 7 Thórème de densité Soit Ω ⊂ ℝ^{N} un ouvert. C_{0}(Ω) est dense dans L^{p}(Ω) pour p ∈ {1, 2} ie :

∀ p ∈ {1, 2}, ∀ ε > 0, ∀ f ∈ L^{p}(Ω), ∃ g ∈ C_{0}(Ω) tq ∥f − g∥_{p} ≤ ε

Théorème 8 Théorème de Tonelli Soit Ω_{1} ⊂ ℝ^{N_{1}} et Ω_{2} ⊂ ℝ^{N_{2}} des ouverts et soit f mesurable sur Ω_{1} × Ω_{2}. On suppose que :

∫_{Ω_{2}} |f(x, y)| dy < +∞ p.p.

et que

∫_{Ω_{1}}(∫_{Ω_{2}} |f(x, y)| dy) dx < +∞

Alors f ∈ L^{1}(Ω_{1} × Ω_{2})

Théorème 9 Thórème de Fubini Soit f ∈ L^{1}(Ω_{1} × Ω_{2}). Alors pour presque tout x ∈ Ω_{1}

f(x, y) ∈ L_{y}^{1}(Ω_{2}) et ∫_{Ω_{2}} f(x, y) dy ∈ L_{x}^{1}(Ω_{1})

De même pour presque tout y ∈ Ω_{2}

f(x, y) ∈ L_{x}^{1}(Ω_{1}) et ∫_{Ω_{1}} f(x, y) dx ∈ L_{y}^{1}(Ω_{2})

De plus, on a :

∫_{Ω_{1}}(∫_{Ω_{2}} f(x, y) dy) dx = ∫_{Ω_{2}}(∫_{Ω_{1}} f(x, y) dx) dy = ∫_{Ω_{1}×Ω_{2}} f(x, y) dx dy

5.3. FONCTIONS INTÉGRABLES (AU SENS DE LEBESGUE) 57 Théorème 10 Théorème de changement de variable Soient U et Ω des ouverts de ℝ^{N} et soit ϕ : U → Ω un C^{1}-difféomorphisme (ϕ est une bijection de U sur Ω, ϕ ∈ C^{1}(U) et ϕ^{−1} ∈ C^{1}(Ω)). On note pour x ∈ U :

J_{ϕ}(x) = det (\frac{∂ϕ_{i}}{∂x_{j}} (x))_{1≤i,j≤N} ϕ = (ϕ_{1}, …, ϕ_{N})

Soit f une fonction mesurable définie p.p. sur Ω.

1) Si f est à valeurs dans \overline{ℝ_{+}}, on a : ∫_{Ω} f(y) dy = ∫_{U} f(ϕ(x)) |J_{ϕ}(x)| dx

2) Si f est à valeurs dans ℂ,

f ∈ L^{1}(Ω) ⟺ (x ↦ f(ϕ(x))J_{ϕ}(x)) ∈ L^{1}(U)

et on a la même égalité.

58 CHAPTER 5. INTÉGRATION

Les distributions

6.1 Définition des distributions

Soit Ω ⊂ ℝ^{N} un ouvert. Définition 1 On note \underline{D(Ω)} ou C_{0}^{∞}(Ω) l’ensemble des fonctions définies sur Ω et à valeurs dans ℂ, indéfiniment dérivables et à support compact. D(Ω) est un espace vectoriel. Remarque 1 Soit φ ∈ D(Ω). Supp (φ) est compact et Supp (φ) ⊂ Ω. Posons : φ̃(x) = \{ \begin{matrix}0 & si x ∈ ℝ^{N} \ Supp (φ) \\ φ(x) & si x ∈ Supp (φ) \end{matrix} φ̃ ∈ D(ℝ^{N}) (= C_{0}^{∞}(ℝ^{N})).

Exemple 1 φ(x) = \{ \begin{matrix}exp \frac{−1}{1−∥x∥^{2}} & si ∥x∥ < 1 \\ 0 & si ∥x∥ ≥ 1 \end{matrix}

φ ∈ D(ℝ^{N}), Supp (φ) = B′(0, 1)

Théorème 1 Pour tout δ > 0, il existe φ ∈ D(ℝ^{N}) tel que : φ(x) = 1 pour ∥x∥ ≤ 1, 0 ≤ φ ≤ 1 et φ(x) = 0 pour ∥x∥ ≥ 1 + δ. Si α = (α_{1}, …, α_{N}) ∈ ℕ^{N} et x = (x_{1}, …, x_{N}) ∈ ℝ^{N} :

\frac{∂^{α}}{∂x^{α}} = \frac{∂^{α_{1}}}{∂x_{1}^{α_{1}}} \frac{∂^{α_{2}}}{∂x_{2}^{α_{2}}} … \frac{∂^{α_{N}}}{∂x_{N}^{α_{N}}} = ∂^{α} = \frac{∂^{|α|}}{∂x_{1}^{α_{1}} … ∂x_{N}^{α_{N}}} , |α| = α_{1} + ⋯ + α_{N}

Convergence dans D(Ω) Définition 2 Soient φ_{n} et φ ∈ D(Ω). On dit que \underline{φ_{n} converge vers φ dans D(Ω)} si :

1) ∃K compact, K ⊂ Ω tel que ∀ n, Supp (φ_{n}) ⊂ K 60 CHAPTER 6. LES DISTRIBUTIONS

2) ∀ α ∈ ℕ^{N}, ∂^{α}φ_{n} ⟶ ∂^{α}φ uniformément. Définition 3 Une \underline{distribution} T sur Ω est une forme linéaire continue sur D(Ω), c’est-à-dire :

(i) ∀ φ_{1}, φ_{2} ∈ D(Ω), ∀ λ ∈ ℂ, T (φ_{1} + λφ_{2}) = T (φ_{1}) + λT (φ_{2}) (ii) Si φ_{n} ⟶ φ dans D(Ω), alors T (φ_{n}) ⟶ T (φ) dans ℂ

On note D′(Ω) l’ensemble des distributions sur Ω; c’est un espace vectoriel. On note ⟨T, φ⟩ ou T (φ). Exemples 2

1) On note L_{loc}^{1}(Ω) l’ensemble des fonctions mesurables sur Ω, intégrables sur tout compact de Ω. C’est un espace vectoriel. De même on peut définir L_{loc}^{1}(Ω). Par exemple, \frac{1}{\sqrt{|x|}} ∈ L_{loc}^{1}(ℝ). Soit f ∈ L_{loc}^{1}(Ω). Pour φ ∈ D(Ω) on pose :

⟨T_{f}, φ⟩ = ∫_{Ω} f(x)φ(x) dx

T f ∈ D′(Ω) :

• T_{f} est bien définie puisque |f(x)φ(x)| ≤ ∥φ∥_{∞} 1l_{Supp(φ)}(x)|f(x)| ∈ L^{1}(Ω)

• T_{f} est linéaire (linéarité de l’intégrale).

• T_{f} est continue sur D(Ω) :

Soit φ_{n} ∈ D(Ω) telle que φ_{n} → 0 dans D(Ω).

|⟨T f, φ_{n}⟩| = |∫_{Ω} f(x)φ_{n}(x)dx| ≤ ∫ |f(x)| |φ_{n}(x)| dx ≤ ∥φ_{n}∥_{∞} ∫_{K} |f(x)| dx 2) Soit a ∈ ℝ^{N}. Pour φ ∈ D(ℝ^{N}) on pose :

⟨δ_{a}, φ⟩ = φ(a)

δ_{a} ∈ D′(ℝ^{N}) :

• Linéarité :

⟨δ_{a}, φ_{1} + λφ_{2}⟩ = (φ_{1} + λφ_{2})(a) = φ_{1}(a) + λφ_{2}(a) = ⟨δ_{a}, φ_{1}⟩ + λ⟨δ_{a}, φ_{2}⟩ • Continuité :

Si φ_{n} ⟶ 0 dans D(ℝ^{N}) : |⟨δ_{a}, φ_{n}⟩| = |φ_{n}(a)| ≤ ∥φ_{n}∥_{∞} ⟶ 0 Quand a = 0, on note δ = δ_{0}.

3) Soit f ∈ L_{loc}^{1}(Ω). Pour φ ∈ D(Ω) et j ∈ {1, …, N}, posons :

⟨T, φ⟩ = ∫_{Ω} f(x)\frac{∂φ}{∂x_{j}} (x) dx

Si φ_{n} ⟶ 0 dans D(Ω) : soit K compact tel que ∀ n, Supp (φ_{n}) ⊂ K.

|⟨T, φ_{n}⟩| ≤ ∥\frac{∂φ_{n}}{∂x_{j}} ∥_{∞} ∫_{K} |f(x)| dx ⟶_{n→∞} 0

Proposition 1 L’application de L_{loc}^{1}(Ω) dans D′(Ω) qui à f associe T_{f} est linéaire et \underline{injective}.

Démonstration

• ∀ f_{1}, f_{2} ∈ L_{loc}^{1}(Ω), ∀ λ ∈ ℂ, T_{f_{1}+λf_{2}} = T_{f_{1}} + λT_{f_{2}} En effet, soit φ ∈ D(Ω), ⟨T_{f_{1}+λf_{2}}, φ⟩ = ∫_{Ω} (f_{1} + λf_{2}) φ = ∫_{Ω} f_{1}φ + λ ∫_{Ω} f_{2}φ = ⟨T_{f_{1}}, φ⟩ + λ⟨T_{f_{2}}, φ⟩

• Si ∀φ ∈ D(Ω), ⟨T_{f}, φ⟩ = ∫_{Ω} f(x)φ(x)dx = 0, alors f = 0

Remarque 2 L’application définie dans la proposition 1 n’est \underline{pas surjective}. Elle permet d’identifier L_{loc}^{1}(Ω) à un sous espace vectoriel de D′(Ω) qu’on appelle les distributions régulières.

Convergence des distributions Définition 4 On dit que la suite de distributions T_{n} ∈ D′(Ω) \underline{converge} vers la distribution T ∈ D′(Ω) si pour toute φ ∈ D(Ω), ⟨T_{n}, φ⟩ ⟶ ⟨T, φ⟩. On dit qu’une série ∑_{n≥0} T_{n} converge et a pour somme T si la suite S_{p} = ∑_{n=0}^{p} T_{n} converge vers T.

Exemples 3 1) Soit f_{n}(x) = cos(nx), f_{n} ∈ L_{loc}^{1}(ℝ). T_{f_{n}} ∈ D′(ℝ).

lim_{n→+∞} T_{f_{n}} = 0 (car ∀ φ ∈ D(ℝ), ⟨T_{f_{n}}, φ⟩ = ∫ cos(nx)φ(x)dx ⟶_{n→∞} 0).

2) Soit n ∈ ℕ, δ_{n} ⟶ 0 dans D′(ℝ).

Soit φ ∈ D(ℝ), ⟨δ_{n}, φ⟩ = φ(n) = 0 pour n grand (car φ à support compact).

Support d’une distribution

Définition 5 Soit T ∈ D′(Ω). Soit ω ⊂ Ω un ouvert. On dit que T est \underline{nulle} sur ω si pour toute φ ∈ D(ω), ⟨T, φ⟩ = 0.

Exemple 4 Soit a ∈ ℝ^{N}. δ_{a} est nulle sur C_{ℝ^{N}} {a} = ℝ^{N} \ {a}. Si ω ⊂ ℝ^{N} ouvert et a ∉ ω, δ_{a} est nulle sur ω.

Définition 6 Soit T ∈ D′(Ω). Le \underline{support} de T, noté Supp (T), est le complémentaire (dans Ω) du plus grand ouvert ω sur lequel T est nulle.

On peut montrer que ω existe.

Exemple 5 Supp (δ_{a}) = {a}

Définition 7 On note \underline{E′(Ω)} l’espace vectoriel des distributions à support compact (dans Ω).

Si f ∈ C(Ω) et Supp (f) est compact, T_{f} ∈ E′(Ω). E′(Ω) ⊊ D′(Ω).

Proposition 2

Soit T_{n} ∈ D′(Ω), n ∈ ℕ. Si pour toute φ ∈ D′(Ω), ⟨T_{n}, φ⟩ a une limite dans ℂ, alors T_{n} a une limite dans D′(Ω).

Démonstration D(Ω) ∋ φ ⟼ lim_{n→+∞}⟨T_{n}, φ⟩ est linéaire.

φ_{1}, φ_{2} ∈ D(Ω) et λ ∈ ℂ.

lim_{n→+∞} (⟨T_{n}, φ_{1} + λφ_{2}⟩) = lim_{n→+∞}⟨T_{n}, φ_{1}⟩ + λ⟨T_{n}, φ_{2}⟩ = lim_{n→+∞}⟨T_{n}, φ_{1}⟩ + λ lim_{n→+∞}⟨T_{n}, φ_{2}⟩

Exemple 6 ∀ n, T_{n} = ∑_{p=0}^{n} δ_{p} ∈ D′(ℝ).

Soit φ ∈ D(ℝ). ∃ n_{o} ∈ ℕ tq Supp (φ) ⊂ [−n_{0}, n_{0}].

⟨T_{n}, φ⟩ = ∑_{p=0}^{n_{0}} φ(p) ⟶_{n→∞} ∑_{p=0}^{n_{0}} φ(p)

Il existe T ∈ D(ℝ) tel que T_{n} ⟶ T dans D′(ℝ) : T = ∑_{p≥0} δ_{p}.

6.2 Opérations sur les distributions

\underline{\underline{Le but}} : étendre aux distributions \underline{certaines} opérations définies sur les fonctions. \underline{\underline{Les conditions}} :

1) La nouvelle définition doit coïncider avec l’ancienne pour les fonctions.

2) Continuité au sens des distributions des opérations définies.

6.2. OPÉRATIONS SUR LES DISTRIBUTIONS 63

6.2.1 Dérivation des distributions

Soit f ∈ C^{1}(Ω) et soit 1 ≤ j ≤ N. Pour φ ∈ D(Ω^{)} :

∫_{Ω} \frac{∂f}{∂x_{j}} (x)φ(x)dx = − ∫_{Ω} f(x)\frac{∂φ}{∂x_{j}} dx

⟨T_{\frac{∂ f}{∂x_{j}}} , φ⟩ = −⟨T_{f}, \frac{∂φ}{∂x_{j}} ⟩

Soit T ∈ D′(Ω), 1 ≤ j ≤ N et φ ∈ D(Ω).

⟨\frac{∂T}{∂x_{j}} , φ⟩ =^{def} −⟨T, \frac{∂φ}{∂x_{j}} ⟩

Remarque 3 Si φ_{n} ⟶ φ dans D(Ω) alors ∀ α ∈ ℕ^{N}, ∂^{α}φ_{n} ⟶ ∂^{α}φ dans D(Ω).

Proposition 3 Soit T ∈ D′(Ω).

1) Pour 1 ≤ j ≤ ℕ, \frac{∂T}{∂x_{j}} ∈ D′(Ω).

Pour 1 ≤ j, k ≤ N on a : \frac{∂^{2}T}{∂x_{j}∂x_{k}} = \frac{∂^{2}T}{∂x_{k}∂x_{j}}

2) T est indéfiniment dérivable et on a : ∀ φ ∈ D(Ω), ⟨∂^{α}T, φ⟩ = (−1)^{|α|}⟨T, ∂^{α}φ⟩

Démonstration (du 1))

• Soit φ et ψ ∈ D(Ω), λ ∈ ℂ.

⟨\frac{∂T}{∂x_{j}} , φ + λψ⟩ = −⟨T, \frac{∂}{∂x_{j}} (φ + λψ)⟩
= −⟨T, \frac{∂φ}{∂x_{j}} + λ\frac{∂ψ}{∂x_{j}} ⟩
= −⟨T, \frac{∂φ}{∂x_{j}} ⟩ − λ⟨T, \frac{∂ψ}{∂x_{j}} ⟩
= ⟨\frac{∂T}{∂x_{j}} , φ⟩ + λ⟨\frac{∂T}{∂x_{j}} , ψ⟩

• Soit φ_{n} ⟶ 0 dans D(Ω). D’après la remarque 3 (page 63), \frac{∂φ_{n}}{∂x_{j}} ⟶ 0 dans D′(Ω).

On a : ⟨\frac{∂T}{∂x_{j}} , φ_{n}⟩ = −⟨T, \frac{∂φ_{n}}{∂x_{j}} ⟩ ⟶ 0

• Soit φ ∈ D(Ω).

⟨\frac{∂^{2}T}{∂x_{j}∂x_{k}} , φ⟩ = −⟨\frac{∂T}{∂x_{k}} , \frac{∂φ}{∂x_{j}} ⟩
= ⟨T, \frac{∂^{2}φ}{∂x_{k}∂x_{j}} ⟩ = ⟨T, \frac{∂^{2}φ}{∂x_{j}∂x_{k}} ⟩
= −⟨\frac{∂T}{∂x_{j}} , \frac{∂φ}{∂x_{k}} ⟩ = ⟨\frac{∂^{2}T}{∂x_{k}∂x_{j}} , φ⟩

Proposition 4 La dérivation est continue sur D′(Ω). Si T_{n}, T ∈ D′(Ω) et T_{n} ⟶ T (dans D′(Ω)) alors ∀ α ∈ ℕ^{N}, ∂^{α}T_{n} ⟶ ∂^{α}T (dans D′(Ω)).

Démonstration Soit φ ∈ D(Ω). ⟨∂^{α}T_{n}, φ⟩ = (−1)^{|α|}⟨T_{n}, ∂^{α}φ⟩ ⟶ (−1)^{|α|}⟨T, ∂^{α}φ⟩ = ⟨∂^{α}T, φ⟩

Remarque 4 Toute fonction continue et même localement intégrable a des dérivées de tous les ordres : ces dérivées ne sont pas en général des fonctions^{1}.

Exemple 7 Si f ∈ C^{1}(Ω) : \frac{∂}{∂x_{j}} (T_{f}) = T_{\frac{∂ f}{∂x_{j}}} Dans ce cas la dérivée est encore une dérivation régulière.

Exemples 8

1) On prend pour T la fonctin d’Heavyside définie par : Y (x) = \{ \begin{matrix}1 & si x > 0 \\ 0 & si x < 0 \end{matrix}

Y ∈ L_{loc}^{1}(ℝ), donc Y définit une distribution T_{Y} ∈ D′(ℝ) (elle est dérivable).

Soit φ ∈ D′(ℝ)

⟨Y′, φ⟩ = −⟨Y, φ′⟩ = − ∫_{0}^{+∞} φ′(x)dx = φ(0) = ⟨δ, φ⟩

Donc Y′ = δ.

2) Posons f(x) = ln |x| pour x ≠ 0.

f ∈ L_{loc}^{1}(ℝ) donc f définit une distribution de D′(ℝ).

Soit φ ∈ D(ℝ).

⟨f′, φ⟩ = −⟨f, φ′⟩ = − ∫_{ℝ} f(x)φ′(x)dx = − lim_{ε→0^{+}} ∫_{|x|≥ε} f(x)φ′(x)dx

Il existe M > ε tel que Supp (φ) ⊂ [−M, M].

1ie: des T_{f}

∫_{|x|≥ε} f(x)φ′(x)dx = ∫_{ε}^{M} f(x)φ′(x)dx + ∫_{−M}^{−ε} f(x)φ′(x)dx
= f(x)φ(x)]_{ε}^{M} − ∫_{ε}^{M} \frac{φ(x)}{x}dx + f(x)φ(x)]_{−M}^{−ε} − ∫_{−M}^{−ε} \frac{φ(x)}{x}dx
= \underbrace{−φ(ε) ln(ε) + φ(−ε) ln(ε)}_{⟶0} − ∫_{ε≤|x|} \frac{φ(x)}{x}dx

En effet : (φ(ε) − φ(−ε)) ln(ε) = 2εφ′(θ) ln(ε) où θ ∈] − ε, ε[,

d’où : |(φ(ε) − φ(−ε)) ln(ε)| ≤ 2 ∥φ∥_{∞} |ε ln(ε)| ⟶ 0

On a donc : ⟨f′, φ⟩ = ⟨vp (\frac{1}{x}) , φ⟩ c’est-à-dire (ln |x|)′ = vp (\frac{1}{x}).

Définition 8 Soient a = a_{0} < a_{1} < … < a_{p} < a_{p+1} = b des points de ℝ. Soit f une application définie sur ]a, b[\{a_{1}, …, a_{p}}.

On dit que f est de \underline{classe C^{k} par morceaux} si ∀ j ∈ \{1, …, p\}, f a des dérivées jusqu’a l’ordre k sur ]a_{j}, a_{j+1}[ et si ces dérivées se prolongent continûment sur ]a, a_{1}], [a_{j}, a_{j+1}] pour 1 ≤ j ≤ p − 1 (si p ≥ 2) et sur [a_{p}, b[.

On note f(a_{i} ± 0) les limites à droite et à gauche en a_{i}, i = 1, …, p.

Théorème 2 Formule des sauts Soit f de classe C^{1} par morceaux sur ]a, b[. On a :

f′ = {f′} + ∑_{i=1}^{p}(f(a_{i} + 0) − f(a_{i} − 0))δ_{a_{i}}

où f′ désigne la dérivée de f au sens des distributions (c’est-à-dire (T_{f})′) et {f′} désigne la distribution définie par la dérivée de f en dehors des points a_{i}, 1 ≤ i ≤ p.

Exemple 9 Y′ = {0} + δ = δ

Démonstration

Pour p = 1 : Soit φ ∈ D(]a, b[).

⟨f′, φ⟩ = −⟨f, φ′⟩
= − ∫_{a}^{a_{1}} fφ′ − ∫_{a_{1}}^{b} fφ′
= − lim_{n→+∞} ∫_{a}^{a_{1}−1/n} fφ′ − lim_{n→+∞} ∫_{a_{1}+1/n}^{b} fφ′
= − lim_{n→+∞} [f (a_{1} − \frac{1}{n}) φ (a_{1} − \frac{1}{n}) − ∫_{a}^{a_{1}−1/n} f′φ]

− lim_{n→+∞} [−f (a_{1} + \frac{1}{n}) φ (a_{1} + \frac{1}{n}) − ∫_{a_{1}+1/n}^{b} f′φ]

= φ (a_{1}) (f (a_{1} + 0) − f (a_{1} − 0)) + \underbrace{∫_{a}^{a_{1}} f′φ + ∫_{a_{1}}^{b} f′φ}_{∫_{a}^{b} f′φ}

6.2.2 Multiplication par les fonctions C^{∞}

• La multiplication de deux distributions \underline{quelconques} n’est pas possible en général. Contre-exemple : f(x) = g(x) = \frac{1}{\sqrt{|x|}}; f, g ∈ L_{loc}^{1}(ℝ). Donc T_{f}, T_{g} ∈ D′(ℝ) mais (fg)(x) = \frac{1}{|x|} ∉ L_{loc}^{1}(ℝ).

• Soit T ∈ D′(Ω) et soit f ∈ C^{∞}(Ω).

\underline{Cas particulier} : Si T = T_{g}, g ∈ L_{loc}^{1}(Ω) : ∀ φ ∈ D(Ω), ⟨fg, φ⟩ = ∫_{Ω} fgφ = ⟨g, fφ⟩ \underline{Cas général} :

On pose : ⟨fT, φ⟩ =^{def} ⟨T, fφ⟩, φ ∈ D(Ω).

La formule a un sens, car fφ ∈ D(Ω).

Proposition 5 Avec les notations ci-dessus : fT ∈ D′(Ω).

Démonstration

• Linéarité :

\begin{aligned}⟨fT, φ_{1} + λφ_{2}⟩ & = & ⟨T, f(φ_{1} + λφ_{2})⟩ & = & ⟨T, fφ_{1} + λfφ_{2}⟩ \\ & = & ⟨T, fφ_{1}⟩ + λ⟨T, fφ_{2}⟩ & = & ⟨fT, φ_{1}⟩ + λ⟨fT, φ_{2}⟩ \end{aligned}

• Continuité : ”Rappelons” la formule de Leibniz :

∂^{α}(fg) = ∑_{β≤α} ( \begin{matrix}α \\ β \end{matrix} ) ∂^{β}f∂^{α−β}g

avec f, g ∈ C^{∞}(Ω); α ∈ ℕ^{N} et ( \begin{matrix}α \\ β \end{matrix} ) = \frac{α!}{β!(α − β)!}; α! = α_{1}!α_{2}! … α_{N}!.

Soit φ_{n} ∈ D(Ω), φ_{n} ⟶ 0. On a : fφ_{n} ⟶ 0 dans D(Ω). ∃K compact, K ⊂ Ω tel que ∀ n, Supp (φ_{n}) ⊂ K. Alors Supp (fφ_{n}) ⊂ K. Soit α ∈ ℕ^{N},

\begin{aligned}|∂^{α}(fφ_{n})| & = & |∑_{β≤α} ( \begin{matrix}α \\ β \end{matrix} ) ∂^{β}f∂^{α−β}φ_{n}| \\ & ≤ & ∑_{β≤α} ( \begin{matrix}α \\ β \end{matrix} ) sup_{x∈K} |∂^{β}f(x)| ∥∂^{α−β}φ_{n}∥_{∞} ⟶_{n→∞} 0 \end{aligned}

Exemples 10 1) Soit a ∈ Ω, f ∈ C^{∞}(Ω), on a fδ_{a} = f(a)δ_{a} :

Soit φ ∈ D(Ω), ⟨fδ_{a}, φ⟩ =^{def} ⟨δ_{a}, fφ⟩ = f(a)φ(a) = f(a)⟨δ_{a}, φ⟩

2) xvp (\frac{1}{x}) = 1 : Soit φ ∈ D(ℝ),

⟨xvp (\frac{1}{x}) , φ⟩ = ⟨vp (\frac{1}{x}) , xφ⟩ = lim_{ε→0^{+}} ∫_{|x|≥ε} \frac{xφ(x)}{x}dx
= lim_{ε→0^{+}} ∫_{|x|≥ε} φ(x)dx
= ∫ φ(x)dx

(par le th. de convergence dominée 3 (page 51))

= ⟨1, φ⟩

Proposition 6

1) Soient T_{n}, T ∈ D′(Ω) et f ∈ C^{∞}(Ω). Si T_{n} ⟶ T dans D′(Ω), alors fT_{n} ⟶ fT dans D′(Ω).

2) Soient f_{n}, f ∈ C^{∞}(Ω) et T ∈ D′(Ω). Si ∀ α ∈ ℕ^{N}, ∂^{α}f_{n} ⟶ ∂^{α}f uniformément sur tout compact de Ω, alors f_{n}T ⟶ fT dans D′(Ω).

Démonstration

1) Soit φ ∈ D(Ω),

⟨fT_{n}, φ⟩ = ⟨T_{n}, fφ⟩ ⟶_{n→∞} ⟨T, fφ⟩ = ⟨fT, φ⟩

2) Soit φ ∈ D(Ω),

⟨f_{n}T − fT, φ⟩ = ⟨T, (f_{n} − f)φ⟩ ⟶ 0 car (f_{n} − f)φ ⟶ 0 dans D(Ω)

Remarque 5 Si T_{n} ⟶ T dans D′(Ω) et si ∀α ∈ ℕ^{N}∂^{α}f_{n} ⟶ ∂^{α}f uniformément sur tout compact (avec les notations de la proposition 5) alors f_{n}T_{n} ⟶ fT.

Proposition 7

Soit T ∈ D′(Ω) et f ∈ C^{∞}(ℝ). On a :

(fT)′ = f′T + fT′

(Ceci est vrai, à tous les ordres, et en dimension ≥ 2 : formule de Leibniz)

Démonstration Soit φ ∈ D(ℝ).

⟨(fT)′, φ⟩ = −⟨fT, φ′⟩ = −⟨T, fφ′⟩
⟨f′T + fT′, φ⟩ = ⟨f′T, φ⟩ + ⟨fT′, φ⟩ = ⟨T, f′φ⟩ + ⟨T′, fφ⟩
= ⟨T, f′φ⟩ − ⟨T, (fφ)′⟩ = ⟨T, f′φ⟩ − ⟨T, f′φ + fφ′⟩
= −⟨T, fφ′⟩

6.2.3 Distributions périodiques

Définition 9 Soit a fixé. On dit que T ∈ D′(ℝ) est \underline{périodique}, de période a, si τ_{a}T = T.

Théorème 3 Soit (λ_{n})_{n∈ℤ} une \underline{suite} dans ℂ \underline{à croissance lente}, c’est-à-dire :

∃m ∈ ℕ, ∀n ∈ ℤ, |λ_{n}| ≤ C(1 + |n|)^{m}

(où C est une constante indépendante de n). Alors la série :

∑_{n∈ℤ} λ_{n}e^{2iπn \frac{t}{a}}

converge au sens des distributions vers une distribution T de période a.

Lemme 1

Soient f_{n}, f ∈ C(Ω), bornées et telles que ∥f_{n} − f∥_{∞} ⟶ 0. Alors f_{n} ⟶ f dans D′(Ω).

Démonstration (Lemme) ∀ φ ∈ D(Ω), ⟨f_{n}, φ⟩ = ∫ f_{n}φ ⟶ ∫ fφ = ⟨f, φ⟩ (par th. de convergence dominée 3 (page 51))

Démonstration (Théorème)

Pour N ∈ ℕ, posons : S_{N}(t) = ∑_{n≠0^{n=−N}}^{N} λ_{n} (\frac{a}{2iπn})^{m+2} e^{2iπn \frac{t}{a}}

S_{N} vérifie les conditions du lemme 1. Donc S_{N} ⟶ S ∈ D′(ℝ) (au sens des distributions). Alors : (S_{N})^{(m+2)} ⟶ S^{(m+2)} dans D′(ℝ) et on rajoute λ_{0}.

Exercice Trouver toutes les distributions T ∈ D′(ℝ) telles que : xT = 0.

70 CHAPTER 6. LES DISTRIBUTIONS

Remerciements

Merci à:

Yvan et J.C. pour leur poly d’Ada, Christophe pour ses ¡¡Oh, chuis pas content: c’est pas beau.¿¿, StekFritt pour ses ¡¡pouyou pouyou pouyou¿¿ (3 par seconde...), Lebesgues pou...pour pour sa sa super thé...théorie..., J.B. Durand pour..., Guillaume T. pour m’avoir attendu jusqu’au bout, Thomas chez moi c’est... c’était de l’Ice Tea\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}.