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Dans cet exposé, je décrirai un travail en commun avec Antonio Gaudiello (Caserte, Italie) et Olivier Guibé (Rouen, France). J'exposerai le problème, les résultats obtenus et les principales étapes de la démonstration.
Nous considérons une suite de domaines \(\Omega_\varepsilon\) qui ont la forme de brosses (en dimension \(N = 3\)) ou de peignes (en dimension \(N = 2\)). Chaque domaine \(\Omega_\varepsilon\) est un ouvert de \(R^N\) (avec \(N \geq 2\)) qui est constitué d'une base fixe sur laquelle sont réparties des dents qui varient avec \(\varepsilon\). Cette base est un ouvert cylindrique vertical fixe dont les faces supérieure et inférieure sont horizontales. Sur la face supérieure se dressent des dents, toutes d'une même hauteur fixe, dont chacune est un cylindre vertical. Par contre, les formes des dents, les diamètres de leurs bases, et leurs distributions varient lorsque (\varepsilon\) tend vers zéro.
Pour chaque domaine \(\Omega_\varepsilon\) donné, chaque dent est un cylindre vertical de hauteur fixe et de diamètre inférieur ou égal à \(\varepsilon\), mais ce diamètre n'est pas nécessairement de l'ordre de (\varepsilon\) (de sorte que certaines dents de \(\Omega_\varepsilon\) peuvent avoir un diamètre \(\varepsilon\) et d'autres un diamètre \(\varepsilon^2\) ou \(\varepsilon^{36}\)). Les bases des dents de \(\Omega_\varepsilon\) sont des ouverts quelconques (sans aucune régularité) de \(R^{N - 1}\) qui peuvent varier d'une dent à l'autre. Elles sont deux à deux disjointes, mais leurs fermetures ne le sont pas nécessairement (de sorte que certaines dents de \(\Omega_\varepsilon\) peuvent être adjacentes, c'est-à-dire avoir des frontières en partie communes). Aucune périodicité n'est supposée sur la distribution des dents de \(\Omega_\varepsilon\). Enfin, la suite des fonctions caractéristiques de l'union des bases des dents de \(\Omega_\varepsilon\) converge dans \(L^\infty(R^{N - 1})\) faible-étoile vers une certaine fonction \(\theta = \theta(x^\prime)\), qui est la densité asymptotique des dents, et qui bien sûr vérifie \(0 \leq \theta(x^\prime) \leq 1\) ; au prix de l'extraction d'une sous suite, cette dernière hypothèse est gratuite.
Pour cette suite de domaines Ω_ε, nous étudions l'homogénéisation, c'est à dire le comportement asymptotique lorsque \(\varepsilon\) tend vers zéro, de la solution de l'équation elliptique linéaire du second ordre ÷(- div A(x) Du_\varepsilon + c(x) u_\varepsilon = f(x)\) posée dans \(\Omega_\varepsilon\), où la matrice \(A(x)\) est à coefficients \(L^\infty\) et uniformément coercive, où le coefficient \(c(x)\) appartient à \(L^\infty\) et est supérieur à une constante strictement positive, et où le terme source \(f(x)\) appartient à \(L^2\), lorsque \(u_ε\) vérifie la condition aux limites de Neumann homogène (au sens du problème variationnel) sur toute la frontière du domaine \(\Omega_\varepsilon\). Nous démontrons en outre un résultat de correcteur.
Il s'agit d'un problème d'homogénéisation devenu classique depuis le travail pionnier de Robert Brizzi et Jean-Paul Chalot dans leur thèse de doctorat en 1978, mais notre résultat est obtenu dans une géométrie beaucoup plus générale que toutes celles qui ont été considérées depuis lors. A vrai dire, la seule restriction imposée par nos hypothèses est le fait que les dents sont supposées être cylindriques et de même hauteur. En particulier nos hypothèses permettent qu'à la limite apparaisse du vide dans la zone des dents, c'est à dire qu'il existe un ensemble cylindrique vertical mesurable de cette zone où \(\theta(x^\prime) = 0\), ce qui conduit à un problème limite dégénéré.
Dans notre article A. Gaudiello, O. Guibé & F. Murat,
Homogenization of the brush problem with a source term in \(L^1\), Arch. Rat. Mech. Anal., 225, (2017), 1-64,
nous avons publié l'étude du cas où \(f(x)\) appartient à \(L^2\) et aussi à \(L^1\) dans le cas (restrictif) où il existe un \(\theta_0 > 0\) tel que \(\theta(x^\prime) \geq θ_0\), c'est à dire le cas où à la limite il n'a pas de vide dans la zone des dents.
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