\documentclass[12pt]{article}

\oddsidemargin 5 mm
\evensidemargin 5 mm
\textwidth 155 mm
\topmargin 0 cm
\textheight 21.6 cm

\def\RR{\mbox{\it I\hskip -0.177em R}}
\def\NN{\mbox{\it I\hskip -0.177em N}}
\def\ZZ{\mbox{\it Z\hskip -0.353em Z}}
\def\EE{\mbox{\it I\hskip -0.177em E}}
\def\II{\mbox{\Large 1\hskip -0.353em 1}}
\def\QQ{\mbox{\it 1\hskip -0.486em Q}}
\newcommand{\sNN}{{\hbox{$\scriptstyle{I}$\kern-.25em\hbox{$\scriptstyle N$}}}}
\newcommand{\sRR}{{\hbox{$\scriptstyle{I}$\kern-.25em\hbox{$\scriptstyle R$}}}}
\newcommand{\sZZ}{{\hbox{$\scriptstyle{Z}$\kern-.3em\hbox{$\scriptstyle Z$}}}}

\newtheorem{exo}{Exercice}

\newenvironment{algo}{ 
                      \vskip 2mm \noindent \hspace{-2mm}\sf
                      }
                     { 
                     \vskip 2mm \noindent   
                     }

\newcommand{\tab}{\hspace*{1cm}} 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\begin{document}
\noindent
{\bf Paris V / UFR Math-Info \hfill Ann\'ee  2004-2005\\[2ex]
Licence Pluridisciplinaire   \hfill UE Math\'ematiques }
\vskip 2cm
\begin{center}
{\bf{\Large Exercices de num\'eration et calcul}}
\vskip 1cm\noindent
{\bf B. Ycart}
\end{center}
\vskip 5mm\noindent
\hrulefill
\vskip 5mm\noindent
%--------------------------------------------------------------------------
\section{Nombres et arithm\'etique}
%-----------------------------------
%-----------
\subsection{Nombres entiers}
%-----------
\begin{exo}{\rm
%--- Ann IUFM p. 34
On choisit un nombre entier, on le divise par 7 et on trouve un reste
\'egal \`a 5. On divise \`a nouveau le quotient obtenu par 7, on
trouve un reste \'egal \`a 3 et un quotient \'egal \`a 12.
 Quel \'etait le nombre de d\'epart~?
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
%--- Ann IUFM p. 73
Le 14 juillet 1789 \'etait un mardi. 
Quel jour \'etait le 1er janvier 1789~?
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
Nous sommes le mercredi 12 janvier 2005.\\
{\bf A~:}
Le 12 janvier 2006 sera un jeudi\\
{\bf B~:}
Le 12 janvier 2007 sera un samedi\\
{\bf C~:}
Le 12 janvier 2004 \'etait un mardi\\
{\bf D~:}
Le 12 janvier 2004 \'etait un lundi\\
{\bf E~:}
Le 12 janvier 2008 sera un dimanche
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
Nous sommes le jeudi 27 janvier 2005.\\
{\bf A~:}
Le 27 janvier 2006 sera un vendredi\\
{\bf B~:}
Le 27 janvier 2007 sera un dimanche\\
{\bf C~:}
Le 27 janvier 2004 \'etait un mercredi\\
{\bf D~:}
Le 27 janvier 2004 \'etait un mardi\\
{\bf E~:}
Le 27 janvier 2008 sera un lundi
}\end{exo}
%------------------------------------
\begin{exo}{\rm
%--- QCM IUFM p. 19
On donne les deux \'egalit\'es vraies suivantes.
$$
3~379~026=198765\times 17+21\;,\;
609~806~770=35~870~986\times 17+8\;.
$$
On s'int\'eresse au nombre entier
$N=3~379~026\times 609~806~770$. Quel est le reste de la division
euclidienne de $N$ par $17$~?
}\end{exo}
%------------------------------------
\begin{exo}{\rm
%--- QCM IUFM p. 239
Dans l'addition ci-dessous, chaque lettre repr\'esente un chiffre
diff\'erent.
$$
M~A~N~G~E~R + M~A~N~G~E~R = G~R~O~S~S~I~R\;.
$$
Parmi les propositions suivantes, laquelle (lesquelles) peut (peuvent)
remplacer $N$~?\\
{\bf A~:}
$1$~~~
{\bf B~:}
$2$~~~
{\bf C~:}
$4$~~~
{\bf D~:}
$6$~~~
{\bf E~:}
$7$
}\end{exo}
%------------------------------------
\begin{exo}{\rm
%--- QCM IUFM p. 21
Le nombre $60$ est connu pour son grand nombre de diviseurs. Parmi les
phrases suivantes, laquelle (lesquelles) est (sont) vraie(s)~?
\begin{enumerate}
\item
$60$ a plus de diviseurs que $100$.
\item
$60$ a dix diviseurs.
\item
$60$ a quinze diviseurs.
\item
$60$ a autant de diviseurs que $90$.
\item
$60$ a autant de diviseurs que $64$.
\end{enumerate}
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
On note N$=1200$ et M$=360$. Alors~:\\
{\bf A~:}
N$=2^4\times 3\times5^2$\\
{\bf B~:}
M$=2^4\times 3\times 5$\\
{\bf C~:}
PGCD(N,M)$=120$\\
{\bf D~:}
PPCM(N,M)$=2400$\\
{\bf E~:}
Tous les entiers compris entre $1$ et $10$ sont diviseurs communs de N
et M, sauf $7$
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
On note N$=360$ et M$=2400$. Alors~:\\
{\bf A~:}
N$=2^2\times 3\times5^2$\\
{\bf B~:}
M$=2^5\times 3\times 5^2$\\
{\bf C~:}
PGCD(N,M)$=120$\\
{\bf D~:}
PPCM(N,M)$=8400$\\
{\bf E~:}
Tous les entiers compris entre $1$ et $10$ sont diviseurs communs de N
et M, sauf $7$
}\end{exo}
%------------------------------------
\begin{exo}{\rm
%--- QCM IUFM p. 24
Parmi les phrases suivantes, laquelle (lesquelles) est (sont)
vraie(s)~?
\begin{enumerate}
\item
Si un nombre est divisible par $9$, alors il est divisible par
$6$.
\item
Si un nombre est divisible par $100$, alors il est divisible par
$25$. 
\item
Si un nombre est divisible par $2$ et par $3$, alors il est divisible
par $12$.
\item
Si un nombre est divisible par $10$ et par $12$, alors il estdivisible
par $15$.
\item
Si un nombre est divisible par $6$, par $8$ et par $9$, il est
divisible par $48$.
\end{enumerate}
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
Le nombre $\displaystyle{\frac{8^3}{2^5}}$ est \'egal \`a~:\\
{\bf A~:}
$\displaystyle{=\frac{1}{4^2}}$\qquad
{\bf B~:}
$2^3$\qquad
{\bf C~:}
$2^4$\qquad
{\bf D~:}
$4$\qquad
{\bf E~:}
$4^2$
}\end{exo}
%------------------------------------
\begin{exo}{\rm
%--- QCM IUFM p. 234
Parmi les affirmations suivantes, une seule est fausse. Laquelle~?\\
En \'ecrivant cinq nombres entiers cons\'ecutifs, on \'ecrit~:
\begin{enumerate}
\item
au moins deux multiples de 2,
\item
au plus trois nombres pairs,
\item
au moins deux multiples de 3,
\item
exactement un multiple de 5.
\end{enumerate}
}\end{exo}
%------------------------------------
\begin{exo}{\rm
%--- QCM IUFM p. 263
On veut constituer la somme exacte de 59 euros seulement \`a l'aide de
pi\`eces de 2 euros et de billets de 5 euros. Parmi les affirmations
suivantes, lesquelles sont fausses~?
\begin{enumerate}
\item
il y a au plus 22 pi\`eces de 2 euros
\item
il y a au moins un billet de 5 euros
\item
il peut y avoir exactement 12 pi\`eces de 2 euros
\item
il peut y avoir un nombre pair de billets de 5 euros
\item
il peut y avoir 10 pi\`eces de 2 euros.
\end{enumerate}
}\end{exo}
%------------------------------------
\begin{exo}{\rm
%--- QCM IUFM p. 265
Dans un lyc\'ee il y a entre 500 et 1000 \'el\`eves. Le proviseur a
remarqu\'e qu'en les r\'epartissant en groupes de 18, 20 ou 24, il
reste toujours 9 \'el\`eves. Quel est le nombre d'\'el\`eves~?
\begin{enumerate}
\item
$609$
\item
$709$
\item
$729$
\item
$809$
\item
$849$
\end{enumerate}
}\end{exo}
%------------------------------------
\begin{exo}{\rm
%--- QCM IUFM p. 21
La somme $99-97+95-93+\cdots+3-1$ est \'egale \`a~:
\begin{enumerate}
\item
$48$
\item
$64$
\item
$32$
\item
$50$
\item
$0$
\end{enumerate}
}\end{exo}
%-----------------------------------
%-----------
\subsection{Nombres rationnels}
%-----------
%------------------------------------
\begin{exo}{\rm
%--- QCM IUFM p. 238
Par quel nombre faut-il diviser trois et demi pour obtenir trois demis~?
}\end{exo}
%------------------------------------
\begin{exo}{\rm
%--- QCM IUFM p. 218
Le nombre 3,181818\ldots (la p\'eriode $18$ se r\'ep\`ete
ind\'efiniment) est~:
\begin{enumerate}
\item
rationnel
\item
d\'ecimal
\item
\'egal \`a $\frac{35}{11}$
\item
\'egal \`a $\frac{318}{100}$
\item
\'egal \`a $\frac{3181818}{1~000~000}$
\end{enumerate}
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
On note N=0,45454545\ldots (la p\'eriode 45 se r\'ep\`ete ind\'efiniment).\\
{\bf A~:}
N est un nombre d\'ecimal\\[1ex]
{\bf B~:}
N est un nombre rationnel\\[1ex]
{\bf C~:}
N$\displaystyle{=\frac{45}{101}}$\\[1ex]
{\bf D~:}
N$\displaystyle{=\frac{5}{11}}$\\[1ex]
{\bf E~:}
N$\displaystyle{=\frac{4545}{10^4}}$
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
On note N=0,54545454\ldots (la p\'eriode 54 se r\'ep\`ete ind\'efiniment).\\
{\bf A~:}
N est un nombre d\'ecimal\\[1ex]
{\bf B~:}
N est un nombre rationnel\\[1ex]
{\bf C~:}
N$\displaystyle{=\frac{54}{101}}$\\[1ex]
{\bf D~:}
N$\displaystyle{=\frac{6}{11}}$\\[1ex]
{\bf E~:}
N$\displaystyle{=\frac{5454}{10^4}}$
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
On note N$\displaystyle{=\frac{147}{75}}$.\\[1ex]
{\bf A~:}
N est un nombre d\'ecimal\\[1ex]
{\bf B~:}
N$\displaystyle{=1+\frac{9}{10}+\frac{6}{100}}$\\[1ex]
{\bf C~:}
N$\displaystyle{=19+\frac{6}{10}}$\\[1ex]
{\bf D~:}
N$\displaystyle{=\frac{1470}{7500}}$\\[1ex]
{\bf E~:}
N n'est pas un nombre rationnel
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
On note N$\displaystyle{=\frac{174}{75}}$.\\[1ex]
{\bf A~:}
N est un nombre d\'ecimal\\[1ex]
{\bf B~:}
N$\displaystyle{=2+\frac{3}{10}+\frac{2}{100}}$\\[1ex]
{\bf C~:}
N$\displaystyle{=23+\frac{2}{10}}$\\[1ex]
{\bf D~:}
N$\displaystyle{=\frac{1740}{7500}}$\\[1ex]
{\bf E~:}
N n'est pas un nombre rationnel
}\end{exo}
%-----------
\subsection{Puissances de $10$}
%-----------
%------------------------------------
\begin{exo}{\rm
%--- QCM IUFM p. 255
Le nombre $0,000~000~095~0$ peut encore s'\'ecrire~:
\begin{enumerate}
\item
$0,095\times 10^{-6}$.
\item
$95\times 10^{-9}$.
\item
$9,5\times 10^{-8}$.
\item
$950\times 10^{-11}$.
\item
$0,95\times 10^{-6}$.
\end{enumerate}
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
Le nombre $0,\!000\,000\,052\,36$ peut encore s'\'ecrire~:\\
{\bf A~:}
$5236\,10^{-10}$\\
{\bf B~:}
$52,\!36\,10^{-9}$\\
{\bf C~:}
$0,\!5236\,10^{-8}$\\
{\bf D~:}
$5,\!236\,10^{-9}$\\
{\bf E~:}
$523,\!6\,10^{-10}$
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
Le nombre $0,\!000\,000\,036\,52$ peut encore s'\'ecrire~:\\
{\bf A~:}
$3652\,10^{-10}$\\
{\bf B~:}
$36,\!52\,10^{-9}$\\
{\bf C~:}
$0,\!3652\,10^{-8}$\\
{\bf D~:}
$3,\!652\,10^{-9}$\\
{\bf E~:}
$365,\!2\,10^{-10}$
}\end{exo}
%------------------------------------
\begin{exo}{\rm
%--- QCM IUFM p. 256
Le r\'esultat de l'op\'eration $10^{20}-25~000$ est un nombre \`a $20$
chiffres. Quelle est la somme de ces $20$ chiffres~?
}\end{exo}

%------------------------------------
\begin{exo}{\rm
%--- QCM IUFM p. 216
Dix mille c'est (une ou plusieurs r\'eponses)~:
\begin{enumerate}
\item
le dix milli\`eme d'un milliard,
\item
le milli\`eme d'un milliard,
\item
le centi\`eme d'un million,
\item
cent mille fois un dix milli\`eme,
\item
un million de fois dix milli\`emes.
\end{enumerate}
}\end{exo}
%------------------------------------
\begin{exo}{\rm
%--- QCM IUFM p. 219
Parmi les \'ecritures suivantes, indiquez celles qui correspondent au
nombre trente milliards trois cent mille.
\begin{enumerate}
\item
$30~000~030~000$.
\item
$30~000~300~000$.
\item
$3~000~300~000$.
\item
$300,003\times 10^8$.
\item
$300,003\times 10^5$.
\end{enumerate}
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
Le r\'esultat de l'addition $3,\!58\,10^{-4}+4,\!62\,10^{-3}$ est~:\\
{\bf A~:}
$0,\!00082$~~~
{\bf B~:}
$49,\!78\,10^{-4}$~~~
{\bf C~:}
$4,\!042\,10^{-3}$~~~
{\bf D~:}
$0,004978$~~~
{\bf E~:}
$0,\!004042$
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
Le r\'esultat de l'addition $4,\!62\,10^{-4}+3,\!58\,10^{-3}$ est~:\\
{\bf A~:}
$0,\!00082$~~~
{\bf B~:}
$49,\!78\,10^{-4}$~~~
{\bf C~:}
$4,\!042\,10^{-3}$~~~
{\bf D~:}
$8,\!2\,10^{-4}$~~~
{\bf E~:}
$0,\!004042$
}\end{exo}
%------------------------------------
%-----------
\subsection{Bases de num\'eration}
%-----------
\begin{exo}{\rm
%--- QCM IUFM p. 23
On donne quelques exemples de nombres et de fractions (\'ecrits en
base 10, avec leur codage en base 2.
$$
1 = \overline{1}\,,\;
2 = \overline{10}\,,\;
3 = \overline{11}\,,\;
4 = \overline{100}\,,\;
\frac{1}{2} = \overline{0,1}\,,\;
\frac{1}{4} = \overline{0,01}\,,\;
\frac{1}{8} = \overline{0,001}\,.
$$
Parmi les \'egalit\'es suivantes, laquelle (lesquelles) est (sont)
vraie(s)~? 
\begin{enumerate}
\item
$\overline{11,01}=\frac{13}{4}\,.$
\item
$\overline{100,10}=4,2\,.$
\item
$\overline{100,001}=4,025\,.$
\item
$\overline{100,001}=4,25\,.$
\item
$\overline{10}+\overline{11}=4\,.$
\end{enumerate}
}\end{exo}
%------------------------------------
\begin{exo}{\rm
%--- QCM IUFM p. 218
Soit le nombre $N$ dont l'\'ecriture en base $2$ est $11111$. Comment
s'\'ecrit-il en base $4$~?
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
Le nombre 73 s'\'ecrit~:\\
{\bf A~:}
$\overline{10101}$ en base 2\\
{\bf B~:}
$\overline{10101}$ en base 4\\
{\bf C~:}
$\overline{111}$ en base 8\\
{\bf D~:}
$\overline{11}$ en base 16\\
{\bf E~:}
$\overline{49}$ en base 16
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
Le nombre 273 s'\'ecrit~:\\
{\bf A~:}
$\overline{1001001}$ en base 2\\
{\bf B~:}
$\overline{10101}$ en base 4\\
{\bf C~:}
$\overline{10101}$ en base 8\\
{\bf D~:}
$\overline{11}$ en base 16\\
{\bf E~:}
$\overline{111}$ en base 16
}\end{exo}
%-----------
\subsection{Proportions}
%-----------
\begin{exo}{\rm
%--- Ann IUFM p. 85
Il y a autant d'\'etudiants que d'\'etudiantes inscrits \`a un cours~;
88\% des \'etudiantes assistent au cours alors que 28\% des
\'etudiants s\`echent. Quelle est la proportion d'\'etudiantes 
en cours~?
}\end{exo}
%-----------
\begin{exo}{\rm
%--- QCM IUFM p. 16
Lors d'un concours, le nombre de candidats a augment\'e de 32\% par
rapport \`a l'ann\'ee derni\`ere. L'ann\'ee derni\`ere, il y avait
55\% de femmes parmi les candidats~; cette ann\'ee, 50\% seulement.
Parmi les phrases suivantes, laquelle est vraie~?
\begin{enumerate}
\item
le nombre de femmes a baiss\'e de 5\%,
\item
le nombre de femmes a augment\'e de 32\%,
\item
le nombre de femmes est rest\'e constant,
\item
le nombre de femmes a augment\'e de 11\%,
\item
le nombre de femmes a augment\'e de 20\%.
\end{enumerate}
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
Pendant les soldes de janvier, un commer\c{c}ant effectue un 
rabais de 20\% sur les prix de d\'ecembre,
tout en vendant au m\^eme prix qu'en 
septembre. En d\'ecembre il a ~:\\
{\bf A~:}
augment\'e ses prix de 20\%\\
{\bf B~:}
multipli\'e ses prix par 1,4\\
{\bf C~:}
divis\'e ses prix par 0,8\\
{\bf D~:}
augment\'e ses prix de 25\%\\
{\bf E~:}
divis\'e ses prix par 0,75
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
Pendant les soldes de janvier, un commer\c{c}ant effectue un 
rabais de 25\% sur les prix de d\'ecembre,
tout en vendant au m\^eme prix qu'en 
septembre. En d\'ecembre il a ~:\\
{\bf A~:}
augment\'e ses prix de 25\%\\
{\bf B~:}
multipli\'e ses prix par 1,4\\
{\bf C~:}
divis\'e ses prix par 0,75\\
{\bf D~:}
augment\'e ses prix de 40\%\\[1ex]
{\bf E~:}
multipli\'e ses prix par $\displaystyle{\frac{4}{3}}$
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
Augmenter un prix de 200\% revient \`a~:\\
{\bf A~:}
lui ajouter 200 euros\\
{\bf B~:}
lui ajouter 3 fois son prix\\
{\bf C~:}
le multiplier par 2\\
{\bf D~:}
le multiplier par 3\\
{\bf E~:}
lui ajouter 2 fois son prix
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
Augmenter un prix de 300\% revient \`a~:\\
{\bf A~:}
lui ajouter 300 euros\\
{\bf B~:}
lui ajouter 3 fois son prix\\
{\bf C~:}
le multiplier par 3\\
{\bf D~:}
le multiplier par 4\\
{\bf E~:}
lui ajouter 2 fois son prix
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
Dans une chorale, il y avait autant de filles que de gar\c{c}ons. 
A No\"el, 12\% des filles et 28\% des gar\c{c}ons ont d\'ecid\'e de 
quitter la chorale. La nouvelle proportion des filles dans la chorale
est de~:
\\
{\bf A~:} 52,5\%
\qquad
{\bf B~:} 60\%
\qquad
{\bf C~:} $\displaystyle{\frac{44}{80}}$
\qquad
{\bf D~:} $\displaystyle{\frac{28}{50}}$
\qquad
{\bf E~:} 55\%
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
Dans une chorale, il y avait autant de filles que de gar\c{c}ons. 
A No\"el, 10\% des filles et 30\% des gar\c{c}ons ont d\'ecid\'e de 
quitter la chorale. La nouvelle proportion des filles dans la chorale
est de~:
\\
{\bf A~:} 56,25\%
\qquad
{\bf B~:} 60\%
\qquad
{\bf C~:} $\displaystyle{\frac{9}{16}}$
\qquad
{\bf D~:} $\displaystyle{\frac{2}{3}}$
\qquad
{\bf E~:} $66,\!66$\%
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
%--- Ann IUFM p. 48
Sur une carte, on mesure la distance Bordeaux-St Jean de Luz, on
trouve 40 cm et on lit sur la carte 200 km. Quelle est l'\'echelle de
la carte~?
}\end{exo}
%------------------------------------
\begin{exo}{\rm
%--- QCM IUFM p. 281
Si on lit sur une carte ``1cm pour 2km'', quelle est l'\'echelle de
cette carte~?
}\end{exo}
%------------------------------------
\begin{exo}{\rm
%--- QCM IUFM p. 281
Sur un plan cadastral \`a l'\'echelle 1/2500, un terrain est
repr\'esent\'e par un rectangle de 64 mm par 48 mm. Quelle est la
surface de ce terrain~?
}\end{exo}
%------------------------------------
\begin{exo}{\rm
%--- QCM IUFM p. 281
La tour Eiffel mesure 300 m de haut et p\`ese 8000 tonnes. Si on
r\'ealise une reproduction exacte dans le m\^eme m\'etal et pesant 1
kg, quelle sera la hauteur de cette reproduction~?
}\end{exo}

%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
%--- Ann IUFM p. 52
Avant les f\^etes de No\"el, un article est vendu au m\^eme prix dans
deux magasins diff\'erents. Au mois de janvier, cet article subit deux
r\'eductions successives de 10\% dans le premier magasin tandis qu'il
subit une r\'eduction de 15\% puis de 5\% dans le deuxi\`eme. Dans
quel magasin est-il le plus cher~?
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
%----------------------
Aux Etats-Unis, la consommation des voitures se mesure en ``miles par
gallon'' (nombre de miles parcourus pour un gallon de carburant). Un
mile vaut 1,6 km, et un gallon 3,8 litres. Quelle est la consommation
d'une voiture qui parcourt 20 miles par gallon, en litres aux 100 km~?
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
%--- Ann IUFM p. 104
Combien de temps une balle de tennis se d\'epla\c{c}ant \`a 180 km/h
met-elle pour traverser les 25 m\`etres d'un court de tennis~?
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
%-----------------
Aux derniers jeux olympiques, on a vu des nageuses avec des ongles de
plus de 1cm. Le temps qu'elles gagnent en touchant avec la pointe de
l'ongle est-il n\'egligeable~?
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
%--- Ann IUFM p. 35
Je monte \`a vitesse r\'eguli\`ere, une c\^ote \`a v\'elo, et
j'observe que je parcours environ 100 m\`etres toutes les 40
secondes. Quelle est ma vitesse moyenne en km/h~?
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
Je fais en marchant des pas de $1$ m\`etre, \`a raison de $7$ pas toutes
les 4 secondes. Ma vitesse est de~:\\
{\bf A~:}
$10,\!5$ m\`etres par minute\\
{\bf B~:}
$1,\!5$ d\'ecam\`etres par seconde\\
{\bf C~:}
$6$ kilom\`etres par heure\\
{\bf D~:}
$1,\!05$ hectom\`etre par minute\\
{\bf E~:}
$6,\!3$ kilom\`etre par heure
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
Je fais en marchant des pas de $120$ centim\`etres, \`a raison de 4 pas toutes
les 3 secondes. Ma vitesse est de~:\\
{\bf A~:}
$9,\!6$ m\`etres par minute\\
{\bf B~:}
$1,\!6$ d\'ecam\`etres par seconde\\
{\bf C~:}
$6$ kilom\`etres par heure\\
{\bf D~:}
$0,\!96$ hectom\`etre par minute\\
{\bf E~:}
$5,\!76$ kilom\`etre par heure
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
%--- QCM IUFM p. 264
Une carafe contient un litre, plus une demi-carafe. Quelle est sa
contenance, en litres~?
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
%--- QCM IUFM p. 391
On m\'elange 3 kg de caf\'e \`a $\frac{2}{3}$ d'Arabica, avec 7 kg de
caf\'e \`a $\frac{4}{5}$ d'Arabica. Quelle proportion d'Arabica
contient le m\'elange~?
}\end{exo}
%------------------------------------
\begin{exo}{\rm
%--- QCM IUFM p. 265
Lors d'une course d'endurance dont le d\'epart a \'et\'e donn\'e une
demi-heure avant midi, le dernier coureur est arriv\'e \`a
16h15mn. Sachant que le vainqueur de la course a mis 3 fois moins de
temps que le dernier, quelle \'etait son heure d'arriv\'ee~?
}\end{exo}
%------------------------------------
\begin{exo}{\rm
%--- QCM IUFM p. 263
On dispose d'un c\^able et d'une cisaille permettant de couper une
seule \'epaisseur de cable \`a chaque fois. Il faut 12 secondes pour
couper un c\^able en 4 morceaux. Combien faut-il de temps pour le
couper en 16 morceaux~?
}\end{exo}
%------------------------------------
\begin{exo}{\rm
%--- QCM IUFM p. 269
Il faut 12 minutes \`a 8 peintres pour peindre 16 m$^2$ de
fa\c{c}ade. Combien de temps $9$ peintres mettront-ils pour peindre
111 m$^2$~? 
}\end{exo}
%------------------------------------
\begin{exo}{\rm
%--- QCM IUFM p. 270
Trois personnes mettent 9h45 mn pour effectuer un travail. Combien 5
personnes travaillant dans les m\^emes conditions auraient-elles mis
de temps pour effectuer le m\^eme travail~?
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
%--- Ann IUFM p. 31
Un bateau, avec un \'equipage de 36 hommes, a des vivres pour 16
jours. Il recueille 12 naufrag\'es.
\begin{enumerate}
\item
Si l'on ne r\'eduit pas les rations, de combien de jours le bateau
dispose-t-il encore de vivres~?
\item
Dans quelle proportion faudra-t-il r\'eduire les rations pour qu'on
puisse les distribuer pendant 2 jours de plus~?
\end{enumerate}
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
%--- Ann IUFM p. 32
Deux d\'epartements sont \'egalement peupl\'es et forment une
r\'egion. Dans un d\'epartement il y a une voiture pour 4
habitants. Dans le d\'epartement voisin, il y en a une pour 12
habitants. Combien de voitures par habitant compte-t-on dans la r\'egion~?
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
%--- Ann IUFM p. 31
Albert est enrhum\'e. Il utilise des mouchoirs de 25cm de c\^ot\'e. En
huit jours, il a utilis\'e 3 m$^2$ de tissu. Combien a-t-il, en
moyenne, utilis\'e de mouchoirs par jour~? 
}\end{exo}
%-----------
\subsection{Suites g\'eom\'etriques}
%-----------
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
%--- Ann IUFM p. 32
Il faut juxtaposer 2 feuilles au format A4, suivant une de leurs
longueurs pour obtenir une feuille au format A3. En faisant de m\^eme
avec 2 feuilles au format A3, on obtient une feuille au format A2. En
continuant ainsi encore 2 fois, on arrive au format A0. Une feuille au
format A0 a une aire de 1m$^2$. Quelle surface obtient-on en
juxtaposant les 500 feuilles d'une ramette au format A4~?
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
%--- Ann IUFM p. 32
Supposons que dans un pays imaginaire, le taux d'inflation soit de
10\% par an. Combien d'ann\'ees faut-il pour atteindre le taux de
100\%~? Au bout de combien d'ann\'ees le co\^ut de la vie aura-t-il
tripl\'e~? 
}\end{exo}

%--------------------------------------------------------------------------
\section{Equations, in\'equations, syst\`emes}
%-----------------------------------
%-----------
\subsection{Equations}
%-----------
\begin{exo}{\rm
%--- Ann IUFM p. 34
On choisit un nombre, on le divise par 5. On additionne 3,4 au
quotient obtenu, puis on multiplie cette somme par 10. On obtient
51,6. Quel \'etait le nombre de d\'epart~?
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
On remplit deux r\'eservoirs avec $228$ litres d'eau. L'un des deux
r\'eser\-voirs contient le triple de l'autre. La capacit\'e du plus
petit r\'eservoir est~:\\
{\bf A~:}
57 litres\\
{\bf B~:}
7,6 d\'ecalitres\\
{\bf C~:}
5,7 d\'ecilitres\\
{\bf D~:}
0.76 hectolitre\\
{\bf E~:}
0,57 hectolitre
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
On remplit deux r\'eservoirs avec $228$ litres d'eau. L'un des deux
r\'eser\-voirs contient le double de l'autre. La capacit\'e du plus
petit r\'eservoir est~:\\
{\bf A~:}
114 litres\\
{\bf B~:}
7,6 d\'ecalitres\\
{\bf C~:}
11,4 d\'ecilitres\\
{\bf D~:}
0.76 hectolitre\\
{\bf E~:}
1,14 hectolitre
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
Un terrain rectangulaire a 169 m\`etres de p\'erim\`etre. Sa largeur
repr\'e\-sente les $\displaystyle{\frac{4}{9}}$ de sa longueur. 
\\
{\bf A~:}
sa largeur est 52 m\`etres\\
{\bf B~:}
sa largeur est 2,6 d\'ecam\`etres\\
{\bf C~:}
sa longueur est 58 m\`etres\\
{\bf D~:}
sa longueur est 117 m\`etres\\
{\bf E~:}
sa longueur est 0,585 hectom\`etre
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
Un terrain rectangulaire a 165 m\`etres de p\'erim\`etre. Sa largeur
repr\'e\-sente les $\displaystyle{\frac{4}{7}}$ de sa longueur. 
\\
{\bf A~:}
sa largeur est 60 m\`etres\\
{\bf B~:}
sa largeur est 3 d\'ecam\`etres\\
{\bf C~:}
sa longueur est 5,2 d\'ecam\`etres\\
{\bf D~:}
sa longueur est 26,25 m\`etres\\
{\bf E~:}
sa longueur est 0,525 hectom\`etre
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
Deux robinets alimentent un r\'eservoir. Coulant s\'epar\'ement, le
premier le remplirait en 4 heures, le second en trois heures. Les deux
robinets coulant ensemble remplissent le bassin en~:\\
{\bf A~:}
2 heures\\[1ex]
{\bf B~:}
$\displaystyle{\frac{7}{12}}$ d'heure\\[1ex]
{\bf C~:}
$\displaystyle{\frac{12}{7}}$ d'heure\\[1ex]
{\bf D~:}
$35$ minutes\\[1ex]
{\bf E~:}
1heure 42 minutes et $51,\!43$ secondes
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
Deux robinets alimentent un r\'eservoir. Coulant s\'epar\'ement, le
premier le remplirait en 2 heures, le second en trois heures. Les deux
robinets coulant ensemble remplissent le bassin en~:\\
{\bf A~:}
1 heure 30 minutes\\[1ex]
{\bf B~:}
$\displaystyle{\frac{6}{5}}$ d'heure\\[1ex]
{\bf C~:}
$\displaystyle{\frac{5}{6}}$ d'heure\\[1ex]
{\bf D~:}
$50$ minutes\\[1ex]
{\bf E~:}
1heure 12 minutes
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
%--- Ann IUFM p. 143
Deux \^iles sont distantes de 200 km. A 10 h, un b\^ateau part de la
premi\`ere et se dirige vers la seconde, \`a la vitesse constante de
20 km/h. A 11h, un autre bateau part de la seconde et se dirige vers
la premi\`ere, \`a la vitesse constante de 40 km/h. A quelle heure se
croiseront-ils~?
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
%--- Ann IUFM p. 31
Deux chandelles ont m\^eme longueur. L'une se consume en 4 heures,
l'autre en 5 heures. On allume ces chandelles en m\^eme temps. Quelle
dur\'ee (en heures, minutes et secondes), 
faut-il pour que l'une d'entre elles
soit trois fois plus longue que l'autre~?
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
%--- Ann IUFM p. 96
Trois fontaines alimentent un bassin. Coulant s\'epar\'ement, la
premi\`ere le remplirait en 3 heures, la seconde en 5 heures et la
troisi\`eme en 6 heures. Si les 3 fontaines coulent ensemble, combien
de temps faut-il pour remplir le bassin 
(en heures, minutes et secondes)~?
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
%--- Ann IUFM p. 32
Un b\^ucheron fou veut raser une for\^et de dix mille arbres. Chaque
ann\'ee, il coupe cinquante arbres de plus que l'ann\'ee
pr\'ec\'edente. Au bout de 10 ans, il a ras\'e la for\^et. Combien
d'arbres a-t-il d\^u couper la premi\`ere ann\'ee pour parvenir \`a ce
r\'esultat d\'esastreux~?
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
%--- Ann IUFM p. 32
La masse d'un pot rempli de miel est 500 grammes. La masse du m\^eme
pot rempli de p\'etrole est 350 grammes. Sachant que le miel est deux
fois plus dense que le p\'etrole, quelle est la masse du pot vide~?
}\end{exo}
%-----------------------------------
%-----------
\subsection{Syst\`emes}
%-----------
\begin{exo}{\rm
%--- Ann IUFM p. 34
Dans un troupeau de chameaux et de dromadaires, on compte 36 bosses et
84 pattes. Combien y a-t-il de chameaux et de dromadaires~?
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
%--- QCM IUFM p. 270
On m\'elange deux caf\'es, de l'Arabica \`a $6,\!40$ euros le kg et du
Robusta \`a $9,\!60$ euros le kg. Quelles devront \^etre les proportions
du m\'elange pour que le kilogramme de m\'elange revienne \`a $8,\!80$ euros~?
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
%--- Ann IUFM p. 31
Deux gamins discutent de leurs jeux videos. L'un dit~: ``Si tu m'en
donnes un, j'en aurai autant que toi. Mais si je t'en donne un, tu en
auras deux fois plus que moi.'' Combien de jeux ont-ils~?
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
%--- Ann IUFM p. 142
Avant de boire, un chameau est constitu\'e de 84\% d'eau. Une fois
qu'il  a bu, il est constitu\'e de 85\% d'eau et p\`ese 800 kg. Combien
pesait-il avant de boire~?
}\end{exo}
%-----------------------------------
%-----------
\subsection{In\'equations}
%-----------
%------------------------------------
\begin{exo}{\rm
%--- QCM IUFM p. 225
Parmi les in\'egalit\'es suivantes, lesquelles sont vraies~?
\begin{enumerate}
\item
$\frac{2}{3}\geq 0,\!667$.
\item
$0,\!349>0,\!48$.
\item
$-7,\!3>-7,\!1$.
\item
$\frac{3}{5}<\frac{2}{3}$.
\item
$\frac{1}{8}<\frac{1}{9}$.
\end{enumerate}
}\end{exo}
%------------------------------------
\begin{exo}{\rm
%--- QCM IUFM p. 225
Ranger les 5 fractions suivantes par ordre croissant~:
$$
\frac{193}{195}\,,\;
\frac{191}{193}\,,\;
\frac{197}{199}\,,\;
\frac{195}{197}\,,\;
\frac{189}{191}\,.
$$
}\end{exo}
%------------------------------------
\begin{exo}{\rm
%--- QCM IUFM p. 225
Ranger les 5 fractions suivantes par ordre croissant~:
$$
\frac{10}{6}\,,\;
\frac{100}{61}\,,\;
\frac{101}{60}\,,\;
\frac{101}{61}\,.
$$
}\end{exo}
%------------------------------------
\begin{exo}{\rm
%--- QCM IUFM p. 225
(Vrai ou Faux~?)~: Parmi les fractions
$\frac{7}{8},\frac{40}{10},\frac{21}{7}, \frac{4003}{1001},
\frac{15}{3}, \frac{14}{4}, \frac{20}{10}, \frac{8}{2},
\frac{320}{100}$~: 
\begin{enumerate}
\item
cinq repr\'esentent des entiers,
\item
trois sont \'egales
\item
cinq sont sup\'erieures \`a $\frac{10}{3}$,
\item
deux sont inf\'erieures \`a $1$,
\item
quatre repr\'esentent des d\'ecimaux.
\end{enumerate} 
}\end{exo}
%------------------------------------
\begin{exo}{\rm
%--- QCM IUFM p. 226
Parmi les nombres qui suivent, quels sont ceux qui sont strictement
compris entre $\frac{3445}{1000}$ et $\frac{345}{100}$~?
\begin{enumerate}
\item
$34,\!46$,
\item
$\frac{69}{20}$,
\item
$3,\!448$,
\item
$\frac{6890}{1999}$,
\item
$3,\!45-\frac{1}{100}$.
\end{enumerate}
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
On note $a=\displaystyle{\frac{2}{5}}$,
$b=\displaystyle{\frac{1}{3}}$,
$c=\displaystyle{\frac{5}{12}}$,
$d=\displaystyle{\frac{7}{15}}$ et $e=0,\!41$. Alors~:\\[1ex]
{\bf A~:}
$a<b<e$\qquad
{\bf B~:}
$e<c<d$\qquad
{\bf C~:}
$b<c<e$\qquad
{\bf D~:}
$a<e<c$\qquad
{\bf E~:}
$a<d<e$
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
On note $a=\displaystyle{\frac{3}{5}}$,
$b=\displaystyle{\frac{5}{9}}$,
$c=\displaystyle{\frac{5}{8}}$,
$d=\displaystyle{\frac{2}{3}}$ et $e=0,\!61$. Alors~:\\[1ex]
{\bf A~:}
$a<b<e$\qquad
{\bf B~:}
$e<c<d$\qquad
{\bf C~:}
$b<c<e$\qquad
{\bf D~:}
$a<e<c$\qquad
{\bf E~:}
$a<d<e$
}\end{exo}
%------------------------------------
\begin{exo}{\rm
%--- Ann IUFM p. 33
Bernard, le fils d'Antoine, a dix ans. Emile, le cousin d'Antoine, a
quinze ans de plus que son ami Laurent. Alain, l'associ\'e d'Antoine,
a six ans de moins que lui et six ans de plus qu'Emile. A la naissance
de Bernard, Laurent avait l'\^age que Bernard a aujourd'hui. Quel
\^age a Antoine~?
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
%--- Ann IUFM p. 144
M et Mme Martin ont 5 enfants. Baptiste est n\'e avant Adeline, qui
est situ\'ee en \^age entre Corentin et Elise. Doroth\'ee est plus
\^ag\'ee que Corentin. Elise est plus jeune que Corentin, elle est
n\'ee apr\`es Baptiste. Qui est le plus jeune~?
}\end{exo}
%--------------------------------------------------------------------------
\section{Ensembles et fonctions}
%-----------------------------------
%-----------
\subsection{Ensembles}
%-----------
\begin{exo}{\rm
%----------
Repr\'esenter sur un diagramme de Venn les ensembles suivants.
\begin{itemize}
\item Ensemble des quadrilat\`eres
\item Ensemble des trap\`ezes
\item Ensemble des parall\'elogrammes
\item Ensemble des rectangles
\item Ensemble des lozanges
\item Ensemble des carr\'es
\end{itemize}
Exprimer sous forme logique, puis ensembliste, les phrases
suivantes.
\begin{enumerate}
\item
Tout carr\'e est un rectangle.
\item
Tout rectangle qui est aussi un losange est un carr\'e.
\item 
Il existe des parall\'elogrammes qui ne sont pas des rectangles
\item
Il existe des quadrilat\`eres qui ne sont ni des rectangles, ni des losanges. 
\end{enumerate}
}\end{exo}
%-----------
\begin{exo}{\rm
%--------------
Soient $A$, $B$, $C$ trois ensembles. Exprimer les ensembles
correspondant aux propri\'et\'es suivantes.
\begin{enumerate}
\item
$x$ appartient aux trois.
\item
$x$ appartient au moins \`a l'un d'entre eux.
\item
$x$ appartient \`a deux d'entre eux au plus.
\item
$x$ appartient \`a l'un d'entre eux exactement.
\item
$x$ appartient \`a deux d'entre eux au moins.
\item
$x$ appartient \`a un d'entre eux au plus.
\end{enumerate}
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
%--------------
Soit $(A_n)_{n\in\sNN}$ une suite d'ensembles. Exprimer en fonction
des $A_n$ les ensembles correspondant aux propri\'et\'es suivantes.
\begin{enumerate}
\item
$x$ appartient \`a tous les $A_n$
\item
$x$ appartient au moins \`a l'un des $A_n$.
\item
$x$ appartient \`a aucun des $A_n$.
\item
$x$ appartient \`a l'un d'entre eux exactement.
\item
$x$ appartient \`a tous les $A_n$ \`a partir du $k$-i\`eme.
\item
$x$ appartient \`a tous les $A_n$ sauf peut-\^etre un nombre fini.
\item
$x$ appartient \`a tous les $A_n$ \`a partir d'un certain rang.
\end{enumerate}
}\end{exo}
%-----------
\begin{exo}{\rm
%--- MSM p. 149
(D'apr\`es Lewis Caroll). Parmi les combattants d'une grande bataille,
au moins 70\% ont perdu un \oe il, au moins 75\% une oreille, au
moins 80\% un bras, et au moins 85\% une jambe. Quelle est la
proportion minimale des combattants qui ont perdu les 4~?
}\end{exo}
%-----------
\begin{exo}{\rm
%--- MSM p. 150
Soient $A$, $B$ et $C$ trois sous-ensembles d'un ensemble $E$.
\begin{enumerate}
\item
Simplifier l'expression
$(A\cap B\cap C)\,\cup\,(\overline{A}\cap B\cap C)\,\cup \overline{B}
\cup \overline{C}$.
\item
V\'erifier que
$(A\setminus B)\setminus C = A\setminus(B\cup C) = (A\setminus
C)\setminus B$.
\item
V\'erifier que 
$(A\cup B \subset \overline{C})\,\wedge\, (A\cup C \subset B)
\Longleftrightarrow (A\subset B)\,\wedge\,(C= \emptyset)$.
\end{enumerate}
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
Soient $A, B, C$ trois sous-ensembles d'un ensemble $E$. L'ensemble\\ 
$((A\cup \overline{B})\cap \overline{C})\cup
((\overline{A}\cup \overline{C})\cap B)$ est~:\\
{\bf A~:}
\'egal \`a $E$\\
{\bf B~:}
inclus dans $A\cup B$\\
{\bf C~:}
inclus dans $\overline{C}\cup B$\\
{\bf D~:}
disjoint de $C$\\
{\bf E~:}
\'egal \`a $\overline{C}\cup(\overline{A}\cap B)$
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
Soient $A, B, C$ trois sous-ensembles d'un ensemble $E$. L'ensemble\\ 
$((A\cup B)\cap C)\cup
((A\cap B)\cap \overline{C})$ est~:\\
{\bf A~:}
\'egal \`a $E$\\
{\bf B~:}
inclus dans $A\cap B$\\
{\bf C~:}
inclus dans $A\cup B\cup C$\\
{\bf D~:}
disjoint de $C$\\
{\bf E~:}
\'egal \`a $(A\cap B)\cup(B\cap C)\cup(A\cap C)$
}\end{exo}
%-----------
\begin{exo}{\rm
%--- MSM p. 153
Un centre de langue propose des cours d'Albanais, de Bantou et de
Chinois. Sur les 93 \'etudiants, 54 \'etudient l'Albanais, 51 le
Bantou ou le Chinois, 27 le Chinois mais pas le Bantou, 3 ni
l'Albanais ni le Chinois, et 12 \'etudient les 3 langues. Combien
d'\'el\`eves \'etudient \`a la fois le Bantou et le Chinois~?
}\end{exo}
%-----------------------------------
%-----------
\subsection{Logique}
%-----------
\begin{exo}{\rm
%--- MSM p. 18
On note $\NN$ l'ensemble des entiers naturels, $P$ l'ensemble
des nombres premiers, et $I$ l'ensemble des nombres impairs. Soit
$D(x,y)$ la relation binaire ``$x$ divise $y$.
\begin{enumerate}
\item
Exprimer sous forme symbolique les phrases suivantes.
\begin{enumerate}
\item
Il existe un nombre pair distinct de $2$ et premier.
\item
Il existe un nombre pair qui divise tout nombre pair.
\item
Tout nombre impair divise un certain nombre pair
\end{enumerate}
\item
Donner la signification des expressions logiques suivantes.
\begin{enumerate}
\item
$\forall x\in P\,,\;\exists y\in\NN\,,\; D(x,y)\;.$
\item
$\forall x\in\NN\,,\; x\in I\Longrightarrow x\notin \overline{I}\;.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}\end{exo}
%-----------
\begin{exo}{\rm
%--- MSM p. 217
Trouver les valeurs de v\'erit\'e des phrases suivantes.
\begin{enumerate}
\item
Si Napol\'eon \'etait chinois, alors $3-2=2$.
\item
Soit les roses sont des animaux, soit les chiens ont 4 pattes.
\item 
Si l'homme est un quadrup\`ede, alors il aboie.
\item
Paris est en France ou Madrid est en Chine.
\item
La pierre ponce est un homme si et seulement si les femmes sont des
sardines.
\item
Ni les poiriers ne donnent des melons, ni Cl\'eop\^atre n'\'etait
chinoise.
\item
Il est faux que si les grenouilles n'aboient pas alors $3\times 2=7$.
\item
Si les champignons sont des animaux ou le Cid \'etait espagnol, la
longueur d'une circonf\'erence est le double de son rayon.
\item
La condition n\'ecessaire et suffisante pour que dans un jeu de 40
cartes il y ait 45 as est que le cuir soit v\'eg\'etal.
\end{enumerate}
}\end{exo}
%-----------
\begin{exo}{\rm
%--- MSM p. 217
Consid\'erons les trois propositions suivantes~:
\begin{itemize}
\item $P$~: je fume
\item $Q$~: je bois
\item $R$~: je mange du jambon
\item $S$~: j'ai des moustaches
\end{itemize}
Exprimer sous forme symbolique les phrases suivantes.
\begin{enumerate}
\item
Je fume et je bois, mais je n'ai pas de moustache
\item
Quand je fume, je ne bois pas
\item
Chaque fois que je mange du jambon, je ne fume pas mais je bois.
\item
De deux choses l'une~: soit je bois et je mange du jambon, soit si
j'ai une moustache alors je ne fume pas.
\item
Si je mange du jambon ou si je bois, alors je ne fume pas.
\end{enumerate}
En supposant que les valeurs de v\'erit\'e respectives $P$, $Q$ $R$,
$S$ sont $V, V, F, V$, trouver les valeurs de v\'erit\'e des phrases
pr\'ec\'edentes.  
}\end{exo}
%-----------
\begin{exo}{\rm
%--- MSM p. 301
V\'erifier que les raisonnements suivants sont corrects.
\begin{enumerate}
\item
Si je vais \`a Londres, j'irai aussi \`a Oxford. Soit je vais \`a
Londres, soit je d\'epense mon argent \`a autre chose. Si je vais \`a
Oxford, je verrai John. Si je d\'epense mon argent \`a autre chose, je
verrai John. Donc je verrai John.
\item
Si j'ai de l'argent ou si je bois du vin alors je chante en me rasant et je
suis content. Donc je n'ai pas d'argent ou bien je chante en
me rasant.
\item
Soit je mange, soit je bois, et si je mange je ne fume pas. Comme je
ne bois pas, je ne fume pas.
\item
Si Pierre est mari\'e, alors Jean est mari\'e, et si Jean est mari\'e,
alors Louis l'est aussi. De plus, soit Jean est c\'elibataire, soit il
est mari\'e et Louis est c\'elibataire. Donc Pierre est c\'elibataire.
\item
Si on ne danse pas, je m'asseois. Si je m'asseois, je bois et je
fume. Si on danse je m'amuse. Or je m'ennuie. Donc je fume.
\item
Si je ne m'asseois pas, je bois. Si je bois, on danse et de plus je
fume. Si je m'asseois, je m'amuse. Or je m'ennuie. Donc je fume.
\item
Si je marche, je sue. Si je ne me fatigue pas, je ne sue pas. Or je ne
me fatigue pas. Donc je ne marche pas.
\item
Si $A$ dit la v\'erit\'e, $B$ ment. Si $B$ ment, $C$ ment. Si $C$
ment, $D$ dit la v\'erit\'e. $D$ ment ou bien $E$ ment. $A$ ne ment
pas. Donc $E$ ment.
\end{enumerate}
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
Si je mange, alors je bois et je ne parle pas. 
Si je ne parle pas alors je m'ennuie. Je ne m'ennuie pas, donc~: \\
{\bf A~:}
je parle\\
{\bf B~:}
je ne parle pas\\
{\bf C~:}
je ne bois pas\\
{\bf D~:}
je ne bois pas et je ne mange pas\\
{\bf E~:}
je ne mange pas
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
Si je mange, alors je bois. Si je bois, alors je ne parle pas et je
suis content. Je ne suis pas content, donc~: \\
{\bf A~:}
je parle\\
{\bf B~:}
je ne bois pas\\
{\bf C~:}
je mange\\
{\bf D~:}
je ne bois pas et je ne parle pas\\
{\bf E~:}
je ne mange pas
}\end{exo}
%-----------
\begin{exo}{\rm
%--- Ann IUFM p. 86
Trois commer\c{c}ants  habitent dans 3 maisons situ\'ees aux num\'eros
 21, 23 et 25 de la m\^eme rue. Le boucher habite dans la maison
 jaune, qui est \`a c\^ot\'e de la rouge mais qui n'est pas \`a
 c\^ot\'e de la verte. L'\'epicier, qui n'est pas suisse, habite \`a
 c\^ot\'e du Fran\c{c}ais. L'Italien habite au num\'ero 21 et sa
 maison n'est pas jaune. Quelle est la nationalit\'e du pharmacien,
 quelle est la couleur de sa maison, et o\`u habite-t-il~?
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
%--- Ann IUFM p. 130
Trois personnes habitent dans 3 maisons situ\'ees aux num\'eros
 19, 21 et 23 de la m\^eme rue. Le policier habite au num\'ero 23 et
 sa maison n'est pas rouge. La maison rouge est \`a c\^ot\'e de la
 maison bleue mais pas \`a c\^ot\'e de la maison jaune. L'italien
 habite dans la maison rouge. Le Fran\c{c}ais, qui n'est pas berger,
 habite \`a c\^ot\'e de l'assassin. Quelle est la couleur de la maison
 de l'assassin et o\`u habite-t-il~?
}\end{exo}
%-----------------------------------
%-----------
\subsection{Fonctions}
%-----------
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
Les fonctions suivantes sont-elles d\'efinies sur l'ensemble des
\'etudiants inscrits cette ann\'ee \`a Paris 5~? 
Quel est leur ensemble d'arriv\'ee~? 
Sont elles injectives~? bijectives~? surjectives~?
\begin{enumerate}
\item
l'image d'un \'etudiant est son num\'ero de s\'ecurit\'e sociale
\item
l'image d'un \'etudiant est son num\'ero de carte d'\'etudiant
\item
l'image d'un \'etudiant est son \^age en ann\'ees au 1er janvier 2005.
\item
l'image d'un \'etudiant est le pr\'enom de sa m\`ere. 
\item
L'image d'un \'etudiant est l'\^age de son fr\`ere a\^\i n\'e.
\end{enumerate}
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
Les applications suivantes sont d\'efinies sur $\{0,1,2,3,4\}$, \`a
valeurs dans lui-m\^eme.
Repr\'esentez-les sur un diagramme. Lesquelles sont injectives~?
surjectives~? bijectives~?
\begin{enumerate}
\item
$f~:~x\mapsto x+1\mbox{ modulo } 5$
\item
$f~:~x\mapsto x+3\mbox{ modulo } 5$
\item
$f~:~x\mapsto x+10\mbox{ modulo } 5$
\item
$f~:~x\mapsto 2x\mbox{ modulo } 5$
\item
$f~:~x\mapsto 3x\mbox{ modulo } 5$
\item
$f~:~x\mapsto 10x\mbox{ modulo } 5$
\end{enumerate}
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
Les applications $f$ suivantes sont d\'efinies sur $\{0,1,2,3,4,5\}$, 
\`a valeurs dans lui-m\^eme.
Repr\'esentez-les sur un diagramme. Lesquelles sont injectives~?
surjectives~? bijectives~? Repr\'esentez le diagramme de $f\circ f$.
\begin{enumerate}
\item
$f~:~x\mapsto x+1\mbox{ modulo } 6$
\item
$f~:~x\mapsto x+3\mbox{ modulo } 6$
\item
$f~:~x\mapsto x+10\mbox{ modulo } 6$
\item
$f~:~x\mapsto 2x\mbox{ modulo } 6$
\item
$f~:~x\mapsto 3x\mbox{ modulo } 6$
\item
$f~:~x\mapsto 10x\mbox{ modulo } 6$
\end{enumerate}
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
L'application $f$ de $\{3,4,5,6,7\}$ dans $\{0,1,2,3\}$ qui \`a $x$
associe\\ 
$(3\times x \mbox{ modulo }4)$ est~:\\
{\bf A~:}
ni injective ni surjective\\
{\bf B~:}
injective\\
{\bf C~:}
surjective\\
{\bf D~:}
non injective\\
{\bf E~:}
bijective
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
L'application $f$ de $\{3,4,5\}$ dans $\{0,1,2,3\}$ qui \`a $x$
associe\\ 
$(3\times x \mbox{ modulo }4)$ est~:\\
{\bf A~:}
ni injective ni surjective\\
{\bf B~:}
injective\\
{\bf C~:}
surjective\\
{\bf D~:}
non surjective\\
{\bf E~:}
bijective
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
Les applications suivantes sont d\'efinies sur $\NN$, \`a
valeurs dans lui-m\^eme. Lesquelles sont injectives~?
surjectives~? bijectives~?
\begin{enumerate}
\item
$f~:~x\mapsto x+1$
\item
$f~:~x\mapsto 2x$
\item
$f~:~x\mapsto x^2$
\item
$f~:~x\mapsto x^3$
\end{enumerate}
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
Les applications suivantes sont d\'efinies sur $\RR$, \`a
valeurs dans lui-m\^eme. Repr\'esentez leur graphe.
Lesquelles sont injectives~?
surjectives~? bijectives~?
\begin{enumerate}
\item
$f~:~x\mapsto x+1$
\item
$f~:~x\mapsto 2x$
\item
$f~:~x\mapsto x^2$
\item
$f~:~x\mapsto x^3$
\item
$f~:~x\mapsto \sqrt{|x|}$
\item
$f~:~x\mapsto \frac{x}{\sqrt{|x|}}\mbox{ si }x\neq 0\,,\;f(0)=0$
\end{enumerate}
}\end{exo}
%-----------------------------------
%-----------
\subsection{Exponentielle et logarithme}
%-----------
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
Simplifier les expressions suivantes.
\begin{enumerate}
\item
$\exp(3\ln(2))$
\item
$\ln(\frac{e^4}{e^{2}})$
\item
$\ln(\frac{e^6}{e^3}e^{-2})$
\item
$\ln(4)+\ln(12)-2\ln(6)$
\item
$\ln(27)-2\ln(6)+\ln(4)$
\item
$\exp(2\ln(3)-3\ln(2))\exp(\ln(6)-\ln(\frac{1}{6}))$
\end{enumerate}
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
Calculer le logarithme n\'ep\'erien des nombres suivants en 
fonction de $\ln(2)$, $\ln(3)$ et $\ln(5)$. 
\begin{enumerate}
\item
$60$
\item
$300\,000$
\item
$0,\!000\,6$
\item
$0,\!000\,000\,24$
\item
$12960$
\item
$248832000$
\item
$0,\!0025$
\item
$30,\!375$
\item
$1,\!6666666\ldots$
\item
$111,\!1111111\ldots$
\end{enumerate}
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
Le nombre $\exp(\ln(18)-2\ln(8)+\ln(60))$ est \'egal \`a~: \\
{\bf A~:}
$\displaystyle{2^3\times  3^3\times 5}$\\[1ex]
{\bf B~:}
$16,\!875$\\[1ex]
{\bf C~:}
$40\times 27$\\[1ex]
{\bf D~:}
$\displaystyle{\frac{5}{8}\exp(2\ln(3))}$\\[1ex]
{\bf E~:}
$\displaystyle{\frac{3^3\times  5}{8}}$
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
Le nombre $\exp(\ln(8)+2\ln(18)-\ln(60))$ est \'egal \`a~: \\
{\bf A~:}
$\displaystyle{2^3\times  3^3\times 5}$\\[1ex]
{\bf B~:}
$43,\!2$\\[1ex]
{\bf C~:}
$40\times 27$\\[1ex]
{\bf D~:}
$\displaystyle{\frac{1}{5}\exp(3\ln(6))}$\\[1ex]
{\bf E~:}
$\displaystyle{\frac{2^7\times  3^3}{5}}$
}\end{exo}

%--------------------------------------------------------------------------
\section{D\'enombrements et probabilit\'es}
%-----------------------------------
%-----------
\subsection{D\'enombrements}
%-----------
\begin{exo}{\rm
%---------
Une entreprise veut se donner un nouveau sigle, qui soit form\'e
d'exacte\-ment 3 lettres. De combien de fa\c{c}ons peut-elle le faire~?
Combien reste-t-il de possibilit\'es si on impose au sigle d'\^etre
form\'e de lettres distinctes~?
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
%---------
On met dans une bo\^\i te 26 jetons de Scrabble, portant chacune des
lettres de l'alphabet. On en tire 3 \`a la fois. Combien de tirages
diff\'erents peut-on obtenir~? 
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
%---------
Dix personnes doivent s'asseoir autour d'une table circulaire. On
consid\`ere comme identiques deux dispositions dont l'une se d\'eduit
de l'autre par une rotation. Combien y a-t-il de dispositions
possibles~? Combien en reste-t-il si deux personnes donn\'ees refusent
d'\^etre assises \`a c\^ot\'e~?
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
%---------
Une association comprenant 20 membres dont 12 femmes et 8 hommes
d\'esire former un comit\'e de 5 personnes, dans lequel doivent se
trouver au moins deux hommes et deux femmes. Calculer de combien de
fa\c{c}ons on peut former ce comit\'e dans chacun des cas suivants.
\begin{enumerate}
\item
Chaque membre de l'association accepte d'en faire partie.
\item
Deux des femmes refusent d'en faire partie.
\item
Monsieur X et Madame Y refusent de si\'eger ensemble.
\end{enumerate}
}\end{exo}
%-----------
\subsection{Probabilit\'es combinatoires}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
%---------
On jette deux d\'es. Quelle est la probabilit\'e d'amener un total de
8 points~? M\^eme question avec 3 d\'es.
}\end{exo}
%-----------------------------------
%-----------
\begin{exo}{\rm
%---------
Pour jouer au Loto, vous cochez 6 num\'eros sur une grille qui en
comporte 49. Quelle est la probabilit\'e d'avoir les 6 bons
num\'eros~? Quelle est la probabilit\'e d'avoir au moins 3 bons
num\'eros~?
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
%---------
D'un jeu de 32 cartes, on en tire 8 au hasard. Quelle est la
probabilit\'e pour que parmi ces 8 cartes figurent~:
\begin{enumerate}
\item
2 as et 3 piques, dont l'as de pique,
\item
2 as et 3 piques, sans l'as de pique,
\item
2 as et 3 piques.
\end{enumerate}
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
%---------
Une main au Poker se compose de 5 cartes, choisies parmi 32. Quelle
est la probabilit\'e qu'une main contienne~:
\begin{enumerate}
\item
un carr\'e (4 cartes de la m\^eme hauteur)
\item
un full (2 cartes \`a une m\^eme hauteur et 3 \`a une autre).
\item
une double paire (2 cartes \`a une m\^eme hauteur et 2 \`a une autre).
\item
une suite (5 cartes dont les hauteurs se suivent, pas n\'ecessairement
\`a la m\^eme couleur).
\item
une couleur (5 cartes \`a la m\^eme couleur).
\item
une suite royale (5 cartes dont les hauteurs se suivent \`a la m\^eme
couleur). 
\end{enumerate}
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
%---------
Calculer la probabilit\'e que sur 25 personnes r\'eunies dans la
m\^eme salle, 2 d'entre elles au moins aient le m\^eme jour anniversaire.
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
%---------
Dans une loterie de 100 billets, deux d'entre eux sont
gagnants. Quelle est la probabilit\'e de gagner au moins un lot si on
prend 12 billets~? Combien faut-il prendre de billets pour que la
probabilit\'e de gagner au moins un lot d\'epasse $\frac{4}{5}$~?.
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
%---------
Quand un chasseur tire sur un lapin sans d\'efense, il le touche une
fois sur 10. Si 10 chasseurs tirent ind\'ependamment sur le m\^eme
lapin, quelle est la probabilit\'e que celui-ci conserve
l'\'etanch\'eit\'e de sa fourrure~? Quelle est la probabilit\'e qu'il
soit immangeable (s'il a \'et\'e touch\'e au moins 3 fois)~?.
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
Si vous choisissez deux lettres au hasard parmi les 5 lettres A,B,C,D,E\\
{\bf A~:}
vous avez 20 choix possibles\\
{\bf B~:}
vous avez 10 choix possibles\\
{\bf C~:}
vous avez 1 chance sur 5 d'avoir 1 point\\
{\bf D~:}
la probabilit\'e que vous ayez un point est 1/10\\
{\bf E~:}
vous avez la m\^eme probabilit\'e d'avoir un point que si vous
connaissiez une des deux affirmations vraies et si vous r\'epondiez au
hasard pour l'autre.
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
Si vous choisissez trois lettres diff\'erentes, 
au hasard parmi les 5 lettres A,B,C,D,E\\
{\bf A~:}
vous avez 10 choix possibles\\
{\bf B~:}
vous avez 15 choix possibles\\
{\bf C~:}
vous avez $5\times 4\times 3$ choix possibles\\
{\bf D~:}
la probabilit\'e que vous ayez une voyelle et deux consonnes est 0,3\\
{\bf E~:}
la probabilit\'e que vous ayez deux voyelles et une consonne est 0,3
}\end{exo}
%-----------------------------------
%--------------------------------------------------------------------------
\end{document}
%-----------
\subsection{Probabilit\'es conditionnelles}
%-----------
\begin{exo}{\rm
%---------
Deux personnes ayant assist\'e \`a un accident sont appel\'ees \`a
t\'emoigner. Il y a une chance sur deux pour que la premi\`ere donne
un t\'emoignage exact, une chance sur trois pour que la deuxi\`eme
donne un t\'emoignage exact, 22 chances sur 30 pour qu'au moins un des
deux t\'emoignages soit exact. Quelle est la probabilit\'e pour que
les deux t\'emoignages soient exacts~?.
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
%---------
Le quart d'une population a \'et\'e vaccin\'e contre une maladie. Au
cours d'une \'epid\'emie, on constate qu'il y a parmi les malades, un
vaccin\'e pour 4 non vaccin\'es. On sait de plus qu'il y avait un
malade sur 12 parmi les vaccin\'es. Quelle \'etait la probabilit\'e de
tomber malade pour un individu non vaccin\'e~? Le vaccin est-il
efficace~?
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
%---------
Dans un lot de pi\`eces fabriqu\'ees, il y a 5\% de pi\`eces
d\'efectueuses. On contr\^ole les pi\`eces, mais le contr\^ole est
al\'eatoire~: si la pi\`ece est bonne, elle est accept\'ee avec une
probabilit\'e \'egale \`a 0,96~; si elle est mauvaise, elle est
refus\'ee avec une probabilit\'e de 0,98. D\'eterminer les
probabilit\'es des \'ev\'enements suivants.
\begin{enumerate}
\item
Il y a une erreur dans le contr\^ole.
\item
La pi\`ece est bonne sachant qu'elle est refus\'ee.
\item
La pi\`ece est mauvaise sachant qu'elle est accept\'ee.
\end{enumerate} 
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
%---------
Un laboratoire a mis au point un alcootest. Lors des essais, 
95 fois sur 100 l'alcootest s'est r\'ev\'el\'e n\'egatif pour des
personnes qui n'\'etaient pas en \'etat d'\'ebri\'et\'e, et 95 fois
sur 100 positif pour des personnes en \'etat d'\'ebri\'et\'e. Il y a
sur les routes 2\% de conducteurs en \'etat d'\'ebri\'et\'e. Quelle
est la probabilit\'e qu'une personne soit r\'eellement en \'etat
d'\'ebri\'et\'e si son alcootest est positif~?
}\end{exo}
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
%---------
On peut classer les g\'erants de portefeuilles boursiers en 2
cat\'egories~: ceux qui sont bien inform\'es, et ceux qui sont mal
inform\'es. Lorsqu'un g\'erant bien inform\'e ach\`ete au nom de son
client une valeur boursi\`ere, la probabilit\'e pour que le cours de
celle-ci monte est 0,8~; si le g\'erant est mal inform\'e, cette
probabilit\'e est 0,5. Un client, ayant choisi son g\'erant au hasard,
constate au bout de quelque temps, que sur 5 valeurs suppos\'ees
ind\'ependantes achet\'ees en son nom par le g\'erant, trois ont
mont\'e et 2 ont baiss\'e. Sachant cela, quelle est la probabilit\'e
que le g\'erant choisi soit mal inform\'e~? Le client a-t-il
int\'er\^et \`a changer de g\'erant~?
}\end{exo}

%--------------------------------------------------------------------------
\section{Statistique descriptive}
%--------------------------------------------------------------------------
%-----------------------------------
\begin{exo}{\rm
%---------
Voici les tailles en centim\`etres (\'echantillon $x$) et poids en kilogrammes 
($y$) de $10$ enfants de 
$6$ ans. 
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|cccccccccc|}
\hline
Enfant&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\
\hline
Taille&121&123&108&118&111&109&114&103&110&115\\
Poids&25&22&19&24&19&18&20&15&20&21\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
Les caract\'eristiques num\'eriques prennent les valeurs suivantes~:
$$
\begin{array}{|cccccccc|}
\hline
\overline{x}&\overline{y}&s_x^2&s_y^2&r_{xy}&\widehat{a}&\widehat{b}&
EQ(\widehat{a},\widehat{b})\\
\hline
113.2&20.3&34.76&7.61&0.9&0.42&-\!27.38&1.44\\
\hline
\end{array}
$$
Que repr\'esentent ces caract\'eristiques num\'eriques~? Quelle
estimation pouvez vous donner pour le poids d'un enfant qui mesurerait
1m30~? Quelle estimation donnez-vous de la taille d'un enfant qui
p\`eserait 27 kg~?
}\end{exo}








