La famille ibn Qurra

L'idée de calculer une aire ou un volume en les découpant en petits morceaux (méthode d'exhaustion) était présente, bien avant Archimède, chez les mathématiciens Grecs du $5^\mathrm{e}$ siècle avant notre ère. Elle fut reprise et raffinée, tout au long du Moyen-âge par les mathématiciens arabes ; parmi eux, la famille des ibn Qurra.

Abul Hassan Thabit ibn Qurra ibn Marwan al-Sabi al-Harrani (836-901) était le père de Sinan ibn Thabit ibn Qurra (880-943), un médecin, lui-même père de Ibrahim ibn Sinan ibn Thabit ibn Qurra (908-946), mathématicien et astronome comme son grand-père.

Les calculs de surface de Thabit Ibn Qurra étaient basés sur un encadrement par des sommes de rectangles majorantes et minorantes. À l'occasion de la quadrature de la parabole, il fut le premier à avoir l'idée de diviser l'intervalle d'intégration en segments inégaux. Ce que son petit-fils Ibrahim dit dans son Traité sur la quadrature de la parabole donne une bonne idée de l'intérêt suscité par les problèmes de quadrature, et de la compétition entre les mathématiciens de ce temps.

J'ai composé un travail sur la mesure de la parabole, dans un traité séparé. Mon grand-père avait résolu la mesure de la parabole, mais un géomètre m'a appris que al-Mahani avait une solution de ce problème, qu'il m'a communiquée, et qui est plus facile que la solution de mon grand-père, et personne parmi nous n'avait une solution meilleure que celle-là. Mon grand-père avait résolu le problème en 20 propositions, et il utilisait de nombreux lemmes préliminaires parmi ces propositions, et il démontrait la quadrature de la parabole par la méthode de contradiction. Al-Mahani utilisait aussi des lemmes sur les nombres pour sa démonstration, et ensuite il prouvait le résultat par la méthode de contradiction en cinq ou six propositions, de manière longue. Alors je l'ai démontré en trois propositions géométriques, sans théorème préliminaire sur les nombres. J'ai démontré la mesure de la parabole elle-même par la méthode de la preuve directe, et je n'ai pas eu besoin de la méthode de contradiction.

La méthode d'Ibrahim était effectivement plus simple que celles de tous ses prédécesseurs, et elle ne sera surpassée qu'après la découverte du calcul intégral par Newton et Leibniz au XVII^e siècle.