Vrai ou Faux

Vrai-Faux 1   Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?
  1. $ \boxtimes\;$ Toute matrice admet au moins une valeur propre, réelle ou complexe.
  2. $ \boxtimes\;$ Toute matrice admet une infinité de vecteurs propres, à coordonnées réelles ou complexes.
  3. $ \square\;$ Toute matrice réelle $ 2\times 2$ admet une valeur propre réelle.
  4. $ \boxtimes\;$ Toute matrice réelle $ 3\times 3$ admet une valeur propre réelle.
  5. $ \square\;$ Toute matrice réelle $ 2\times 2$ admet un vecteur propre à coordonnées réelles.
  6. $ \boxtimes\;$ Toute matrice réelle $ 3\times 3$ admet un vecteur propre à coordonnées réelles.
  7. $ \boxtimes\;$ Si une matrice $ 2\times 2$ n'est pas diagonalisable dans $ \mathbb{C}$, alors elle admet une seule valeur propre.
  8. $ \boxtimes\;$ Si une matrice est triangulaire, alors ses valeurs propres sont ses éléments diagonaux.
  9. $ \square\;$ Toute matrice a au moins deux valeurs propres distinctes.
  10. $ \boxtimes\;$ Deux matrices semblables ont les mêmes valeurs propres.
  11. $ \square\;$ Les valeurs propres du produit de deux matrices sont les produits des valeurs propres des deux matrices.
  12. $ \boxtimes\;$ Si un vecteur est vecteur propre pour deux matrices, il est vecteur propre de leur produit.
  13. $ \boxtimes\;$ Les valeurs propres d'une matrice et celles de sa transposée sont les mêmes.
  14. $ \square\;$ Les vecteurs propres d'une matrice et ceux de sa transposée sont les mêmes.
  15. $ \square\;$ Le produit d'une matrice par un de ses vecteurs propres ne peut pas être le vecteur nul.
  16. $ \square\;$ Si une matrice a toutes ses valeurs propres réelles, alors elle est diagonalisable.
  17. $ \boxtimes\;$ Si une matrice $ n\times n$ a $ n$ valeurs propres distinctes, alors elle est diagonalisable.
  18. $ \square\;$ La somme des valeurs propres d'une matrice est égale au produit de ses éléments diagonaux.
  19. $ \boxtimes\;$ Le produit des valeurs propres d'une matrice est égal à son déterminant.
  20. $ \square\;$ La matrice de la rotation vectorielle d'angle $ \frac{\pi}{6}$ dans le plan admet des valeurs propres réelles.
  21. $ \boxtimes\;$ La matrice d'une symétrie vectorielle dans le plan a pour valeurs propres $ +1$ et $ -1$.
  22. $ \boxtimes\;$ Si $ v$ est vecteur propre d'une matrice, alors $ -v$ est aussi vecteur propre de cette matrice.
  23. $ \square\;$ Si $ v$ et $ w$ sont vecteurs propres d'une même matrice, alors $ v+w$ est toujours vecteur propre de cette matrice.

Vrai-Faux 2   Soit $ A$ une matrice de taille $ n$ et $ \lambda$ une de ses valeurs propres. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?
  1. $ \boxtimes\;$ 0 est valeur propre de $ (A-\lambda I)(A+\lambda I)$.
  2. $ \square\;$ 0 et $ 1$ sont valeurs propres de $ A^2-A$.
  3. $ \boxtimes\;$ ( $ \lambda^2-1$) est valeur propre de $ (A-I)(A+I)$.
  4. $ \square\;$ Le rang de la matrice $ A-\lambda I$ est égal à $ n-1$.
  5. $ \boxtimes\;$ L'ensemble des solutions $ x$ du système $ (A-\lambda I)x=0$ n'est pas réduit au vecteur nul.
  6. $ \square\;$ Le système linéaire $ A x=\lambda y$ admet une solution $ x$ non nulle, pour tout $ y$.
  7. $ \boxtimes\;$ Le système linéaire $ Ax = \lambda x$ admet une solution $ x$ non nulle.
  8. $ \boxtimes\;$ La matrice des cofacteurs de $ A-\lambda I$ a toutes ses lignes proportionnelles.
  9. $ \square\;$ La matrice des cofacteurs de $ A-\lambda I$ ne peut pas être nulle.
  10. $ \boxtimes\;$ Si $ A$ est diagonalisable, la dimension du sous-espace propre associé à $ \lambda$ est égale à la multiplicité de $ \lambda$.
  11. $ \square\;$ La dimension du sous-espace propre associé à $ \lambda$ est $ 1$ si et seulement si la multiplicité de $ \lambda$ est $ 1$.
  12. $ \boxtimes\;$ Si la multiplicité de $ \lambda$ est $ 1$, alors toutes les lignes de la matrice des cofacteurs appartiennent au sous-espace propre de $ A$ associé à $ \lambda$.
  13. $ \square\;$ Si la multiplicité de $ \lambda$ est $ 1$, alors toutes les lignes de la matrice des cofacteurs sont des vecteurs propres de $ A$ associés à $ \lambda$.

Vrai-Faux 3   On considère la matrice \begin{displaymath}
A = \left(
\begin{array}{rrr}
\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&\frac...
...frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\
0&0&2
\end{array}\right)
\end{displaymath}. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?
  1. $ \square\;$ Les colonnes de $ A$ sont des vecteurs indépendants.
  2. $ \boxtimes\;$ $ A$ admet 0 pour valeur propre.
  3. $ \boxtimes\;$ $ A$ admet $ 2$ pour valeur propre.
  4. $ \square\;$ La somme des valeurs propres de $ A$ vaut $ 2$.
  5. $ \boxtimes\;$ Tout vecteur propre de $ A$ associé à la valeur propre 0 a sa troisième coordonnée nulle.
  6. $ \square\;$ La matrice $ A+I$ est de rang $ 2$.
  7. $ \boxtimes\;$ Le déterminant de $ A-I$ est nul.
  8. $ \square\;$ Le vecteur \begin{displaymath}
\left(
\begin{array}{r}
1\\
0\\
-1
\end{array}\right)
\end{displaymath} est vecteur propre de $ A$.
  9. $ \boxtimes\;$ Le vecteur \begin{displaymath}
\left(
\begin{array}{r}
-1\\
0\\
-1
\end{array}\right)
\end{displaymath} est vecteur propre de $ A$.
  10. $ \boxtimes\;$ Le vecteur \begin{displaymath}
\left(
\begin{array}{r}
-1\\
1\\
0
\end{array}\right)
\end{displaymath} est vecteur propre de $ A$.
  11. $ \square\;$ Le vecteur \begin{displaymath}
\left(
\begin{array}{r}
0\\
1\\
0
\end{array}\right)
\end{displaymath} est vecteur propre de $ A$.
  12. $ \boxtimes\;$ $ A$ est semblable à la matrice \begin{displaymath}
\left(
\begin{array}{rrr}
1&0&0\\
0&2&0\\
0&0&0
\end{array}\right)
\end{displaymath}.
  13. $ \square\;$ $ A$ est semblable à la matrice \begin{displaymath}
\left(
\begin{array}{rrr}
1&0&0\\
0&2&0\\
0&0&1
\end{array}\right)
\;.\end{displaymath}
  14. $ \boxtimes\;$ $ A^5$ est semblable à la matrice \begin{displaymath}
\left(
\begin{array}{rrr}
0&0&0\\
0&1&0\\
0&0&2^5
\end{array}\right)
\end{displaymath}.

Vrai-Faux 4   On considère la matrice \begin{displaymath}
A = \left(
\begin{array}{rrr}
\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&\frac...
...rac{1}{2}&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\
0&0&1
\end{array}\right)
\end{displaymath}. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?
  1. $ \square\;$ Les colonnes de $ A$ sont des vecteurs indépendants.
  2. $ \boxtimes\;$ $ A$ admet 0 pour valeur propre.
  3. $ \boxtimes\;$ $ A$ admet $ 1$ pour valeur propre.
  4. $ \boxtimes\;$ $ A$ n'admet pas d'autre valeur propre que 0 et $ 1$.
  5. $ \boxtimes\;$ Tout vecteur propre de $ A$ associé à la valeur propre 0 a sa troisième coordonnée nulle.
  6. $ \boxtimes\;$ Tout vecteur propre de $ A$ associé à la valeur propre $ 1$ a sa troisième coordonnée nulle.
  7. $ \boxtimes\;$ La matrice $ A-I$ est de rang $ 2$.
  8. $ \square\;$ $ 1$ est valeur propre simple de $ A$.
  9. $ \square\;$ $ A$ est diagonalisable.
  10. $ \square\;$ Le vecteur \begin{displaymath}
\left(
\begin{array}{r}
1\\
0\\
-1
\end{array}\right)
\end{displaymath} est vecteur propre de $ A$.
  11. $ \boxtimes\;$ $ A$ est semblable à la matrice \begin{displaymath}
\left(
\begin{array}{rrr}
0&0&0\\
0&1&1\\
0&0&1
\end{array}\right)
\end{displaymath}.
  12. $ \boxtimes\;$ Pour tout $ n\in\mathbb{N}^*$, $ A^n$ est semblable à la matrice \begin{displaymath}
\left(
\begin{array}{lll}
0&0&0\\
0&1&n\\
0&0&1
\end{array}\right)
\end{displaymath}.

Vrai-Faux 5   On considère la matrice \begin{displaymath}
A = \left(
\begin{array}{rrr}
\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&\frac...
...frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\
0&0&1
\end{array}\right)
\end{displaymath}. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?
  1. $ \square\;$ Les colonnes de $ A$ sont des vecteurs indépendants.
  2. $ \boxtimes\;$ $ A$ admet 0 pour valeur propre.
  3. $ \boxtimes\;$ $ A$ admet $ 1$ pour valeur propre.
  4. $ \boxtimes\;$ $ A$ n'admet pas d'autre valeur propre que 0 et $ 1$.
  5. $ \boxtimes\;$ Tout vecteur propre de $ A$ associé à la valeur propre 0 a sa troisième coordonnée nulle.
  6. $ \square\;$ Tout vecteur propre de $ A$ associé à la valeur propre $ 1$ a sa troisième coordonnée nulle.
  7. $ \square\;$ La matrice $ A-I$ est de rang $ 2$.
  8. $ \square\;$ $ 1$ est valeur propre simple.
  9. $ \boxtimes\;$ $ A$ est diagonalisable.
  10. $ \boxtimes\;$ Le vecteur \begin{displaymath}
\left(
\begin{array}{r}
-1\\
0\\
-1
\end{array}\right)
\end{displaymath} est vecteur propre de $ A$.
  11. $ \boxtimes\;$ $ A$ est semblable à la matrice \begin{displaymath}
\left(
\begin{array}{rrr}
0&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1
\end{array}\right)
\end{displaymath}.
  12. $ \boxtimes\;$ Pour tout $ n\in\mathbb{N}^*$, $ A^n=A$.

Vrai-Faux 6   On considère la matrice \begin{displaymath}
A = \left(
\begin{array}{rr}
1&-1\\
1&1
\end{array}\right)
\end{displaymath}. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?
  1. $ \boxtimes\;$ Le produit des valeurs propres de $ A$ est $ 2$.
  2. $ \square\;$ $ A$ admet une valeur propre réelle.
  3. $ \boxtimes\;$ Le vecteur \begin{displaymath}
\left(
\begin{array}{r}
1\\
i
\end{array}\right)
\end{displaymath} est vecteur propre de $ A$.
  4. $ \boxtimes\;$ Le vecteur \begin{displaymath}
\left(
\begin{array}{r}
\mathrm{i}\\
1
\end{array}\right)
\end{displaymath} est vecteur propre de $ A$.
  5. $ \boxtimes\;$ Le vecteur \begin{displaymath}
\left(
\begin{array}{r}
-\mathrm{i}\\
1
\end{array}\right)
\end{displaymath} est vecteur propre de $ A$.
  6. $ \square\;$ $ 2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$ est valeur propre de $ A$.
  7. $ \boxtimes\;$ $ \sqrt{2}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{7\pi}{4}}$ est valeur propre de $ A$.
  8. $ \square\;$ Le carré de $ A$ est semblable à la matrice \begin{displaymath}
\left(
\begin{array}{rr}
2\mathrm{i}&0\\
0&2\mathrm{i}
\end{array}\right)
\end{displaymath}.
  9. $ \boxtimes\;$ Le carré de l'inverse de $ A$ est semblable à la matrice \begin{displaymath}
\left(
\begin{array}{rr}
\frac{\mathrm{i}}{2}&0\\
0&-\frac{\mathrm{i}}{2}
\end{array}\right)
\end{displaymath}.
  10. $ \square\;$ Si les suites $ (u_n)$ et $ (v_n)$ sont solution du système \begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{lcr}
u_{n+1} = u_n - v_n [2ex]
v_{n+1} = u_n+v_n
\end{array}\right.
\end{displaymath} alors elles sont périodiques, de période $ 8$.
  11. $ \boxtimes\;$ Si les suites $ (u_n)$ et $ (v_n)$ sont solution du système \begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{lcr}
u_{n+1} = u_n - v_n [2ex]
v_{n+1} = u_n+v_n
\end{array}\right.
\end{displaymath} alors les suites $ (u_n/2^{n/2})$ et $ (v_n/2^{n/2})$ sont périodiques, de période $ 8$.


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