Vrai ou Faux

Vrai-Faux 1   Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$ Toute matrice admet au moins une valeur propre, réelle ou complexe.
2. $\boxtimes\;$ Toute matrice admet une infinité de vecteurs propres, à coordonnées réelles ou complexes.
3. $\square\;$ Toute matrice réelle $2\times 2$ admet une valeur propre réelle.
4. $\boxtimes\;$ Toute matrice réelle $3\times 3$ admet une valeur propre réelle.
5. $\square\;$ Toute matrice réelle $2\times 2$ admet un vecteur propre à coordonnées réelles.
6. $\boxtimes\;$ Toute matrice réelle $3\times 3$ admet un vecteur propre à coordonnées réelles.
7. $\boxtimes\;$ Si une matrice $2\times 2$ n'est pas diagonalisable dans $\mathbb{C}$, alors elle admet une seule valeur propre.
8. $\boxtimes\;$ Si une matrice est triangulaire, alors ses valeurs propres sont ses éléments diagonaux.
9. $\square\;$ Toute matrice a au moins deux valeurs propres distinctes.
10. $\boxtimes\;$ Deux matrices semblables ont les mêmes valeurs propres.
11. $\square\;$ Les valeurs propres du produit de deux matrices sont les produits des valeurs propres des deux matrices.
12. $\boxtimes\;$ Si un vecteur est vecteur propre pour deux matrices, il est vecteur propre de leur produit.
13. $\boxtimes\;$ Les valeurs propres d'une matrice et celles de sa transposée sont les mêmes.
14. $\square\;$ Les vecteurs propres d'une matrice et ceux de sa transposée sont les mêmes.
15. $\square\;$ Le produit d'une matrice par un de ses vecteurs propres ne peut pas être le vecteur nul.
16. $\square\;$ Si une matrice a toutes ses valeurs propres réelles, alors elle est diagonalisable.
17. $\boxtimes\;$ Si une matrice $n\times n$ a $n$ valeurs propres distinctes, alors elle est diagonalisable.
18. $\square\;$ La somme des valeurs propres d'une matrice est égale au produit de ses éléments diagonaux.
19. $\boxtimes\;$ Le produit des valeurs propres d'une matrice est égal à son déterminant.
20. $\square\;$ La matrice de la rotation vectorielle d'angle $\frac{\pi}{6}$ dans le plan admet des valeurs propres réelles.
21. $\boxtimes\;$ La matrice d'une symétrie vectorielle dans le plan a pour valeurs propres $+1$ et $-1$.
22. $\boxtimes\;$ Si $v$ est vecteur propre d'une matrice, alors $-v$ est aussi vecteur propre de cette matrice.
23. $\square\;$ Si $v$ et $w$ sont vecteurs propres d'une même matrice, alors $v+w$ est toujours vecteur propre de cette matrice.

Vrai-Faux 2   Soit $A$ une matrice de taille $n$ et $\lambda$ une de ses valeurs propres. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$ 0 est valeur propre de $(A-\lambda I)(A+\lambda I)$.
2. $\square\;$ 0 et $1$ sont valeurs propres de $A^2-A$.
3. $\boxtimes\;$ ( $\lambda^2-1$) est valeur propre de $(A-I)(A+I)$.
4. $\square\;$ Le rang de la matrice $A-\lambda I$ est égal à $n-1$.
5. $\boxtimes\;$ L'ensemble des solutions $x$ du système $(A-\lambda I)x=0$ n'est pas réduit au vecteur nul.
6. $\square\;$ Le système linéaire $A x=\lambda y$ admet une solution $x$ non nulle, pour tout $y$.
7. $\boxtimes\;$ Le système linéaire $Ax = \lambda x$ admet une solution $x$ non nulle.
8. $\boxtimes\;$ La matrice des cofacteurs de $A-\lambda I$ a toutes ses lignes proportionnelles.
9. $\square\;$ La matrice des cofacteurs de $A-\lambda I$ ne peut pas être nulle.
10. $\boxtimes\;$ Si $A$ est diagonalisable, la dimension du sous-espace propre associé à $\lambda$ est égale à la multiplicité de $\lambda$.
11. $\square\;$ La dimension du sous-espace propre associé à $\lambda$ est $1$ si et seulement si la multiplicité de $\lambda$ est $1$.
12. $\boxtimes\;$ Si la multiplicité de $\lambda$ est $1$, alors toutes les lignes de la matrice des cofacteurs appartiennent au sous-espace propre de $A$ associé à $\lambda$.
13. $\square\;$ Si la multiplicité de $\lambda$ est $1$, alors toutes les lignes de la matrice des cofacteurs sont des vecteurs propres de $A$ associés à $\lambda$.

Vrai-Faux 3   On considère la matrice $$A = \left( \begin{array}{rrr} \frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&\frac... ...frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\ 0&0&2 \end{array}\right)$$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\square\;$ Les colonnes de $A$ sont des vecteurs indépendants.
2. $\boxtimes\;$ $A$ admet 0 pour valeur propre.
3. $\boxtimes\;$ $A$ admet $2$ pour valeur propre.
4. $\square\;$ La somme des valeurs propres de $A$ vaut $2$.
5. $\boxtimes\;$ Tout vecteur propre de $A$ associé à la valeur propre 0 a sa troisième coordonnée nulle.
6. $\square\;$ La matrice $A+I$ est de rang $2$.
7. $\boxtimes\;$ Le déterminant de $A-I$ est nul.
8. $\square\;$ Le vecteur $$\left( \begin{array}{r} 1\\ 0\\ -1 \end{array}\right)$$ est vecteur propre de $A$.
9. $\boxtimes\;$ Le vecteur $$\left( \begin{array}{r} -1\\ 0\\ -1 \end{array}\right)$$ est vecteur propre de $A$.
10. $\boxtimes\;$ Le vecteur $$\left( \begin{array}{r} -1\\ 1\\ 0 \end{array}\right)$$ est vecteur propre de $A$.
11. $\square\;$ Le vecteur $$\left( \begin{array}{r} 0\\ 1\\ 0 \end{array}\right)$$ est vecteur propre de $A$.
12. $\boxtimes\;$ $A$ est semblable à la matrice $$\left( \begin{array}{rrr} 1&0&0\\ 0&2&0\\ 0&0&0 \end{array}\right)$$.
13. $\square\;$ $A$ est semblable à la matrice $$\left( \begin{array}{rrr} 1&0&0\\ 0&2&0\\ 0&0&1 \end{array}\right) \;.$$
14. $\boxtimes\;$ $A^5$ est semblable à la matrice $$\left( \begin{array}{rrr} 0&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&2^5 \end{array}\right)$$.

Vrai-Faux 4   On considère la matrice $$A = \left( \begin{array}{rrr} \frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&\frac... ...rac{1}{2}&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\ 0&0&1 \end{array}\right)$$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\square\;$ Les colonnes de $A$ sont des vecteurs indépendants.
2. $\boxtimes\;$ $A$ admet 0 pour valeur propre.
3. $\boxtimes\;$ $A$ admet $1$ pour valeur propre.
4. $\boxtimes\;$ $A$ n'admet pas d'autre valeur propre que 0 et $1$.
5. $\boxtimes\;$ Tout vecteur propre de $A$ associé à la valeur propre 0 a sa troisième coordonnée nulle.
6. $\boxtimes\;$ Tout vecteur propre de $A$ associé à la valeur propre $1$ a sa troisième coordonnée nulle.
7. $\boxtimes\;$ La matrice $A-I$ est de rang $2$.
8. $\square\;$ $1$ est valeur propre simple de $A$.
9. $\square\;$ $A$ est diagonalisable.
10. $\square\;$ Le vecteur $$\left( \begin{array}{r} 1\\ 0\\ -1 \end{array}\right)$$ est vecteur propre de $A$.
11. $\boxtimes\;$ $A$ est semblable à la matrice $$\left( \begin{array}{rrr} 0&0&0\\ 0&1&1\\ 0&0&1 \end{array}\right)$$.
12. $\boxtimes\;$ Pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, $A^n$ est semblable à la matrice $$\left( \begin{array}{lll} 0&0&0\\ 0&1&n\\ 0&0&1 \end{array}\right)$$.

Vrai-Faux 5   On considère la matrice $$A = \left( \begin{array}{rrr} \frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&\frac... ...frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\ 0&0&1 \end{array}\right)$$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\square\;$ Les colonnes de $A$ sont des vecteurs indépendants.
2. $\boxtimes\;$ $A$ admet 0 pour valeur propre.
3. $\boxtimes\;$ $A$ admet $1$ pour valeur propre.
4. $\boxtimes\;$ $A$ n'admet pas d'autre valeur propre que 0 et $1$.
5. $\boxtimes\;$ Tout vecteur propre de $A$ associé à la valeur propre 0 a sa troisième coordonnée nulle.
6. $\square\;$ Tout vecteur propre de $A$ associé à la valeur propre $1$ a sa troisième coordonnée nulle.
7. $\square\;$ La matrice $A-I$ est de rang $2$.
8. $\square\;$ $1$ est valeur propre simple.
9. $\boxtimes\;$ $A$ est diagonalisable.
10. $\boxtimes\;$ Le vecteur $$\left( \begin{array}{r} -1\\ 0\\ -1 \end{array}\right)$$ est vecteur propre de $A$.
11. $\boxtimes\;$ $A$ est semblable à la matrice $$\left( \begin{array}{rrr} 0&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{array}\right)$$.
12. $\boxtimes\;$ Pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, $A^n=A$.

Vrai-Faux 6   On considère la matrice $$A = \left( \begin{array}{rr} 1&-1\\ 1&1 \end{array}\right)$$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$ Le produit des valeurs propres de $A$ est $2$.
2. $\square\;$ $A$ admet une valeur propre réelle.
3. $\boxtimes\;$ Le vecteur $$\left( \begin{array}{r} 1\\ i \end{array}\right)$$ est vecteur propre de $A$.
4. $\boxtimes\;$ Le vecteur $$\left( \begin{array}{r} \mathrm{i}\\ 1 \end{array}\right)$$ est vecteur propre de $A$.
5. $\boxtimes\;$ Le vecteur $$\left( \begin{array}{r} -\mathrm{i}\\ 1 \end{array}\right)$$ est vecteur propre de $A$.
6. $\square\;$ $2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$ est valeur propre de $A$.
7. $\boxtimes\;$ $\sqrt{2}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{7\pi}{4}}$ est valeur propre de $A$.
8. $\square\;$ Le carré de $A$ est semblable à la matrice $$\left( \begin{array}{rr} 2\mathrm{i}&0\\ 0&2\mathrm{i} \end{array}\right)$$.
9. $\boxtimes\;$ Le carré de l'inverse de $A$ est semblable à la matrice $$\left( \begin{array}{rr} \frac{\mathrm{i}}{2}&0\\ 0&-\frac{\mathrm{i}}{2} \end{array}\right)$$.
10. $\square\;$ Si les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont solution du système $$\left\{ \begin{array}{lcr} u_{n+1} = u_n - v_n [2ex] v_{n+1} = u_n+v_n \end{array}\right.$$ alors elles sont périodiques, de période $8$.
11. $\boxtimes\;$ Si les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont solution du système $$\left\{ \begin{array}{lcr} u_{n+1} = u_n - v_n [2ex] v_{n+1} = u_n+v_n \end{array}\right.$$ alors les suites $(u_n/2^{n/2})$ et $(v_n/2^{n/2})$ sont périodiques, de période $8$.