Vrai ou faux

Vrai-Faux 1 Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

$\boxtimes\;$ $(2<3)\wedge(2 \vert 4)$ .
$\square\;$ $(2<3)\wedge(2 \vert 5)$ .
$\boxtimes\;$ $(2<3)\vee(2 \vert 5)$ .
$\boxtimes\;$ $(2<3)\wedge(\neg(2 \vert 5))$ .
$\square\;$ $(\neg(2<3))\vee(2 \vert 5)$ .
$\boxtimes\;$ $\big((2<3)\wedge(2 \vert 4)\big)\vee (3 \vert 6)$ .
$\boxtimes\;$ $\big((2<3)\wedge(2 \vert 4)\big)\vee (3 \vert 5)$ .
$\square\;$ $\big((2<3)\wedge(2 \vert 4)\big)\wedge (3 \vert 5)$ .
$\boxtimes\;$ $\big((2<3)\wedge(2 \vert 5)\big)\vee \big((3 \vert 6)\wedge (3<6)\big)$ .
$\square\;$ $\big((2<3)\wedge(2 \vert 5)\big)\vee \big((3 \vert 6)\wedge (3>6)\big)$ .

Vrai-Faux 2 Soit un entier naturel quelconque. Parmi les implications suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

$\boxtimes\;$ $(n\geqslant 5)\;\Longrightarrow\; (n>3)$ .
$\square\;$ $(n\geqslant 5)\;\Longrightarrow\; (n>6)$ .
$\square\;$ $(n\geqslant 5)\;\Longrightarrow\; (n\leqslant 6)$ .
$\boxtimes\;$ $(n<1)\;\Longrightarrow\; (2 \vert n)$ .
$\square\;$ $(n<1)\;\Longrightarrow\; (n \vert 2)$ .
$\boxtimes\;$ $(n<2)\;\Longrightarrow\; (n^2=n)$ .
$\boxtimes\;$ $(n> 0)\;\Longrightarrow\; (2n>n)$ .
$\square\;$ $(n\geqslant 0)\;\Longrightarrow\; (2n>n)$ .
$\boxtimes\;$ $(n\geqslant 0)\;\Longrightarrow\; ((n+1)>n)$ .

Vrai-Faux 3 Soit un entier naturel quelconque. Parmi les équivalences suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

$\boxtimes\;$ $(n\geqslant 5)\;\Longleftrightarrow\; (n>4)$ .
$\square\;$ $(n\geqslant 5)\;\Longleftrightarrow\; (n\geqslant 4)$ .
$\square\;$ $((n>5)\wedge(n \vert 12))\;\Longleftrightarrow\; (n=6)$ .
$\boxtimes\;$ $((n>6)\wedge(n \vert 12))\;\Longleftrightarrow\; (n=12)$ .
$\boxtimes\;$ $((3 \vert n)\wedge(4 \vert n))\;\Longleftrightarrow\; (12 \vert n)$ .
$\square\;$ $((3 \vert n)\wedge(4 \vert n))\;\Longleftrightarrow\; (n \vert 12)$ .
$\square\;$ $((n \vert 3)\vee(n \vert 4))\;\Longleftrightarrow\; (n \vert 12)$ .

Vrai-Faux 4 Parmi les assertions suivantes, portant sur un entier naturel , lesquelles sont des conditions suffisantes pour que soit pair, lesquelles ne le sont pas et pourquoi ?

$\square\;$ $n\leqslant 2$ .
$\boxtimes\;$ $(n\leqslant 2)\wedge (\neg(n=1))$ .
$\boxtimes\;$ $12 \vert n$ .
$\square\;$ $n \vert 12$ .
$\boxtimes\;$ $(n \vert 12)\wedge (n>3)$ .
$\square\;$ $(n \vert 12)\vee(n \vert 10)$ .
$\square\;$ $(n \vert 12)\wedge (n \vert 10)$ .
$\boxtimes\;$ $(n \vert 16)\wedge (n>1)$ .
$\boxtimes\;$ $(n \vert 16)\wedge (\neg(n^2=n))$ .

Vrai-Faux 5 Soit un entier quelconque. Parmi les phrases suivantes, lequelles traduisent correctement l'implication

$\displaystyle (4 \vert n)\;\Longrightarrow\;(2 \vert n)\;,$

lesquelles ne la traduisent pas et pourquoi ?

$\boxtimes\;$ Si 4 divise alors 2 divise .
$\square\;$ 2 divise seulement si 4 divise .
$\square\;$ Pour que 2 divise il faut que 4 divise .
$\boxtimes\;$ Pour que 2 divise il suffit que 4 divise .
$\boxtimes\;$ la condition ڰ divise » est nécessaire pour que 4 divise .
$\square\;$ la condition ڲ divise » est nécessaire pour que 2 divise .
$\boxtimes\;$ la condition ڲ divise » est suffisante pour que 2 divise .

Vrai-Faux 6 Parmi les phrases suivantes, lesquelles traduisent correctement l'équivalence

$\displaystyle ((3 \vert n)\wedge(4 \vert n))\;\Longleftrightarrow\;(12 \vert n)\;,$

lesquelles ne la traduisent pas et pourquoi ?

$\boxtimes\;$ Si 3 et 4 divisent alors 12 divise et réciproquement.
$\square\;$ Pour que 12 divise il faut que 3 et 4 divisent .
$\boxtimes\;$ Pour que 12 divise il faut et il suffit que 3 et 4 divisent .
$\boxtimes\;$ Pour que 12 divise il est nécessaire et suffisant que 3 et 4 divisent .
$\square\;$ 12 divise seulement si 3 et 4 divisent .
$\boxtimes\;$ 12 divise si et seulement si 3 et 4 divisent .

Vrai-Faux 7 Si je mange, alors je bois et je ne parle pas. Si je ne parle pas alors je m'ennuie. Je ne m'ennuie pas. Je peux en déduire que (oui ou non et pourquoi) :

$\boxtimes\;$ je parle.
$\square\;$ je ne parle pas.
$\square\;$ je ne bois pas.
$\boxtimes\;$ je ne mange pas.
$\square\;$ je ne bois pas et je ne mange pas.

Vrai-Faux 8 Parmi les assertions suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

$\boxtimes\;$ Si Napoléon était chinois, alors .
$\square\;$ Soit Cléopâtre était chinoise, soit les grenouilles aboient.
$\boxtimes\;$ Soit les roses sont des animaux, soit les chiens ont 4 pattes.
$\boxtimes\;$ Si l'homme est un quadrupède, alors il aboie.
$\square\;$ Les roses ne sont ni des animaux, ni des fleurs.
$\boxtimes\;$ Paris est en France ou Madrid est en Chine.
$\boxtimes\;$ La pierre ponce est un homme si et seulement si les femmes sont des sardines.
$\boxtimes\;$ Les poiriers ne donnent pas des melons, et Cléopâtre n'était pas chinoise.
$\boxtimes\;$ Il est faux que si les grenouilles n'aboient pas alors $3\times 2=7$ .
$\square\;$ Si les champignons sont des animaux ou le Cid était espagnol, alors la longueur d'une circonférence est le double de son rayon.
$\boxtimes\;$ Une condition nécessaire et suffisante pour que dans un jeu de 40 cartes il y ait 45 as est que le cuir soit végétal.

Vrai-Faux 9 Soient trois sous-ensembles d'un ensemble . L'ensemble
$((A\cup B)\cap C)\cup ((A\cap B)\cap {^c\!C})$ est-il (oui ou non et pourquoi) ?

$\square\;$ égal à .
$\square\;$ inclus dans $A\cap B$ .
$\boxtimes\;$ inclus dans $A\cup B$ .
$\boxtimes\;$ inclus dans $A\cup C$ .
$\square\;$ inclus dans $A\cap C$ .
$\boxtimes\;$ inclus dans $(A\cap C)\cup B$ .
$\square\;$ inclus dans $(A\cap {^c\!C})\cup B$ .
$\boxtimes\;$ égal à $(A\cap B)\cup(B\cap C)\cup(A\cap C)$ .

Vrai-Faux 10 Parmi les ensembles d'entiers suivants, lesquels sont égaux au singleton $\{0\}$ , lesquels sont différents et pourquoi ?

$\square\;$ $\{ n\in \mathbb{N}\;;\quad n\leqslant 1 \}$ .
$\boxtimes\;$ $\{ n\in \mathbb{N}\;;\quad n<1 \}$ .
$\boxtimes\;$ $\{ n\in \mathbb{N}\;;\quad (n\leqslant 1)\wedge (2 \vert n) \}$ .
$\square\;$ $\{ n\in \mathbb{N}\;;\quad 1+n>0 \}$ .
$\boxtimes\;$ $\{ n\in \mathbb{N}\;;\quad 1+n=1 \}$ .
$\boxtimes\;$ $\{ n\in \mathbb{N}\;;\quad \forall m\in \mathbb{N} ,\;n\leqslant m \}$ .
$\square\;$ $\{ n\in \mathbb{N}\;;\quad \forall m\in \mathbb{N} ,\;n< m \}$ .
$\square\;$ $\{ n\in \mathbb{N}\;;\quad \forall m\in \mathbb{N} ,\;n \vert m \}$ .
$\boxtimes\;$ $\{ n\in \mathbb{N}\;;\quad \forall m\in \mathbb{N} ,\;m \vert n \}$ .

Vrai-Faux 11 Un entier est un nombre premier s'il est non nul et divisible seulement par 1 et par lui-même. Parmi les ensembles suivants, lesquels sont égaux à l'ensemble des nombres premiers, lesquels sont différents et pourquoi ?

$\square\;$ $\{ n\in \mathbb{N}\;;\quad (n>0)\wedge ((m \vert n)\Longrightarrow (m=n)) \}$ .
$\boxtimes\;$ $\{ n\in \mathbb{N}\;;\quad (m \vert n)\Longrightarrow (m\in\{1,n\}) \}$ .
$\square\;$ $\{ n\in \mathbb{N}\;;\quad (m \vert n)\Longrightarrow (1\leqslant m\leqslant n) \}$ .
$\square\;$ $\{ n\in \mathbb{N}\;;\quad \forall m\in\mathbb{N} ,\; ((m=1)\vee (m=n))\wedge (\neg (m \vert n)) \}$ .
$\boxtimes\;$ $\{ n\in \mathbb{N}\;;\quad \forall m\in\mathbb{N} ,\; ((m=1)\vee (m=n))\vee (\neg (m \vert n)) \}$ .
$\square\;$ $\{ n\in \mathbb{N}\;;\quad \forall m\in\mathbb{N} ,\; (1<m<n)\Longrightarrow (\neg (m \vert n)) \}$ .
$\boxtimes\;$ $\{ n\in \mathbb{N}\;;\quad \forall m\in\mathbb{N} ,\; (n>0)\wedge((1<m<n)\Longrightarrow (\neg (m \vert n))) \}$ .

Vrai-Faux 12 Soient et deux ensembles et une application de vers . Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

$\square\;$ Si est injective alors tout élément de a plus d'une image dans .
$\boxtimes\;$ Si est injective alors tout élément de a au plus un antécédent dans .
$\square\;$ Si est surjective alors tout élément de a plus d'un antécédent dans .
$\square\;$ Si n'est pas bijective alors au moins un élément de n'a pas d'antécédent.
$\boxtimes\;$ Si n'est pas injective alors il existe deux éléments distincts de ayant la même image.

Vrai-Faux 13 Soient et deux ensembles finis et une application de vers . Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

$\square\;$ Si $\mathrm{Card}(E)>\mathrm{Card}(F)$ alors est surjective.
$\boxtimes\;$ Si $\mathrm{Card}(E)>\mathrm{Card}(F)$ alors n'est pas injective.
$\square\;$ Si $\mathrm{Card}(E)=\mathrm{Card}(F)$ alors est bijective.
$\boxtimes\;$ Si $\mathrm{Card}(E)=\mathrm{Card}(F)$ et si est surjective, alors est bijective.
$\square\;$ Si $\mathrm{Card}(E)\neq\mathrm{Card}(F)$ alors est injective ou surjective.
$\boxtimes\;$ Si $\mathrm{Card}(E)=\mathrm{Card}(F)$ et si n'est pas surjective, alors n'est pas injective.
$\boxtimes\;$ Si $\mathrm{Card}(E)=\mathrm{Card}(F)$ et si n'est pas injective, alors n'est pas surjective.

Vrai-Faux 14 Soit $E=\{0,1,2\}$ . Les graphes suivants définissent-ils une relation d'équivalence sur (oui ou non et pourquoi) ?

$\square\;$ $\Gamma =\{ (0,0),(0,1),(1,0),(1,1) \}$ .
$\boxtimes\;$ $\Gamma =\{ (0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(2,2) \}$ .
$\square\;$ $\Gamma =\{ (0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(1,2),(2,2) \}$ .
$\square\;$ $\Gamma =\{ (0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(1,2),(2,1),(2,2) \}$ .
$\boxtimes\;$ $\Gamma =\{ (0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2) \}$ .

Vrai-Faux 15 Soit $E=\{0,1,2\}$ . Les graphes suivants définissent-ils une relation d'ordre sur (oui ou non et pourquoi) ?

$\boxtimes\;$ $\Gamma =\{ (0,0),(0,1),(1,1),(2,2) \}$ .
$\square\;$ $\Gamma =\{ (0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(2,2) \}$ .
$\boxtimes\;$ $\Gamma =\{ (0,0),(0,1),(0,2),(1,1),(2,2) \}$ .
$\square\;$ $\Gamma =\{ (0,0),(0,1),(1,1),(1,2),(2,2) \}$ .
$\boxtimes\;$ $\Gamma =\{ (0,0),(0,1),(0,2),(1,1),(1,2),(2,2) \}$ .

Vrai-Faux 16 Soient un ensemble fini non vide et un élément fixé de . Les relations ${\cal R}$ définies par les assertions suivantes sont-elles des relations d'équivalence sur ${\cal P}(E)$ (oui ou non et pourquoi) ?

$\boxtimes\;$ $\forall A,B\in {\cal P}(E)\;,\quad A{\cal R}B\;\Longleftrightarrow\; A=B$ .
$\square\;$ $\forall A,B\in {\cal P}(E)\;,\quad A{\cal R}B\;\Longleftrightarrow\; A\subset B$ .
$\square\;$ $\forall A,B\in {\cal P}(E)\;,\quad A{\cal R}B\;\Longleftrightarrow\; (A\cap B=\emptyset)$ .
$\boxtimes\;$ $\forall A,B\in {\cal P}(E)\;,\quad A{\cal R}B\;\Longleftrightarrow\; \Big((A\cap B=\emptyset)\vee(A\cup B\neq \emptyset)\Big)$ .
$\square\;$ $\forall A,B\in {\cal P}(E)\;,\quad A{\cal R}B\;\Longleftrightarrow\; (x\in A\cup B)$ .
$\boxtimes\;$ $\forall A,B\in {\cal P}(E)\;,\quad A{\cal R}B\;\Longleftrightarrow\; \Big((x\in A\cap B)\vee (x\in {^c\!A}\cap {^c\!B})\Big)$ .

Vrai-Faux 17 Soient un ensemble fini contenant au moins deux éléments, et un élément fixé de . Les relations ${\cal R}$ définies par les assertions suivantes sont-elles des relations d'ordre sur ${\cal P}(E)$ (oui ou non et pourquoi) ?

$\boxtimes\;$ $\forall A,B\in {\cal P}(E)\;,\quad A{\cal R}B\;\Longleftrightarrow\; A=B$ .
$\boxtimes\;$ $\forall A,B\in {\cal P}(E)\;,\quad A{\cal R}B\;\Longleftrightarrow\; A\subset B$ .
$\square\;$ $\forall A,B\in {\cal P}(E)\;,\quad A{\cal R}B\;\Longleftrightarrow\; (x\in(A\cap {^c\!B}))$ .
$\square\;$ $\forall A,B\in {\cal P}(E)\;,\quad A{\cal R}B\;\Longleftrightarrow\; (x\in(A\cup {^c\!B}))$ .
$\boxtimes\;$ $\forall A,B\in {\cal P}(E)\;,\quad A{\cal R}B\;\Longleftrightarrow\; \Big((A=B)\vee(x\in A\cap {^c\!B})\Big)$ .

Vrai-Faux 18 Soit un énoncé dépendant de l'entier . Les assertions suivantes entraînent-elles que est vraie pour tout $n\in \mathbb{N}$ (oui ou non et pourquoi) ?

$\boxtimes\;$ $H(0)\wedge \Big(\forall n\in \mathbb{N} ,\;H(n)\Longrightarrow H(n+1)\Big)$ .
$\square\;$ $H(1)\wedge \Big(\forall n\in \mathbb{N} ,\;H(n)\Longrightarrow H(n+1)\Big)$ .
$\square\;$ $H(0)\wedge \Big(\forall n\in \mathbb{N} ,\;H(n+1)\Longrightarrow H(n)\Big)$ .
$\square\;$ $H(0)\wedge \Big(\forall n\in \mathbb{N} ,\;H(n)\Longrightarrow H(n+2)\Big)$ .
$\boxtimes\;$ $H(0)\wedge \Big(\forall n\in \mathbb{N} ,\;H(n)\Longrightarrow H(n+2)\Big) \wedge \Big(\forall n\in \mathbb{N} ,\;H(n+1)\Longrightarrow H(n)\Big)$ .
$\square\;$ $H(0)\wedge \Big(\forall n\in \mathbb{N} ,\;H(n)\Longrightarrow H(2n)\Big) \wedge \Big(\forall n\in \mathbb{N} ,\;H(n+1)\Longrightarrow H(n)\Big)$ .
$\boxtimes\;$ $(H(0)\wedge H(1))\wedge \Big(\forall n\in \mathbb{N} ,\; H(n)\Longrightarrow H(2n)\Big) \wedge \Big(\forall n\in \mathbb{N} ,\;H(n+1)\Longrightarrow H(n)\Big)$ .