Exercices

Exercice 1  
  1. Montrer que pour tout entier $ n\geqslant 2$ :

    $\displaystyle \sqrt[n]{n+\sqrt[n]{n}}+\sqrt[n]{n-\sqrt[n]{n}}<2\sqrt[n]{n}\;.
$

  2. Montrer que pour tout entier $ n\geqslant 7$ :

    $\displaystyle \sqrt{n}^{\sqrt{n+1}}>\sqrt{n+1}^{\sqrt{n}}\;.
$

Exercice 2   Déterminer $ x\in\mathbb{R}^{+*}$ vérifiant l'équation $ (E)$.
  1. $ (E)\qquad 5(3^x)=3(5^x)$.
  2. $ (E)\qquad x^x=\sqrt{2}/2$.
  3. $ (E)\qquad x^x=3\sqrt{6}/4$.
  4. $ (E)\qquad x^{\sqrt{x}}=\sqrt{x}^x$.

Exercice 3   Déterminer le couple $ (x,y)\in (\mathbb{R}^{+*})^2$, vérifiant le système d'équations $ (S)$.
  1. $ \displaystyle{(S)\qquad \left\{\begin{array}{lcl}
8^x&=&10^y\\
2^x&=&5^y\;.
\end{array}\right.}$
  2. $ \displaystyle{(S)\qquad \left\{\begin{array}{lcl}
2^{3x+2y}&=&5\\
4^{2x}&=&2^{2y+3}\;.
\end{array}\right.}$
  3. $ \displaystyle{(S)\qquad \left\{\begin{array}{lcl}
xy&=&2^2\\
\ln^2(x)+\ln^2(y)&=&\frac{5}{2}\ln^2(2)\;.
\end{array}\right.}$
  4. $ \displaystyle{(S)\qquad \left\{\begin{array}{lcl}
x^{x+y}&=&y^4\\
y^{x+y}&=&x\;.
\end{array}\right.}$

Exercice 4    
  1. Soient $ a$ et $ b$ deux réels strictement positifs. Montrer que :

    $\displaystyle \ln\left(\frac{a+b}{4}\right)=\frac{1}{2}\Big(\ln(a)+\ln(b)\Big)
\;\Longleftrightarrow\;a^2+b^2=14  ab\;.
$

  2. Soit $ a$ un réel strictement positif, différent de $ 1$. Déterminer l'ensemble des $ x\in\mathbb{R}^{+*}$ tels que :

    $\displaystyle \log_a(x)-\log_{a^2}(x)+\log_{a^4}(x)=\frac{3}{4}\;.
$

  3. Déterminer l'ensemble des triplets de réels $ (a,b,c)$ tels que :

    $\displaystyle \log_{c+b}(a)+\log_{c-b}(a)=2\log_{c+b}(a)\log_{c-b}(a)\;.
$

Exercice 5   Démontrer les formules de trigonométrie suivantes.

$\displaystyle \cos(2a)=\cos^2(a)-\sin^2(a)=2\cos^2(a)-1=1-2\sin^2(a)\;;
$

$\displaystyle \cos^2(a)=\frac{1+\cos(2a)}{2}\;;\quad
\sin^2(a)=\frac{1-\cos(2a)}{2}\;;
$

$\displaystyle \sin(2a)=2\sin(a)\cos(a)\;;\quad
\tan(2a)=\frac{2\tan(a)}{1-\tan^2(a)}\;;
$

   en notant : $\displaystyle t=\tan(x/2)\;,\quad
\sin(x)=\frac{2t}{1+t^2}\;,\quad
\cos(x)=\frac{1-t^2}{1+t^2}\;,\quad
\tan(x)=\frac{2t}{1-t^2}\;;
$

$\displaystyle \tan(a+b)=\frac{\tan(a)+\tan(b)}{1-\tan(a)\tan(b)}\;;\quad
\tan(a-b)=\frac{\tan(a)-\tan(b)}{1+\tan(a)\tan(b)}\;;
$

$\displaystyle \sin(a)\sin(b)=\frac{1}{2}\Big(\cos(a-b)-\cos(a+b)\Big)
\;;
$

$\displaystyle \sin(a)\cos(b)=\frac{1}{2}\Big(\sin(a+b)+\sin(a-b)\Big)
\;;
$

$\displaystyle \sin(a)+\sin(b)=2\sin\left(\frac{a+b}{2}\right)
\cos\left(\frac{a-b}{2}\right)\;;
$

$\displaystyle \cos(a)+\cos(b)=2\cos\left(\frac{a+b}{2}\right)
\cos\left(\frac{a-b}{2}\right)\;.
$

Exercice 6   On pose :

$\displaystyle F=\big\{ \arcsin ,\;\arccos ,\;\arctan \big\}$   et$\displaystyle \quad
G=\big\{ \sin ,\;\cos ,\;\tan \big\}\;.
$

  1. Pour tout $ f\in F$ et pour tout $ g\in G$, donner une expression algébrique pour la composée $ g\circ f$.
  2. Pour tout $ f\in F$ et pour tout $ g\in G$, déterminer le domaine de définition de la composée $ f\circ g$ et représenter son graphe.

Exercice 7   Vérifier que les égalités suivantes sont vraies pour tout réel $ x$ tel que les expressions écrites aient un sens.
  1. $ \displaystyle{\arccos(x)+\arcsin(x)=\frac{\pi}{2}}$.
  2. $ \displaystyle{\arctan(x)+\arctan(1/x)=\frac{\pi}{2} \frac{x}{\vert x\vert}}$.
  3. $ \displaystyle{\sin(2\arctan(x))=\frac{2x}{1+x^2}}$.
  4. $ \displaystyle{\tan(3\arctan(x))=\frac{3x-x^3}{1-3x^2}}$.

Exercice 8   Déterminer $ x\in\mathbb{R}$ vérifiant l'équation $ (E)$.
  1. $ (E)\qquad \arccos(x)=\arcsin(1/3)+\arcsin(1/4)$.
  2. $ (E)\qquad \arcsin(x)=\arcsin(2/5)+\arcsin(3/5)$.
  3. $ (E)\qquad \arcsin(\tan(x))=x$.
  4. $ (E)\qquad \arcsin(2x)+\arcsin(x\sqrt{3})=\arcsin(x)$.
  5. $ (E)\qquad \arccos(x)=2\arccos(3/4)$.
  6. $ (E)\qquad 2\arccos(x)=\arccos(\vert 2x^2-1\vert)$.
  7. $ (E)\qquad \arccos(x)=\arcsin(1-x)$.
  8. $ (E)\qquad \arctan(x)=2\arctan(1/2)$.
  9. $ (E)\qquad \arctan(x)+2\arctan(\sqrt{1+x^2}-x)=\pi/2$.
  10. $ (E)\qquad \arctan(x-1)+\arctan(x)+\arctan(x+1)=\pi/2$.
  11. $ (E)\qquad \arctan(x)+\arctan(2x)=\pi/4$.

Exercice 9   Démontrer les formules de trigonométrie hyperbolique suivantes.

$\displaystyle \cosh(a+b)=\cosh(a)\cosh(b)+\sinh(a)\sinh(b)\;;
$

$\displaystyle \sinh(a+b)=\sinh(a)\cosh(b)+\cosh(a)\sinh(b)\;;
$

$\displaystyle \cosh(2a)=\cosh^2(a)+\sin^2(a)=2\cosh^2(a)-1=1+2\sinh^2(a)\;;
$

$\displaystyle \cosh^2(a)=\frac{\cosh(2a)+1}{2}\;;\quad
\sinh^2(a)=\frac{\cosh(2a)-1}{2}\;;
$

$\displaystyle \sinh(2a)=2\sinh(a)\cosh(a)\;;\quad
\tanh(2a)=\frac{2\tanh(a)}{1-\tanh^2(a)}\;;
$

   en notant : $\displaystyle t=\tanh(x/2)\;,\;
\sinh(x)=\frac{2t}{1-t^2}\;,\;
\cosh(x)=\frac{1+t^2}{1-t^2}\;,\;
\tanh(x)=\frac{2t}{1+t^2}\;;
$

$\displaystyle \tanh(a+b)=\frac{\tanh(a)+\tanh(b)}{1+\tanh(a)\tanh(b)}\;;\quad
\tanh(a-b)=\frac{\tanh(a)-\tanh(b)}{1-\tanh(a)\tanh(b)}\;;
$

$\displaystyle \sinh(a)\sinh(b)=\frac{1}{2}\Big(\cosh(a+b)-\cosh(a-b)\Big)
\;;
$

$\displaystyle \sinh(a)\cosh(b)=\frac{1}{2}\Big(\sinh(a+b)+\sinh(a-b)\Big)
\;;
$

$\displaystyle \sinh(a)+\sinh(b)=2\sinh\left(\frac{a+b}{2}\right)
\cosh\left(\frac{a-b}{2}\right)\;;
$

$\displaystyle \cosh(a)+\cosh(b)=2\cosh\left(\frac{a+b}{2}\right)
\cosh\left(\frac{a-b}{2}\right)\;.
$

Exercice 10   Soit $ n$ un entier. Démontrer que les égalités suivantes sont vraies pour tout réel $ x$ tel que les expressions écrites aient un sens.
  1. $ \displaystyle{\sum_{k=0}^n \cosh(kx)
=\frac{\sinh((n+\frac{1}{2}) x)+\sinh(x/2)}{2\sinh(x/2)}}\;.$
  2. $ \displaystyle{\sum_{k=0}^n \sinh(kx)
=\frac{\cosh((n+\frac{1}{2}) x)+\cosh(x/2)}{2\sinh(x/2)}}\;.$
  3. $ \displaystyle{\sum_{k=0}^n \cos(kx)
=\frac{\sin((n+\frac{1}{2}) x)+\sin(x/2)}{2\sin(x/2)}}\;.$
  4. $ \displaystyle{\sum_{k=0}^n \sin(kx)
=\frac{-\cos((n+\frac{1}{2}) x)+\cos(x/2)}{2\sin(x/2)}}\;.$
  5. $ \displaystyle{
\frac{\sin(x)+\sin(nx)+
\sin((2n-1)x)}{\cos(x)+\cos(nx)+\cos((2n-1)x)}
=\tan(nx)\;.}$
  6. $ \displaystyle{
\frac{\sinh(x)+\sinh(nx)+
\sinh((2n-1)x)}{\cosh(x)+\cosh(nx)+\cosh((2n-1)x)}
=\tanh(nx)\;.}$

Exercice 11   On pose :

$\displaystyle F=\big\{ \arg\!\sinh ,\;\arg\!\cosh ,\;\arg\!\tanh \big\}$   et$\displaystyle \quad
G=\big\{ \sinh ,\;\cosh ,\;\tanh \big\}\;.
$

  1. Pour tout $ f\in F$ et pour tout $ g\in G$, donner une expression algébrique pour la composée $ g\circ f$.
  2. Pour tout $ f\in F$ et pour tout $ g\in G$, déterminer le domaine de définition de la composée $ f\circ g$ et représenter son graphe.

Exercice 12   Vérifier que les égalités suivantes sont vraies pour tout réel $ x$ tel que les expressions écrites aient un sens.
  1. $ \displaystyle{\arg\!\tanh\left(\frac{x^2-1}{x^2+1}\right)}=\ln(x)$.
  2. $ \arg\!\sinh(3x+4x^3)=3\arg\!\sinh(x)$.
  3. $ \cosh(2\arg\!\tanh(x))=\displaystyle{\frac{1+x^2}{1-x^2}}$.
  4. $ \displaystyle{\sinh\left(\frac{1}{2}\arg\!\cosh(x)\right)
=\sqrt{\frac{x-1}{2}}}$.
  5. $ \displaystyle{\arg\!\cosh\left(\sqrt{\frac{1+\cosh(x)}{2}}\right)
=\frac{x}{2}}$.
  6. $ 2\arg\!\tanh(\tan(x))=\arg\!\tanh(\sin(2x))$.

Exercice 13   Déterminer $ x\in\mathbb{R}$ vérifiant l'équation $ (E)$.
  1. $ (E)\qquad \arg\!\sinh(x)=\arg\!\sinh(2-x)$.
  2. $ (E)\qquad \arg\!\cosh(4x^3-3x)-\arg\!\cosh(2x^2-1)=1$.


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