Exercices

Exercice 1  

1. Montrer que pour tout entier $n\geqslant 2$ :
   $$\sqrt[n]{n+\sqrt[n]{n}}+\sqrt[n]{n-\sqrt[n]{n}}<2\sqrt[n]{n}\;.$$

2. Montrer que pour tout entier $n\geqslant 7$ :
   $$\sqrt{n}^{\sqrt{n+1}}>\sqrt{n+1}^{\sqrt{n}}\;.$$

Exercice 2   Déterminer $x\in\mathbb{R}^{+*}$ vérifiant l'équation $(E)$.

1. $(E)\qquad 5(3^x)=3(5^x)$.
2. $(E)\qquad x^x=\sqrt{2}/2$.
3. $(E)\qquad x^x=3\sqrt{6}/4$.
4. $(E)\qquad x^{\sqrt{x}}=\sqrt{x}^x$.

Exercice 3   Déterminer le couple $(x,y)\in (\mathbb{R}^{+*})^2$, vérifiant le système d'équations $(S)$.

1. $${(S)\qquad \left\{\begin{array}{lcl} 8^x&=&10^y\\ 2^x&=&5^y\;. \end{array}\right.}$$
2. $${(S)\qquad \left\{\begin{array}{lcl} 2^{3x+2y}&=&5\\ 4^{2x}&=&2^{2y+3}\;. \end{array}\right.}$$
3. $${(S)\qquad \left\{\begin{array}{lcl} xy&=&2^2\\ \ln^2(x)+\ln^2(y)&=&\frac{5}{2}\ln^2(2)\;. \end{array}\right.}$$
4. $${(S)\qquad \left\{\begin{array}{lcl} x^{x+y}&=&y^4\\ y^{x+y}&=&x\;. \end{array}\right.}$$

Exercice 4    

1. Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs. Montrer que :
   $$\ln\left(\frac{a+b}{4}\right)=\frac{1}{2}\Big(\ln(a)+\ln(b)\Big) \;\Longleftrightarrow\;a^2+b^2=14 ab\;.$$

2. Soit $a$ un réel strictement positif, différent de $1$. Déterminer l'ensemble des $x\in\mathbb{R}^{+*}$ tels que :
   $$\log_a(x)-\log_{a^2}(x)+\log_{a^4}(x)=\frac{3}{4}\;.$$

3. Déterminer l'ensemble des triplets de réels $(a,b,c)$ tels que :
   $$\log_{c+b}(a)+\log_{c-b}(a)=2\log_{c+b}(a)\log_{c-b}(a)\;.$$

Exercice 5   Démontrer les formules de trigonométrie suivantes.

$$\cos(2a)=\cos^2(a)-\sin^2(a)=2\cos^2(a)-1=1-2\sin^2(a)\;;$$

$$\cos^2(a)=\frac{1+\cos(2a)}{2}\;;\quad \sin^2(a)=\frac{1-\cos(2a)}{2}\;;$$

$$\sin(2a)=2\sin(a)\cos(a)\;;\quad \tan(2a)=\frac{2\tan(a)}{1-\tan^2(a)}\;;$$

   en notant : $$t=\tan(x/2)\;,\quad \sin(x)=\frac{2t}{1+t^2}\;,\quad \cos(x)=\frac{1-t^2}{1+t^2}\;,\quad \tan(x)=\frac{2t}{1-t^2}\;;$$

$$\tan(a+b)=\frac{\tan(a)+\tan(b)}{1-\tan(a)\tan(b)}\;;\quad \tan(a-b)=\frac{\tan(a)-\tan(b)}{1+\tan(a)\tan(b)}\;;$$

$$\sin(a)\sin(b)=\frac{1}{2}\Big(\cos(a-b)-\cos(a+b)\Big) \;;$$

$$\sin(a)\cos(b)=\frac{1}{2}\Big(\sin(a+b)+\sin(a-b)\Big) \;;$$

$$\sin(a)+\sin(b)=2\sin\left(\frac{a+b}{2}\right) \cos\left(\frac{a-b}{2}\right)\;;$$

$$\cos(a)+\cos(b)=2\cos\left(\frac{a+b}{2}\right) \cos\left(\frac{a-b}{2}\right)\;.$$

Exercice 6   On pose :

$$F=\big\{ \arcsin ,\;\arccos ,\;\arctan \big\}$$   et$$\quad G=\big\{ \sin ,\;\cos ,\;\tan \big\}\;.$$

1. Pour tout $f\in F$ et pour tout $g\in G$, donner une expression algébrique pour la composée $g\circ f$.
2. Pour tout $f\in F$ et pour tout $g\in G$, déterminer le domaine de définition de la composée $f\circ g$ et représenter son graphe.

Exercice 7   Vérifier que les égalités suivantes sont vraies pour tout réel $x$ tel que les expressions écrites aient un sens.

1. $${\arccos(x)+\arcsin(x)=\frac{\pi}{2}}$$.
2. $${\arctan(x)+\arctan(1/x)=\frac{\pi}{2} \frac{x}{\vert x\vert}}$$.
3. $${\sin(2\arctan(x))=\frac{2x}{1+x^2}}$$.
4. $${\tan(3\arctan(x))=\frac{3x-x^3}{1-3x^2}}$$.

Exercice 8   Déterminer $x\in\mathbb{R}$ vérifiant l'équation $(E)$.

1. $(E)\qquad \arccos(x)=\arcsin(1/3)+\arcsin(1/4)$.
2. $(E)\qquad \arcsin(x)=\arcsin(2/5)+\arcsin(3/5)$.
3. $(E)\qquad \arcsin(\tan(x))=x$.
4. $(E)\qquad \arcsin(2x)+\arcsin(x\sqrt{3})=\arcsin(x)$.
5. $(E)\qquad \arccos(x)=2\arccos(3/4)$.
6. $(E)\qquad 2\arccos(x)=\arccos(\vert 2x^2-1\vert)$.
7. $(E)\qquad \arccos(x)=\arcsin(1-x)$.
8. $(E)\qquad \arctan(x)=2\arctan(1/2)$.
9. $(E)\qquad \arctan(x)+2\arctan(\sqrt{1+x^2}-x)=\pi/2$.
10. $(E)\qquad \arctan(x-1)+\arctan(x)+\arctan(x+1)=\pi/2$.
11. $(E)\qquad \arctan(x)+\arctan(2x)=\pi/4$.

Exercice 9   Démontrer les formules de trigonométrie hyperbolique suivantes.

$$\cosh(a+b)=\cosh(a)\cosh(b)+\sinh(a)\sinh(b)\;;$$

$$\sinh(a+b)=\sinh(a)\cosh(b)+\cosh(a)\sinh(b)\;;$$

$$\cosh(2a)=\cosh^2(a)+\sin^2(a)=2\cosh^2(a)-1=1+2\sinh^2(a)\;;$$

$$\cosh^2(a)=\frac{\cosh(2a)+1}{2}\;;\quad \sinh^2(a)=\frac{\cosh(2a)-1}{2}\;;$$

$$\sinh(2a)=2\sinh(a)\cosh(a)\;;\quad \tanh(2a)=\frac{2\tanh(a)}{1-\tanh^2(a)}\;;$$

   en notant : $$t=\tanh(x/2)\;,\; \sinh(x)=\frac{2t}{1-t^2}\;,\; \cosh(x)=\frac{1+t^2}{1-t^2}\;,\; \tanh(x)=\frac{2t}{1+t^2}\;;$$

$$\tanh(a+b)=\frac{\tanh(a)+\tanh(b)}{1+\tanh(a)\tanh(b)}\;;\quad \tanh(a-b)=\frac{\tanh(a)-\tanh(b)}{1-\tanh(a)\tanh(b)}\;;$$

$$\sinh(a)\sinh(b)=\frac{1}{2}\Big(\cosh(a+b)-\cosh(a-b)\Big) \;;$$

$$\sinh(a)\cosh(b)=\frac{1}{2}\Big(\sinh(a+b)+\sinh(a-b)\Big) \;;$$

$$\sinh(a)+\sinh(b)=2\sinh\left(\frac{a+b}{2}\right) \cosh\left(\frac{a-b}{2}\right)\;;$$

$$\cosh(a)+\cosh(b)=2\cosh\left(\frac{a+b}{2}\right) \cosh\left(\frac{a-b}{2}\right)\;.$$

Exercice 10   Soit $n$ un entier. Démontrer que les égalités suivantes sont vraies pour tout réel $x$ tel que les expressions écrites aient un sens.

1. $${\sum_{k=0}^n \cosh(kx) =\frac{\sinh((n+\frac{1}{2}) x)+\sinh(x/2)}{2\sinh(x/2)}}\;.$$
2. $${\sum_{k=0}^n \sinh(kx) =\frac{\cosh((n+\frac{1}{2}) x)+\cosh(x/2)}{2\sinh(x/2)}}\;.$$
3. $${\sum_{k=0}^n \cos(kx) =\frac{\sin((n+\frac{1}{2}) x)+\sin(x/2)}{2\sin(x/2)}}\;.$$
4. $${\sum_{k=0}^n \sin(kx) =\frac{-\cos((n+\frac{1}{2}) x)+\cos(x/2)}{2\sin(x/2)}}\;.$$
5. $${ \frac{\sin(x)+\sin(nx)+ \sin((2n-1)x)}{\cos(x)+\cos(nx)+\cos((2n-1)x)} =\tan(nx)\;.}$$
6. $${ \frac{\sinh(x)+\sinh(nx)+ \sinh((2n-1)x)}{\cosh(x)+\cosh(nx)+\cosh((2n-1)x)} =\tanh(nx)\;.}$$

Exercice 11   On pose :

$$F=\big\{ \arg\!\sinh ,\;\arg\!\cosh ,\;\arg\!\tanh \big\}$$   et$$\quad G=\big\{ \sinh ,\;\cosh ,\;\tanh \big\}\;.$$

1. Pour tout $f\in F$ et pour tout $g\in G$, donner une expression algébrique pour la composée $g\circ f$.
2. Pour tout $f\in F$ et pour tout $g\in G$, déterminer le domaine de définition de la composée $f\circ g$ et représenter son graphe.

Exercice 12   Vérifier que les égalités suivantes sont vraies pour tout réel $x$ tel que les expressions écrites aient un sens.

1. $${\arg\!\tanh\left(\frac{x^2-1}{x^2+1}\right)}=\ln(x)$$.
2. $\arg\!\sinh(3x+4x^3)=3\arg\!\sinh(x)$.
3. $\cosh(2\arg\!\tanh(x))=\displaystyle{\frac{1+x^2}{1-x^2}}$.
4. $${\sinh\left(\frac{1}{2}\arg\!\cosh(x)\right) =\sqrt{\frac{x-1}{2}}}$$.
5. $${\arg\!\cosh\left(\sqrt{\frac{1+\cosh(x)}{2}}\right) =\frac{x}{2}}$$.
6. $2\arg\!\tanh(\tan(x))=\arg\!\tanh(\sin(2x))$.

Exercice 13   Déterminer $x\in\mathbb{R}$ vérifiant l'équation $(E)$.

1. $(E)\qquad \arg\!\sinh(x)=\arg\!\sinh(2-x)$.
2. $(E)\qquad \arg\!\cosh(4x^3-3x)-\arg\!\cosh(2x^2-1)=1$.