Le paraboloïde hyperbolique

La zoologie des surfaces est un sujet quelque peu désuet, même si on trouve sur le web de nombreux sites qui permettent de se faire une idée de sa beauté et de sa poésie : visitez au moins http://www.mathcurve.com/. Nous allons essayer de vous donner envie d'en savoir plus, en partant de l'équation la plus simple possible : $z=xy$.

Pour imaginer la surface d'équation $z=xy$, examinons d'abord quelques unes de ses sections planes. Nous notons $S$ la surface et nous considérons son intersection avec le plan $P$ dont nous donnons l'équation, en fonction d'un paramètre réel $a$.

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$S\cap P\;: \left\{\begin{array}{lcl}y&=&ax z&=&ax^2\end{array}\right.$ : $S$ contient une famille de paraboles.

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$S\cap P\;: \left\{\begin{array}{lcl}z&=&a xy&=&a\end{array}\right.$ : $S$ contient aussi une famille d'hyperboles (d'où le nom de paraboloïde hyperbolique).

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$S\cap P\;: \left\{\begin{array}{lcl}x&=&a z&=&ay\end{array}\right.$ : $S$ contient une famille de droites.

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$S\cap P\;: \left\{\begin{array}{lcl}y&=&a z&=&ax\end{array}\right.$ : $S$ contient une autre famille de droites.

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$S\cap P\;: \left\{\begin{array}{lcl}y&=&x+a z&=&x^2+ax\end{array}\right.$ : $S$ contient une autre famille de paraboles dans des plans parallèles ;

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$S\cap P\;: \left\{\begin{array}{lcl}y&=&-x+a z&=&-x^2+ax\end{array}\right.$ : encore une autre famille de paraboles, orientées vers le bas, dans des plans orthogonaux aux précédents.

Une surface engendrée par une famille de droites est dite réglée. Celle-ci l'est doublement, puisqu'elle contient deux familles de droites. Pour vous en faire une idée, imaginez un cadre rectangulaire, formé de quatre tiges rigides articulées entre elles. Des élastiques sont tendus d'une tige à son opposée, dans les deux sens (comme un sommier de sangles). Imaginez maintenant que vous tordiez le cadre, de sorte que les tiges opposées ne soient plus parallèles. Les élastiques restent tendus, matérialisant une surface qui est doublement réglée. Une autre manière de visualiser le paraboloïde hyperbolique est d'imaginer une parabole glissant le long d'une autre parabole, en sens inverse : on obtient une sorte de selle de cheval (figure 14).

Figure 14: Paraboloïde hyperbolique

Les surfaces doublement réglées font le bonheur des architectes : on peut couler d'immenses dalles de béton en les armant selon une des deux familles de droites, tout en coffrant le long l'autre famille, ce qui confère à la structure d'excellentes propriétés mécaniques : le toit de la cathédrale de la Sagrada Familia à Barcelone celui du musée océanographique de Valence, sont des portions de paraboloïde hyperbolique. Au fait, vous êtes-vous demandé pourquoi les biscuits d'apéritif de la marque Pringles ont cette forme en selle de cheval plutôt que d'être plats ?

L'hyperboloïde de révolution est un autre exemple de surface doublement réglée. Pour vous en faire une idée, prenez un paquet de tiges rigides (baguettes de mikado, pailles ...) que vous maintenez en son milieu par un élastique. Élargissez ensuite le paquet par en haut et par en bas en penchant les baguettes d'un même angle : vous venez de matérialiser un hyperboloïde de révolution (figure 15). Il est aussi très utilisé en architecture : châteaux d'eau, cheminées de centrale nucléaire... 

Figure 15: Hyperboloïde de révolution