Vrai ou faux

Vrai-Faux 1   On considère l'équation différentielle $(E) :\quad y'(t)=y(t)/t^2$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$ $(E)$ est une équation linéaire homogène du premier ordre.
2. $\square\;$ $(E)$ a une solution unique.
3. $\square\;$ La fonction nulle ( $y(t)=0 ,\;\forall t\in\mathbb{R}$) est solution de $(E)$ sur $\mathbb{R}$.
4. $\boxtimes\;$ La fonction nulle est solution de $(E)$ sur $]0,+\infty[$.
5. $\square\;$ Toute solution de $(E)$ est définie sur $\mathbb{R}$.
6. $\square\;$ Pour tout $y_0\in\mathbb{R}$, $(E)$ admet une solution unique telle que $y(0)=y_0$.
7. $\boxtimes\;$ Pour tout $y_1\in\mathbb{R}$, $(E)$ admet une solution unique telle que $y(1)=y_1$, définie sur $]0,+\infty[$.
8. $\square\;$ $t\mapsto y(t)=C \mathrm{e}^{1/t}$ est solution de $(E)$, pour tout $C\in\mathbb{R}$, sur l'intervalle $]0,+\infty[$.
9. $\boxtimes\;$ $t\mapsto y(t)=C \mathrm{e}^{-1/t}$ est solution de $(E)$, pour tout $C\in\mathbb{R}$, sur l'intervalle $]-\infty,0[$.
10. $\boxtimes\;$ La fonction $y$ définie par $y(t)=\mathrm{e}^{-1/t}$ si $t>0$, $y(t)=2\mathrm{e}^{-1/t}$ si $t<0$ et $y(0)=0$, est indéfiniment dérivable sur $\mathbb{R}$.
11. $\square\;$ La fonction $y$ de la question précédente est solution de $(E)$ sur $\mathbb{R}$.
12. $\boxtimes\;$ La fonction $y$ définie par $y(t)=\mathrm{e}^{-1/t}$ si $t>0$ et $y(t)=0$ sinon, est solution de $(E)$ sur $\mathbb{R}\setminus\{0\}$.

Vrai-Faux 2   On considère l'équation différentielle $(E) :\quad y'(t)=y(t)/t^2+\mathrm{e}^{-1/t}$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\square\;$ $(E)$ est une équation linéaire du premier ordre sans second membre.
2. $\square\;$ La fonction nulle ( $y(t)=0 ,\;\forall t\in\mathbb{R}$) est solution de $(E)$ sur $]0,+\infty[$.
3. $\boxtimes\;$ La fonction $t\mapsto y(t)=t\mathrm{e}^{-1/t}$ est solution de $(E)$ sur $]0,+\infty[$.
4. $\boxtimes\;$ Pour tout $y_1\in\mathbb{R}$, $(E)$ admet une solution unique telle que $y(1)=y_1$, définie sur $]0,+\infty[$.
5. $\square\;$ $t\mapsto y(t)=C \mathrm{e}^{-1/t}$ est solution de $(E)$, pour tout $C\in\mathbb{R}$, sur l'intervalle $]-\infty,0[$.
6. $\square\;$ La fonction $y$ définie par $y(t)=t\mathrm{e}^{-1/t}$ si $t>0$ et $y(t)=0$ sinon, est solution de $(E)$ sur $\mathbb{R}\setminus\{0\}$.
7. $\boxtimes\;$ La fonction $y$ définie par $y(t)=t\mathrm{e}^{-1/t}$ si $t>0$, et $y(t)=(1+t)\mathrm{e}^{-1/t}$ si $t<0$, est solution de $(E)$ sur $\mathbb{R}\setminus\{0\}$.

Vrai-Faux 3   On considère l'équation différentielle $(E) :\quad y'(t)=y(t)+\mathrm{e}^t$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\square\;$ $(E)$ a une solution unique.
2. $\boxtimes\;$ Toute solution de $(E)$ est définie sur $\mathbb{R}$.
3. $\boxtimes\;$ Pour tout $y_0\in\mathbb{R}$, $(E)$ admet une solution unique telle que $y(0)=y_0$.
4. $\square\;$ $t\mapsto y(t)=C \mathrm{e}^t$ est solution de $(E)$, pour tout $C$.
5. $\square\;$ $t\mapsto y(t)=2t\mathrm{e}^t$ est solution de $(E)$.
6. $\boxtimes\;$ $t\mapsto y(t)=(1+t)\mathrm{e}^t$ est l'unique solution de $(E)$ telle que $y(0)=1$.
7. $\square\;$ $t\mapsto y(t)=(1-t)\mathrm{e}^t$ est l'unique solution de $(E)$ telle que $y(1)=0$.

Vrai-Faux 4   On considère l'équation différentielle $(E) :\quad y'(t)=\cos(t)\mathrm{e}^{-y(t)}$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\square\;$ $(E)$ est une équation linéaire du premier ordre.
2. $\boxtimes\;$ Toute solution de $(E)$ sur un intervalle de $\mathbb{R}$ s'écrit $y(t) = \ln(\sin(t)+C)$, où $C$ est une constante réelle.
3. $\boxtimes\;$ La solution de $(E)$ vérifiant $y(0)=1$ est définie sur $\mathbb{R}$.
4. $\square\;$ La solution de $(E)$ vérifiant $y(0)=0$ est définie sur $\mathbb{R}$.
5. $\boxtimes\;$ La solution de $(E)$ vérifiant $y(0)=0$ est définie sur $]-\pi/2,3\pi/2[$.
6. $\square\;$ La solution de $(E)$ vérifiant $y(0)=-1$ est définie sur
   $]-\arcsin(1/\mathrm{e}),-\arcsin(1/\mathrm{e})+2\pi[$.
7. $\boxtimes\;$ La solution de $(E)$ vérifiant $y(0)=-1$ est définie sur
   $]-\arcsin(1/\mathrm{e}),\arcsin(1/\mathrm{e})+\pi[$.

Vrai-Faux 5   On considère l'équation différentielle $(E) :\quad y''=y'(t)+2y(t)$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$ Toutes les solutions de $(E)$ sont définies sur $\mathbb{R}$.
2. $\square\;$ $1$ est racine simple de l'équation caractéristique associée.
3. $\boxtimes\;$ $-1$ et $2$ sont racines de l'équation caractéristique associée.
4. $\boxtimes\;$ Toute solution de $(E)$ est combinaison linéaire de $\mathrm{e}^t$ et $\mathrm{e}^{2t}$.
5. $\square\;$ $y(t)=(t+1)\mathrm{e}^t$ est solution de $(E)$.
6. $\square\;$ $(E)$ admet une unique solution telle que $y(0)=0$.
7. $\boxtimes\;$ L'unique solution de $(E)$ telle que $y(0)=y'(0)=0$ est la fonction nulle.

Vrai-Faux 6   On considère l'équation différentielle $(E) :\quad y''(t)=y'(t)-y(t)$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$ Les racines de l'équation caractéristique associée sont deux complexes conjugués.
2. $\square\;$ $t\mapsto y(t)=\cos(\pi t/3)$ est solution de $(E)$.
3. $\square\;$ $t\mapsto y(t)=\mathrm{e}^{t/2}+\cos(\sqrt{3}t/2)$ est solution de $(E)$.
4. $\boxtimes\;$ $t\mapsto y(t)=\mathrm{e}^{t/2}(\cos(\sqrt{3}t/2+\varphi)$ est solution de $(E)$, pour tout réel fixé $\varphi$.
5. $\square\;$ La fonction nulle est l'unique solution de $(E)$ telle que $y(0)=0$.
6. $\boxtimes\;$ L'unique solution de $(E)$ telle que $y(0)=y'(0)=0$ est la fonction nulle.
7. $\square\;$ L'unique solution de $(E)$ telle que $y(0)=0$ et $y(\pi/\sqrt{3})=1$ est $t\mapsto y(t)=\mathrm{e}^{t/2}\sin(\sqrt{3}t/2)$.
8. $\boxtimes\;$ L'unique solution de $(E)$ telle que $y(0)=0$ et $y'(0)=1$ est $t\mapsto y(t)=(2/\sqrt{3})\mathrm{e}^{t/2}\sin(\sqrt{3}t/2)$.

Vrai-Faux 7   On considère l'équation différentielle $(E) :\quad y''(t)=2y'(t)-y(t)$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$ L'équation caractéristique associée a une racine double.
2. $\square\;$ $t\mapsto y(t)=t^2\mathrm{e}^{t}$ est solution de $(E)$.
3. $\boxtimes\;$ $t\mapsto y(t)=(2t+1)\mathrm{e}^t$ est solution de $(E)$.
4. $\square\;$ La fonction nulle est l'unique solution de $(E)$ telle que $y(0)=0$.
5. $\boxtimes\;$ L'unique solution de $(E)$ telle que $y(0)=y'(0)=0$ est la fonction nulle.
6. $\square\;$ L'unique solution de $(E)$ telle que $y(0)=0$ et $y'(0)=1$ est $t\mapsto y(t)=\mathrm{e}^{t}$.
7. $\boxtimes\;$ L'unique solution de $(E)$ telle que $y(0)=0$ et $y'(0)=1$ $t\mapsto y(t)=t\mathrm{e}^{t}$.

Vrai-Faux 8   On considère l'équation différentielle $(E) :\quad y'(t)=ty(t)+t/y(t)$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$ $(E)$ est une équation de Bernoulli.
2. $\boxtimes\;$ Si $y$ est solution de $(E)$, alors $-y$ est aussi solution de $(E)$.
3. $\square\;$ Si $z(t) = y^2(t)$, alors $z$ est solution d'une équation linéaire homogène.
4. $\boxtimes\;$ Si $z(t) = y^2(t)$, alors $z$ est solution de l'équation $z'(t)=2tz(t)+2t$.
5. $\boxtimes\;$ La fonction constante $z(t)=-1$ est solution de l'équation $z'(t)=2tz(t)+2t$.
6. $\boxtimes\;$ La fonction $z(t)=-\mathrm{e}^{t^2}-1$ est solution de l'équation $z'(t)=2tz(t)+2t$.
7. $\square\;$ La fonction $y(t)=\sqrt{-\mathrm{e}^{t^2}-1}$ est solution de $(E)$.
8. $\square\;$ Il existe des solutions de $(E)$ qui ne sont pas définies sur $\mathbb{R}$ tout entier.
9. $\boxtimes\;$ Si $K>1$, alors $y(t)=\sqrt{K\mathrm{e}^{t^2}-1}$ est solution de $(E)$ sur $\mathbb{R}$.
10. $\square\;$ Toute solution de $(E)$ est positive ou nulle sur $\mathbb{R}$.
11. $\boxtimes\;$ $y(t) = -\sqrt{5\mathrm{e}^{t^2}-1}$ est l'unique solution de $(E)$ telle que $y(0)=-2$.
12. $\square\;$ Pour tout $y_0\in\mathbb{R}$, il existe une solution de $(E)$ telle que $y(0)=y_0$.
13. $\boxtimes\;$ Pour tout $y_0\neq 0$, il existe une solution de $(E)$ unique telle que $y(0)=y_0$.

Vrai-Faux 9   On considère l'équation différentielle $(E) :\quad y'(t)=-ty(t)-t/y(t)$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$ $(E)$ est une équation de Bernoulli.
2. $\boxtimes\;$ Si $y$ est solution de $(E)$, alors $-y$ est aussi solution de $(E)$.
3. $\square\;$ Si $z(t) = y^2(t)$, alors $z$ est solution d'une équation linéaire homogène.
4. $\boxtimes\;$ Si $z(t) = y^2(t)$, alors $z$ est solution de l'équation $z'(t)=-2tz(t)-2t$.
5. $\boxtimes\;$ La fonction constante $z(t)=-1$ est solution de l'équation $z'(t)=-2tz(t)-2t$.
6. $\boxtimes\;$ La fonction $z(t)=-\mathrm{e}^{-t^2}-1$ est solution de l'équation $z'(t)=-2tz(t)-2t$.
7. $\square\;$ La fonction $y(t)=\sqrt{\mathrm{e}^{-t^2}-1}$ est solution de $(E)$.
8. $\square\;$ Il existe des solutions de $(E)$ qui sont définies sur $\mathbb{R}$ tout entier.
9. $\boxtimes\;$ Si $K>1$, alors $y(t)=\sqrt{K\mathrm{e}^{-t^2}-1}$ est solution de $(E)$ sur un intervalle contenant 0.
10. $\square\;$ Toute solution de $(E)$ est positive ou nulle sur $\mathbb{R}$.
11. $\boxtimes\;$ $y(t) = -\sqrt{5\mathrm{e}^{-t^2}-1}$ est l'unique solution de $(E)$ telle que $y(0)=-2$.
12. $\boxtimes\;$ Pour tout $y_0\neq 0$, il existe une solution de $(E)$ unique telle que $y(0)=y_0$.
13. $\boxtimes\;$ L'unique solution de $(E)$ telle que $y(0)=1$ est définie sur $]-\sqrt{\ln(2)},+\sqrt{\ln(2)}[$.

Vrai-Faux 10   On considère l'équation différentielle $(E) :\quad t^2y''(t)=2y(t)$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$ $(E)$ est une équation d'Euler.
2. $\boxtimes\;$ $y(t)=t^2$ est solution de $(E)$ sur $\mathbb{R}$
3. $\square\;$ $y(t)=\frac{1}{t}$ est solution de $(E)$ sur $\mathbb{R}$.
4. $\boxtimes\;$ Si $y_1$ et $y_2$ sont deux solutions de $(E)$, alors $a y_1+ b y_2$ est aussi solution de $(E)$, pour tout $a,b\in\mathbb{R}$.
5. $\boxtimes\;$ $y(t)=\frac{3}{t}-2t^2$ est solution de $(E)$ en tout point $t$ de $\mathbb{R}\setminus\{0\}$.
6. $\square\;$ Si $y(t)$ est solution de $(E)$, alors $z(x)=y(\mathrm{e}^x)$ est solution de $z''(x)=2z(x)$.
7. $\boxtimes\;$ Si $y(t)$ est solution de $(E)$, alors $z(x)=y(\mathrm{e}^x)$ est solution de $z''(x)=z'(x)+2z(x)$.
8. $\boxtimes\;$ L'ensemble des solutions de l'équation $z''(x)=z'(x)+2z(x)$ est $\{z(x)=a\mathrm{e}^{-x}+b\mathrm{e}^{2x} ,\;(a,b)\in\mathbb{R}^2\}$.
9. $\square\;$ L'ensemble des solutions de $(E)$ sur $\mathbb{R}$ est $\{y(t)=a/t+bt^2 ,\;(a,b)\in\mathbb{R}^2\}$.
10. $\boxtimes\;$ La fonction $y$ définie par $y(t)=t^2$ si $t\geqslant 0$ et $y(t)=1/t$ si $t<0$ est solution de $(E)$ sur $]-\infty,0[$ et sur $]0,+\infty[$.

Vrai-Faux 11   On considère l'équation différentielle $(E) :\quad y''(t)=2y'(t)-y(t)+\cos(t)$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\square\;$ Toute solution de $(E)$ est combinaison linéaire de $\mathrm{e}^t$ et $\cos(t)$.
2. $\boxtimes\;$ Toute solution de $(E)$ est combinaison linéaire de $\mathrm{e}^t$, $t\mathrm{e}^{t}$, $\cos(t)$ et $\sin(t)$.
3. $\square\;$ Toute combinaison linéaire de $\mathrm{e}^t$, $t\mathrm{e}^{t}$, $\cos(t)$ et $\sin(t)$ est solution de $(E)$.
4. $\square\;$ $(E)$ admet une solution particulière de la forme $y(t)=(at+b)\cos(t)$.
5. $\boxtimes\;$ $(E)$ admet une solution particulière de la forme $y(t)=\alpha\cos(t)+\beta\sin(t)$.
6. $\square\;$ $y(t)=\mathrm{e}^t+\frac{1}{2}\sin(t)$ est solution de $(E)$.
7. $\boxtimes\;$ $y(t)=t\mathrm{e}^t-\frac{1}{2}\sin(t)$ est solution de $(E)$.
8. $\boxtimes\;$ L'unique solution de $(E)$ telle que $y(0)=0$ et $y'(0)=1$ est $y(t) = \frac{1}{2}(3t\mathrm{e}^t-\sin(t))$.
9. $\square\;$ L'unique solution de $(E)$ telle que $y(0)=1$ et $y'(0)=0$ est $y(t) = \frac{1}{2}(2\mathrm{e}^t-t\mathrm{e}^t+\sin(t))$.

Vrai-Faux 12   On considère l'équation différentielle $(E) :\quad y''(t)=-y(t)+\cos(t)$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\square\;$ Toute solution de $(E)$ est combinaison linéaire de $\sin(t)$ et $\cos(t)$.
2. $\boxtimes\;$ Toute solution de $(E)$ est combinaison linéaire de $\sin(t)$, $\cos(t)$, $t\sin(t)$ et $t\cos(t)$.
3. $\square\;$ Toute combinaison linéaire de $\sin(t)$, $\cos(t)$, $t\sin(t)$ et $t\cos(t)$ est solution de $(E)$.
4. $\square\;$ $(E)$ admet une solution sous la forme $(at+b)\cos(t)$.
5. $\boxtimes\;$ La solution de $(E)$ telle que $y(0)=a$ et $y'(0)=b$ est $y(t)=a\cos(t)+b\sin(t)+\frac{1}{2}t\sin(t)$.