Don't try to solve this problem

Vous aurez été prévenu⁵ ! On considère la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par $u_0\in\mathbb{N}^*$ et pour tout $n\geqslant 0$ :

$$u_{n+1}=\left\{\begin{array}{ll} 3u_n+1&\mbox{si $u_n$ est impair... ...2ex] \displaystyle{\frac{u_n}{2}}&\mbox{si $u_n$ est pair.} \end{array}\right.$$

Si $u_0=1$, alors $u_1=4$, $u_2=2$ et $u_3=1$ : est-ce le seul cycle ? Est-il vrai que la suite boucle sur $1,4,2,1$ quel que soit son point de départ ? Personne n'a jamais répondu à cette question, et ce n'est pas faute d'avoir essayé. Cette suite apparaît parfois dans la littérature sous le nom de «suite de Syracuse», non pas qu'elle ait un quelconque rapport avec Archimède, mais à cause du temps qu'elle a fait perdre aux mathématiciens de l'Université de Syracuse, dans l'état de New York au début des années 50. Certains ont prétendu que le problème avait été inventé spécialement pour faire baisser la productivité des départements de mathématiques aux USA pendant la guerre froide. L'auteur du problème, Lothar Collatz, s'en défend : il avait pensé à cette suite alors qu'il était encore étudiant à la fin des années 30. Ce type d'énoncé très simple a toujours fasciné les mathématiciens, et faisait dire à Paul Erdos, pourtant orfèvre en la matière : « Mathematics is not yet ripe enough for such questions». Malgré nos avertissements, vous avez sans doute déjà essayé quelques valeurs de tête. Un conseil : utilisez plutôt Xcas !

syracuse(a):={
  local u,s;
  u:=a; s:=u;
  while (u!=1)
  {
    if (irem(u,2)==0)
      {u:=iquo(u,2)}
    else
      {u:=3*u+1}
  s:=s,u;
  }     
return(s);
};