Vrai ou faux

Vrai-Faux 1   Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant 0, telle que $f(x)=x+x^2+o(x^4)$. On peut en déduire que (vrai ou faux et pourquoi ?) :

1. $\square\;$ La fonction $f$ est dérivable sur un intervalle ouvert contenant 0.
2. $\boxtimes\;$ La fonction $f$ est continue en 0.
3. $\boxtimes\;$ La dérivée de $f$ en 0 est égale à $1$.
4. $\square\;$ Si $f$ est $2$ fois dérivable sur un intervalle ouvert contenant 0, alors $f^{(2)}(0)=1$.
5. $\boxtimes\;$ Si $f$ est $3$ fois dérivable sur un intervalle ouvert contenant 0, alors $f^{(3)}(0)=0$.
6. $\square\;$ La fonction $x\mapsto f(x)/x$ admet un développement limité d'ordre $3$ en 0.
7. $\boxtimes\;$ La fonction $x\mapsto x^2f(x)$ admet un développement limité d'ordre $5$ en 0.
8. $\square\;$ $f^2(x)=x^2+x^4+o(x^6)$.
9. $\boxtimes\;$ $f(x^2)=x^2+x^4+o(x^6)$.
10. $\square\;$ $f(2x)=2x+2x^2+o(x^4)$.
11. $\square\;$ $f(x^4)=o(x^4)$.
12. $\boxtimes\;$ $f(2x^2)\sim 2x^2$.

Vrai-Faux 2   Soient $f$ et $g$ deux fonctions, admettant un développement limité d'ordre $2$ en 0. On peut en déduire que (vrai ou faux et pourquoi ?) :

1. $\boxtimes\;$ La fonction $f+g$ admet un développement limité d'ordre $2$ en 0.
2. $\boxtimes\;$ La fonction $fg$ admet un développement limité d'ordre $2$ en 0.
3. $\square\;$ La fonction $f/g$ admet un développement limité d'ordre $2$ en 0.
4. $\boxtimes\;$ La fonction $x\mapsto x^2f(x)g(x)$ admet un développement limité d'ordre $4$ en 0.
5. $\square\;$ La fonction $x\mapsto x^2f(x)+g(x)$ admet un développement limité d'ordre $4$ en 0.
6. $\square\;$ La fonction $x\mapsto f^2(x)g^2(x)$ admet un développement limité d'ordre $4$ en 0.

Vrai-Faux 3   Soient $f$ et $g$ deux fonctions telles que au voisinage de 0 :

$$f(x)=x+x^3+o(x^3)$$   et$$\quad g(x)=-x+x^3+o(x^3)\;.$$

On peut en déduire que (vrai ou faux et pourquoi ?) :

1. $\boxtimes\;$ $f(x)+g(x)=o(x^2)$.
2. $\square\;$ $f(x)-g(x)=o(x)$.
3. $\square\;$ $f(x)+2g(x)=o(f(x))$.
4. $\boxtimes\;$ $2f(x)+g(x)\sim f(x)$.
5. $\square\;$ $f(x)g(x)=-x^2+x^6+o(x^6)$.
6. $\boxtimes\;$ $f^2(x)-g^2(x) \sim 4x^4$.
7. $\square\;$ $f^2(x)g(x) \sim x^3$.
8. $\boxtimes\;$ $f(x)g^2(x) \sim x^3$.

Vrai-Faux 4   Soit $n$ un entier quelconque. On note $f$ la fonction $x\mapsto \sin(x)/x$, prolongée par continuité en 0. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$ Pour tout $n$, $f$ admet un développement limité d'ordre $n$ en 0.
2. $\square\;$ Pour tout $n$, le développement limité d'ordre $n$ de $f$ ne contient que des termes impairs.
3. $\square\;$ Pour tout $n$, $x\mapsto f(x)/x$ admet un développement limité d'ordre $n$ en 0.
4. $\boxtimes\;$ $f(x^2)-1=O(x^4)$.
5. $\boxtimes\;$ $(f(x)-1)^2=O(x^4)$.
6. $\square\;$ $f(x)-\cos(x)=O(x^4)$.
7. $\boxtimes\;$ $f(x)-\cos(x/\sqrt{3})=O(x^4)$.

Vrai-Faux 5   Soient $n$ un entier et $f$ une fonction indéfiniment dérivable sur $\mathbb{R}$. Les propositions portent sur des développements limités d'ordre $n$ en 0. On suppose que $f$ est paire. On peut en déduire que (vrai ou faux et pourquoi ?) :

1. $\square\;$ Le développement de $1/f$ ne contient que des termes impairs.
2. $\square\;$ Le développement de $x\mapsto f(x^3)$ ne contient que des termes impairs.
3. $\boxtimes\;$ Le développement de $x\mapsto f(\sin(x))$ ne contient que des termes pairs.
4. $\boxtimes\;$ Le développement de $x\mapsto \sin(x)f(x)$ ne contient que des termes impairs.
5. $\square\;$ Le développement de $x\mapsto xf(x)/\vert x\vert$ ne contient que des termes impairs.
6. $\boxtimes\;$ Le développement de $f''$ ne contient que des termes pairs.
7. $\square\;$ Si $F$ est une primitive quelconque de $f$, le développement de $F$ ne contient que des termes impairs.

Vrai-Faux 6   Sit $n$ un entier. Les propositions suivantes portent sur des développements limités d'ordre $n$ en 0. Lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$ $${\frac{1}{1-2x}=1+2x+\cdots+2^nx^n+o(x^n)}$$.
2. $\square\;$ $${\frac{1}{2-x}=1+(1-x)+\cdots+(1-x)^n+o(x^n)}$$.
3. $\boxtimes\;$ $${\frac{1}{2-x}= \frac{1}{2}+\frac{x}{4}+\cdots+\frac{x^n}{2^{n+1}}+o(x^n)}$$.
4. $\boxtimes\;$ $${\frac{1}{2+3x}= \frac{1}{2}-\frac{3x}{4}+\cdots+ \frac{(-1)^n3^nx^n}{2^{n+1}}+o(x^n)}$$.
5. $\square\;$ $${\frac{1+x}{1-x}= 1+2x-2x^2+\cdots+\frac{(-1)^n2x^n}{2^n+1}+o(x^n)}$$.
6. $\square\;$ $${\frac{1-x}{1+x}= 1+2x-2x^2+\cdots+\frac{(-1)^n2x^n}{2^n+1}+o(x^n)}$$.
7. $\boxtimes\;$ $${\frac{1}{(1+x)^2}= 1-2x+3x^2+\cdots+(-1)^n(n+1)x^n+o(x^n)}$$.
8. $\square\;$ $${\frac{1}{(1-x)^3}= 1+3x+6x^2+\cdots+3n x^n+o(x^n)}$$.

Vrai-Faux 7   Les propositions suivantes portent sur des développements limités en 0. Lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

1. $\square\;$ $\mathrm{e}^{x-1}=x+o(x)$.
2. $\boxtimes\;$ $\mathrm{e}^{x-1}= 1/\mathrm{e}+o(1)$.
3. $\boxtimes\;$ $\mathrm{e}^{x^2}=1+x^2+o(x^3)$.
4. $\square\;$ $\mathrm{e}^{x^2-1}=\mathrm{e}+\mathrm{e} x^2+o(x^2)$.
5. $\boxtimes\;$ $\mathrm{e}^{(x-1)^2}=\mathrm{e}-2\mathrm{e} x +3\mathrm{e} x^2+o(x^2)$.
6. $\square\;$ $(\mathrm{e}^x-1)^2=x^2+2x^3+o(x^3)$.
7. $\square\;$ $(\mathrm{e}^x)^2-1= o(x)$.
8. $\boxtimes\;$ $(\mathrm{e}^x)^2-1-2x= 2x^2+o(x^2)$.

Vrai-Faux 8   Les propositions suivantes portent sur des développements limités en 0. Lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

1. $\square\;$ $\sin(2x)=2x-x^3/3+o(x^3)$.
2. $\boxtimes\;$ $\sin(\pi/2-x)=1-x^2/2+o(x^2)$.
3. $\boxtimes\;$ $\sin(\tan(x))=x+o(x^2)$.
4. $\square\;$ $\sin(\sin(x))=x-x^3/6+o(x^3)$.
5. $\boxtimes\;$ $\cos(\sin(x))=1-x^2/2 +o(x^2)$.
6. $\square\;$ $\sin(\cos(x))=o(x)$.
7. $\square\;$ $\tan(\sin(x))=x+x^3/3+o(x^3)$.
8. $\boxtimes\;$ $\tan(\sin(x))-\sin(\tan(x))=o(x^6)$.

Vrai-Faux 9   Les propositions suivantes portent sur des développements limités en 0. Lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

1. $\square\;$ $\sqrt{2+x}=1+(1+x)/2+o(1+x)$.
2. $\square\;$ $\sqrt{4+x}=2+x/2+o(x)$.
3. $\boxtimes\;$ $1/\sqrt{4+x}=1/2-x/16+o(x)$.
4. $\square\;$ $\sqrt[3]{3+x}=1+x/3+o(x)$.
5. $\boxtimes\;$ $1/\sqrt[3]{1-3x}=1+x+o(x)$.
6. $\boxtimes\;$ $\sqrt[3]{1+3x^3}=1+x^3+o(x^5)$.
7. $\boxtimes\;$ $(8+3 x)^{2/3}= 4+x+o(x)$.
8. $\square\;$ $(8+3 x)^{-2/3}= 1/4+x+o(x)$.

Vrai-Faux 10   Les propositions suivantes portent sur des développements limités en 0. Lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

1. $\square\;$ $\ln(1-x)=-x+x^2/2+o(x^2)$.
2. $\boxtimes\;$ $\ln(1-x^2)=-x^2-x^4/2-x^6/3+o(x^6)$.
3. $\square\;$ $\ln(1+\mathrm{e}^x)=1+x+o(x)$.
4. $\boxtimes\;$ $\ln(\cos(x))=-x^2/2+o(x^3)$.
5. $\boxtimes\;$ $\ln(1+\cos(x))=\ln(2)-x^2/4+o(x^3)$.
6. $\square\;$ $\ln(1+\sin(x))=x+o(x^2)$.
7. $\boxtimes\;$ $\ln(1+\sin(x))-\ln(1+\tan(x))=o(x^2)$.
8. $\square\;$ $\ln(1+x^2)-\ln((1+x)^2)=o(x)$.

Vrai-Faux 11   Les propositions suivantes portent sur des développements asymptotiques au voisinage de $+\infty$. Lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$ $${\sin\left(\frac{1}{x}\right) =\frac{1}{x}-\frac{1}{6x^3}+ o\left(\frac{1}{x^3}\right)}\;.$$
2. $\square\;$ $${\arctan\left(\frac{x}{x+1}\right) =1-\frac{1}{x}+ o\left(\frac{1}{x}\right)}\;.$$
3. $\square\;$ $${\cos\left(\frac{1}{1+x}\right) =1-\frac{1}{2x^2}+\frac{1}{24x^4}+ o\left(\frac{1}{x^4}\right)}\;.$$
4. $\boxtimes\;$ $${\frac{x}{x^2-1}=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^3}+ o\left(\frac{1}{x^3}\right)}\;.$$
5. $\boxtimes\;$ $${\ln\left(\frac{1}{1+x}\right)=-\ln(x)-\frac{1}{x}+ o\left(\frac{1}{x}\right)}\;.$$
6. $\square\;$ $${x^{1/x}=1+\frac{1}{x}+o\left(\frac{1}{x}\right)}$$
7. $\boxtimes\;$ $\mathrm{e}^{-x}=o\left(\frac{1}{x^{314}}\right)$.

Vrai-Faux 12   Les propositions suivantes portent sur des développements asymptotiques au voisinage de $0^+$. Lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

1. $\square\;$ $\sqrt{x+x^2}=\sqrt{x}+x/2+o(x)$.
2. $\boxtimes\;$ $\sqrt{x+\sqrt{x}}=x^{1/4}+x^{3/4}/2+o(x^{3/4})$.
3. $\square\;$ $\cos(x^{2/5})=1+o(x)$.
4. $\square\;$ $\sin(\sqrt[3]{x^3+x^5})=x+o(x^2)$.
5. $\boxtimes\;$ $${\frac{\ln(x)}{\sin(x)}=\frac{\ln(x)}{x}+o(x\ln(x))}$$.
6. $\boxtimes\;$ $${\frac{\ln(\sqrt{x})}{\sin(x)}= \frac{\ln(x)}{2x}+o(x\ln(x))}$$.
7. $\square\;$ $${\frac{\ln(\sqrt{x})}{\sin(\sqrt{x})}= \frac{\ln(x)}{2x}+o(x\ln(x))}$$.
8. $\boxtimes\;$ $${\frac{\ln(\sqrt{1+x})}{\sin(\sqrt{x})}= \frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{2}+o(\sqrt{x})}$$.