Vrai ou faux

Vrai-Faux 1   Parmi les sous-ensembles suivants de $\mathbb{R}^3$, lesquels sont des sous-espaces vectoriels, lesquels ne le sont pas et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$ $\{ (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 ,\;x=0 \}$
2. $\square\;$ $\{ (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 ,\;x+y=1 \}$
3. $\boxtimes\;$ $\{ (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 ,\;x=0$ et $x+y+z=0 \}$
4. $\square\;$ $\{ (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 ,\;x=0$ et $x+y+z=1 \}$
5. $\square\;$ $\{ (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 ,\;\sin(x)=0 \}$
6. $\boxtimes\;$ $\{ (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 ,\;x=y=z \}$
7. $\square\;$ $\{ (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 ,\;\vert x\vert=\vert y\vert=\vert z\vert \}$
8. $\square\;$ $\{ (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 ,\;x^2+y^2+z^2=1 \}$
9. $\boxtimes\;$ $\{ (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 ,\;x^2+y^2+z^2=0 \}$

Vrai-Faux 2   Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\square\;$ L'intersection de deux sous-espaces vectoriels peut être vide.
2. $\square\;$ Si un ensemble contient toutes les droites vectorielles engendrées par ses vecteurs, alors c'est un espace vectoriel.
3. $\boxtimes\;$ Si un ensemble contient tous les plans vectoriels engendrés par deux de ses vecteurs, alors c'est un espace vectoriel.
4. $\boxtimes\;$ Si un ensemble contient toutes les combinaisons linéaires de $3$ quelconques de ses vecteurs, alors c'est un espace vectoriel.
5. $\square\;$ Si un ensemble contient la somme de deux quelconques de ses vecteurs, c'est un espace vectoriel.

Vrai-Faux 3   Parmi les familles suivantes de vecteurs de $\mathbb{R}^3$, lesquelles sont génératrices, lesquelles ne le sont pas, et pourquoi ?

1. $\square\;$ $((1,1,0), (0,1,1))$
2. $\boxtimes\;$ $((0,0,1), (0,1,1), (1,1,1))$
3. $\square\;$ $((0,1,-1), (1,0,-1), (1,-1,0))$
4. $\square\;$ $((1,2,3), (4,5,6), (7,8,9))$
5. $\boxtimes\;$ $((0,0,1), (0,1,1), (1,1,1), (1,2,1))$

Vrai-Faux 4   Parmi les familles suivantes de vecteurs de $\mathbb{R}^4$, lesquelles sont génératrices, lesquelles ne le sont pas, et pourquoi ?

1. $\square\;$ $((0,1,-2,1), (1,-1,0,3), (-2,7,-10,-1))$
2. $\boxtimes\;$ $((0,0,0,1), (0,0,1,1), (0,1,1,1),(1,1,1,1))$
3. $\boxtimes\;$ $((1,2,3,4), (5,6,7,0), (8,9,0,0),(1,0,0,0))$
4. $\square\;$ $((0,1,-1,0), (1,0,-1,0), (1,-1,0,0),(0,0,0,1))$
5. $\boxtimes\;$ $((1,1,1,2), (1,1,2,1), (1,2,1,1), (2,1,1,1))$

Vrai-Faux 5   Parmi les familles suivantes de vecteurs de $\mathbb{R}^3$, lesquelles sont libres, lesquelles ne le sont pas, et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$ $((1,1,0), (0,1,1))$
2. $\square\;$ $((1,1,0), (-1,-1,0))$
3. $\boxtimes\;$ $((0,0,1), (0,1,1), (1,1,1))$
4. $\square\;$ $((0,1,-1), (1,0,-1), (1,-1,0))$
5. $\square\;$ $((0,0,1), (0,1,1), (1,1,1), (1,2,1))$

Vrai-Faux 6   Parmi les familles suivantes de vecteurs de $\mathbb{R}^4$, lesquelles sont libres, lesquelles ne le sont pas, et pourquoi ?

1. $\square\;$ $((0,1,-2,1), (1,-1,0,3), (-2,7,-10,-1))$
2. $\square\;$ $((0,1,-2,1), (1,-1,0,3), (-1,4,-6,0))$
3. $\boxtimes\;$ $((0,0,0,1), (0,0,1,1), (0,1,1,1),(1,1,1,1))$
4. $\square\;$ $((0,1,-1,0), (1,0,-1,0), (1,-1,0,0),(0,0,0,1))$
5. $\boxtimes\;$ $((1,1,1,2), (1,1,2,1), (1,2,1,1), (2,1,1,1))$

Vrai-Faux 7   Parmi les applications suivantes de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}^2$, lesquelles sont des applications linéaires, lesquelles ne le sont pas et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$ $(x,y)\mapsto (x,0)$
2. $\square\;$ $(x,y)\mapsto (x,1)$
3. $\square\;$ $(x,y)\mapsto (\vert x\vert,0)$
4. $\boxtimes\;$ $(x,y)\mapsto (x+y,x-y)$
5. $\boxtimes\;$ $(x,y)\mapsto (y,x)$

Vrai-Faux 8   Parmi les applications suivantes de $\mathbb{R}^3$ dans $\mathbb{R}^3$, lesquelles sont des applications linéaires, lesquelles ne le sont pas et pourquoi ?

1. $\square\;$ $(x,y,z)\mapsto (x,y,z-1)$
2. $\square\;$ $(x,y,z)\mapsto (x+y,y+z,xz)$
3. $\boxtimes\;$ $(x,y,z)\mapsto (z,x,y)$
4. $\boxtimes\;$ $(x,y,z)\mapsto (0,0,0)$
5. $\square\;$ $(x,y,z)\mapsto (0,0,1)$

Vrai-Faux 9   Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels de dimension finie, et $f$ une application linéaire de $E$ dans $F$. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$ L'image par $f$ du vecteur nul de $E$ est le vecteur nul de $F$.
2. $\boxtimes\;$ L'image par $f$ de $E$ est un sous-espace vectoriel de $F$.
3. $\square\;$ L'image par $f$ d'une famille libre dans $E$ est toujours une famille libre dans $F$.
4. $\boxtimes\;$ L'image par $f$ d'une famille liée dans $E$ est toujours une famille liée dans $F$.
5. $\square\;$ L'image par $f$ d'une famille génératrice dans $E$ est toujours une famille génératrice dans $F$.
6. $\boxtimes\;$ Si dim$(E)>$dim$(F)$ alors $\mathrm{Ker}(f)\neq \{0\}$.
7. $\square\;$ Si dim$(E)>$dim$(F)$ alors $f$ est surjective.
8. $\square\;$ Si dim$(E)<$dim$(F)$ alors $f$ est injective.
9. $\boxtimes\;$ Si $f$ est bijective, alors dim$(E)=$dim$(F)$

Vrai-Faux 10   Soient $E$ un espace vectoriel de dimension $n$, $F$ un espace vectoriel de dimension $m$ et $f$ une application linéaire de $E$ dans $F$. On choisit une base $(b_1,\ldots,b_n)$ dans $E$, une base $(c_1,\ldots,c_m)$ dans $F$, et on note $A$ la matrice de $f$ relative à ces bases. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$ La matrice $A$ est carrée si et seulement si $m=n$.
2. $\square\;$ Les lignes de $A$ sont les images des vecteurs $c_1,\ldots,c_m$.
3. $\square\;$ Si toutes les colonnes de $A$ sont non nulles, alors l'application $f$ est injective.
4. $\boxtimes\;$ Si toutes les colonnes de $A$ sont proportionnelles au même vecteur de $\mathbb{R}^m$, alors le rang de $f$ est 0 ou $1$.
5. $\boxtimes\;$ La $j$-ième colonne de $A$ est nulle si et seulement si le vecteur $b_j$ appartient au noyau de $f$.
6. $\square\;$ Si une ligne de $A$ est nulle, alors $f$ n'est pas injective.
7. $\boxtimes\;$ Si une ligne de $A$ est nulle, alors le rang de $f$ est strictement inférieur à $m$.
8. $\boxtimes\;$ Si les colonnes de $A$ forment une famille libre dans $\mathbb{R}^m$, alors $f$ est injective.
9. $\square\;$ Si les lignes de $A$ forment une famille génératrice de $\mathbb{R}^n$, alors $f$ est surjective.
10. $\boxtimes\;$ Si les colonnes de $A$ forment une famille génératrice de $\mathbb{R}^m$, alors $f$ est surjective.