Every Texan kills a Texan

«Aucune découverte scientifique ne porte le nom de son inventeur ». Tel est l'énoncé de la «Loi de Stigler»... qui n'a pas été découverte par Stigler ! Les axiomes de Peano ne font pas exception à la règle. Peano n'a d'ailleurs jamais prétendu être le premier : voici ce qu'on lit dans la préface de «Arithmetices Principia nova methodo exposita», daté de 1889.

In arithmeticae demonstrationibus usus sum libro: H. Grassmann, Lehrbuch der Arithmetik, Berlin 1861.

Utilius quoque niibi fuit recens scriptum: R. Dedekind, Was sind und was sollen die Zahlen; Braunschweig, 1888, in quo quaestiones, quae ad numerorum fundamenta pertinent, acute examinantur.

Effectivement Grassmann, près de trente ans auparavant, donnait déjà essentiellement la caractérisation moderne de l'ensemble des entiers, ainsi qu'une définition inductive de l'addition de de la multiplication. Mais il ne posait pas en axiome le fait que le premier entier ne soit le successeur d'aucun autre, ni le fait que deux nombres ne puissent avoir le même successeur, ce qui était considéré comme allant de soi¹. La définition de $\mathbb{N}$ que nous vous avons donnée est bien, à quelques détails près, celle de Dedekind, dans «Que sont les nombres et que signifient-ils». Voici comment il en décrivait l'idée, quelques années auparavant.

Je vois l'ensemble de l'arithmétique comme une conséquence nécessaire, ou au moins naturelle du plus simple des actes arithmétiques, celui de compter, et compter n'est rien d'autre que la création successive de la suite infinie des nombres entiers positifs dans laquelle chaque individu est défini en termes de celui qui le précède.

Dans une lettre de février 1890, il va plus loin.

Parlant de l'arithmétique (algèbre, analyse) comme d'une partie de la logique, je veux dire que je considère le concept de nombre comme entièrement indépendant de notions ou d'intuitions d'espace et de temps, et que je le considère comme un résultat immédiat des lois de la pensée.

Quelque temps avant Dedekind, de l'autre côté de l'Atlantique, un philosophe avait lui aussi réflechi aux fondements de la notion de nombre : Charles Sanders Peirce (1839-1914)². Son article se termine par l'énoncé selon lequel une application injective d'un ensemble sur lui-même est bijective. Son illustration est plutôt vigoureuse.

From this we deduce the validity of the following mode of inference:

Every Texan kills a Texan,

Nobody is killed by but one person,

Hence, every Texan is killed by a Texan,

supposing Texans to be a finite lot. For, by the first premise, every Texan killed by a Texan is a Texan killer of a Texan. By the second premise, the Texans killed by Texans are as many as the Texans killers of Texans. Whence we conclude that every Texan killer of a Texan is a Texan killed by a Texan, or, by the first premise, every Texan is killed by a Texan. This mode of reasoning is frequent in the theory of numbers.

Peirce n'était pas texan, et n'est pas mort assassiné, même si son caractère difficile et ses opinions peu orthodoxes ne lui valaient pas que des amis. Notez qu'il ne se prononce pas sur la valeur de vérité de ses propositions.