La noción
de
potencia
ha sido definida hasta ahora para una
alternativa
simple. En el marco paramétrico, si la hipótesis
es compuesta, se empleará preferentemente la
función
potencia. Se dispone de una muestra
de la ley
que depende del parámetro
. Se supone que
para una cierta hipótesis
, una regla de rechazo ha
sido definida.
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Si el valor del parámetro es , se calculan las
probabilidades de rechazo de
, con la ayuda de la
función de
distribución de la
ley gamma
. Como ejemplo numérico, fijamos
y
. Veamos algunos valores particulares para las
funciones potencia
,
y
(ver también la figura 4).
Para el test bilateral, la función potencia admite un mínimo
en el punto . Para los tests unilaterales, la potencia
es monótona, y ella es menor que el nivel del test para algunos
valores de
.
Definición 4.8
Se dice que un test de
umbral para una hipótesis simple
es sesgado si la función
potencia toma valores menores que
para algunos valores de
.
Para los tests en los que la alternativa es simple, el teorema
4.6 (Neyman-Pearson) muestra que el test del
cociente de verosimilitud es el más potente para un umbral dado.
Un tal test se llama
uniformemente más potente
(UMP).
Para hipótesis compuestas, no existe en general un test UMP.
Bajo hipótesis razonables, se demuestra que siempre existe un
test que es UMP entre los tests sin sesgo.