Este parrafo está dedicado a la
construcción de
intervalos de
confianza de la
esperanza y
la
varianza
para muestras gaussianas, o sea de la
ley normal
. La ventaja de esta situación es que los
estimadores naturales de la esperanza y de la varianza tienen
leyes calculables explícitamente. Denotamos
una muestra de la ley
,
su
media empírica y
su
varianza empírica:
Damos a
continuación, y admitiremos, los tres resultados que permiten
calcular los intervalos de confianza de y
.
Las dos primeras afirmaciones sirven para estimar la esperanza
en el caso en que la varianza
es conocida y en el
caso en que es desconocida, respectivamente. Comencemos por
suponer que
es conocida. Pongamos
. El
intervalo de dispersión optimal de nivel
para la ley
es
. Hay dos valores de
que son utilizados
frecuentemente: para
y
,
vale, respectivamente,
y
. De acuerdo con el inciso
1 del teorema 3.3, tenemos:
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|
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El caso en que es desconocida se trata de la misma
forma, reemplazando la ley
por la ley
. Sigue siendo una ley simétrica, para la cual el
intervalo de dispersión optimal de nivel
es de la
forma
, donde:
El mismo razonamiento conduce al siguiente
intervalo de confianza
para :
Pasemos ahora a la estimación de
a partir de
. La ley de chi-cuadrado
no es simétrica y el intervalo de dispersión
simétrico no es optimal. Denotaremos por
y
dos números reales positivos tales que
sea
un intervalo de dispersión de nivel
para la ley
. Podremos calcular el intervalo de
dispersión optimal por un procedimiento de optimización numérico,
o si no tomar el intervalo simétrico:
De acuerdo con el inciso 3 del teorema 3.3, tenemos:
El intervalo
es por tanto un
intervalo de confianza de nivel
para
.