Para la construcción de intervalos de confianza se necesita conocer la ley de los estimadores a partir de los cuales ellos se construyen. Aparte del caso de las muestras gaussianas, esto no es siempre posible. Además es frecuente que el cálculo de las leyes, que es posible realizar efectivamente para muestras pequeñas, sea irrealizable para muestras de gran tamaño. Por tanto buscamos reemplazar la ley del estimador por una aproximación más simple, que permite construir intervalos de confianza cuyo nivel no se garantiza más que para muestras de gran tamaño.
Lo más frecuente es que esta noción
se emplea cuando se dispone de un estimador consistente de
cuya ley es asintóticamente normal, lo que resulta,
en general, como consecuencia del
Teorema del
Límite Centrado.
Vamos a ver
inmediatamente el caso de la estimación de la
esperanza.
Este resultado, que es una reformulación del Teorema del
Límite Centrado clásico, permite definir
intervalos de dispersión
aproximados para y
. Fijemos el nivel
,
y denotemos por
al intervalo de
dispersión optimal de la ley
. Entonces:
Se deducen inmediatamente dos
intervalos de confianza de nivel
asintótico
para
:
El uso de la normalidad asintótica va mucho más allá de la
estimación de medias. Como ejemplo, vamos a ver a continuación la
estimación de
cuantiles de una ley
continua. Consideremos una muestra
de una ley
continua. Denotaremos por
su densidad,
su
función de
distribución y
su
función cuantil. Dado un número real
, el problema consiste en estimar
(por ejemplo,
si
,
es la mediana). A la muestra
está asociada una
función cuantil empírica. Su valor en
es el
-ésimo
estadígrafo de orden
, donde
es el entero
tal que
. Denotaremos por
a esta variable
aleatoria. Es un
estimador consistente de
. Se puede
escribir explícitamente su densidad en función de
y
:
Como ejemplo de aplicación, volvamos a la
ley uniforme
(ver 1.3). Sea
una
muestra de esta ley y
el cuantil empírico de orden
; este
es un estimador consistente de
. De acuerdo con el
teorema 3.7, la variable aleatoria
En la práctica, el tamaño de la muestra, aunque sea
grande, es siempre un número fijo. Al emplear la normalidad
asintótica, evidentemente nos cuestionamos la calidad de la
aproximación normal para un fijo. ¿A partir de que valor de
es legítimo reemplazar una ley exacta por su aproximación
normal para el cálculo de un intervalo de confianza? Es imposible
dar cotas válidas para todas las situaciones. A modo de ejemplo,
consideremos tres familias de leyes asintóticamente normales, las
leyes
binomiales, las
leyes de
Poisson y las
leyes gamma (que
incluyen a las
leyes de chi-cuadrado como caso particular). La
ley
, la ley
y la ley
están cerca de la ley normal de la misma esperanza
y la misma varianza, cuando
es grande. La tabla siguiente da
las
distancias de Kolmogorov-Smirnov entre algunas de estas leyes y
sus aproximaciones normales (la distancia de Kolmogorov-Smirnov
es la diferencia maximal absoluta entre las funciones de
distribución).
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Los logiciales son capaces de realizar cálculos precisos de cualquier cuantil para todas las leyes usuales. Como regla general, debe evitarse emplear la normalidad asintótica cuando es posible realizar un cálculo exacto.