El test de Kolmogorov-Smirnov es un test de ajuste a una ley continua que tiene en cuenta el conjunto de los cuantiles, en contraposición al test local del parrafo anterior. El caso típico sigue siendo que se tiene una muestra de una ley desconocida. La hipótesis nula es:
donde es la función de distribución de una ley continua dada. La idea es la siguiente: si la hipótesis es correcta, entonces la función de distribución empírica de la muestra debe parecerse a la función . La función de distribución empírica es la función que va de en , y que toma los valores:
Medimos el ajuste de la función de distribución empírica a la función por la distancia de Kolmogorov-Smirnov, la cual es la distancia asociada a la norma uniforme entre funciones de distribución. Para calcularla basta evaluar la diferencia entre y en los puntos .
Bajo la hipótesis , la ley del estadígrafo no depende de , porque los valores que toma en los son variables aleatorias de ley . Pero la función de distribución de no tiene una expresión explícita simple y debe ser calculada numéricamente. Para muestras de tamaño suficientemente grande, se emplea el siguiente resultado asintótico:
La serie converge muy rápidamente. En la práctica, para , la suma de los tres primeros términos ya da una aproximación excelente. Si la hipótesis es falsa, tiende a con . El test es por tanto necesariamente unilateral a la derecha (rechazo de valores muy grandes). Supongamos que la distancia toma el valor para una muestra de tamaño . El estadígrafo vale . El p-valor correspondiente es:
El
test
de Kolmogorov-Smirnov se extiende a la comparación de
dos funciones de distribución empíricas y permite entonces
poner a prueba la hipótesis de si dos muestras salieron de la
misma ley. Se pueden utilizar muchos otros
tests de ajuste, como
los de Stephens, Anderson-Darling y Cramer-von Mises.