Hasta aquí hemos realizado tests
con una sola hipótesis de modelación
. El único
error que podía ser cuantificado consistía en rechazar
erróneamente. La probabilidad de este rechazo es el
umbral del test. No rechazar
significa
solamente que no ha sucedido nada que nos permita ponerla en duda.
Esto no significa que
es ''verdadera'' (las leyes de
probabilidad no existen en la naturaleza).
De ahora en adelante vamos a situarnos en una situación donde
dos modelos están compitiendo el uno contra el otro. Los datos
disponibles deberán permitirnos tomar una decisión sobre
, con referencia a otra
hipótesis
.
Decimos entonces que hacemos un test de
contra
.
Tomemos el ejemplo de un indicador fisiológico (tasa de una cierta substancia en la sangre) la cual con un valor elevado es un síntoma de una cierta enfermedad. Como es habitual, se considerará que la tasa observada en un individuo es la realización de una cierta variable aleatoria. Supongamos que estudios anteriores han mostrado que en un sujeto sano, el valor de sigue la ley , mientras que en un sujeto enfermo ella sigue la ley . Si la enfermedad no es grave, y si el tratamiento comporta riesgos para el paciente, el médico decidirá favorecer la hipótesis que su paciente goza de buena salud: esa será su hipótesis nula . Ella será comprobada por un test unilateral a la derecha (rechazo de los valores de muy grandes). Con el umbral , la regla de decisión es:
Se decidirá, por tanto, que el paciente está enfermo si su tasa es mayor que . El umbral mide el riesgo de rechazar erróneamente (declarar enfermo a un individuo sano). Pero otro riesgo consiste en no rechazar mientras que es verdadera (no diagnosticar la enfermedad cuando el paciente está verdaderamente enfermo). Se denota la probabilidad correspondiente :
En este caso la ley de bajo la hipótesis es la ley normal y por tanto:
Como hemos mostrado en los ejemplos, puede ser que el riesgo de segunda especie sea bastante importante, mientras que el umbral del test se fija al definir el test. El error de primera especie es el que se elige controlar, aún cuando esto signifique no tener en cuenta el error de segunda especie. Esto induce una dissimetría en el tratamiento de las dos hipótesis. La regla de rechazo del test está definida únicamente a partir de y . Ante dos alternativas, se tomará como la hipótesis que sería más grave rechazar erróneamente.
Retomemos el ejemplo del diagnóstico, pero supongamos ahora que la enfermedad es potencialmente muy grave pero fácilmente curable. El peligro sería no detectar la enfermedad. El médico tomará como hipótesis nula la hipótesis que el paciente está enfermo.
El test será ahora unilateral a la izquierda (rechazo de los valores muy pequeños). Al umbral , la regla de decisión es :