Los tests de
Fisher
y de
Student
sirven para comparar las
medias y
las
varianzas de
dos muestras gaussianas. Retomemos el ejemplo del tratamiento
destinado a disminuir los niveles de colesterol en sangre. Se
miden los niveles de colesterol en una población de control sin
tratamiento, se hace lo mismo en un grupo de individuos después
del tratamiento. El nivel promedio de colesterol después del
tratamiento es inferior (eso es lo que se espera) al nivel
promedio del grupo de control. El problema es saber si la
diferencia observada basta para rechazar la
hipótesis
, es decir que el tratamiento no tiene ningún efecto sobre el
nivel de colesterol.
Para el modelo probabilista se consideran dos muestras independientes:
Según el teorema 3.1, los cocientes de las varianzas empíricas por las varianzas exactas siguen leyes de chi-cuadrado. El cociente ponderado de dos variables aleatorias independientes que siguen leyes de chi-cuadrado sigue una ley de Fisher.
El estadígrafo del test de Fisher es:
Bajo la hipótesis de la igualdad de las varianzas, el teorema que presentamos a continuación, permite evaluar las diferencias entre medias empíricas.
Este resultado permite hacer un test de la hipótesis:
En consecuencia se aceptará la hipótesis de la igualdad de las
varianzas. El estadígrafo del
test de Student toma el valor
, con un
p-valor de:
La hipótesis de normalidad, bajo la cual se emplean los tests de Fisher y Student, no siempre es válida. Para muestras de gran tamaño, el Teorema del Límite Central asegura la normalidad asintótica de las medias empíricas. El siguiente resultado no supone ni que las muestras son gaussianas ni que sus varianzas son iguales.
Retomemos los datos del ejemplo anterior. El estadígrafo: