Équipe pédagogique Jean-Guillaume Dumas Françoise Jung

Plan du Cours Eléments d'arithmétique : tests de primalité, factorisation, fonction d'Euler, éléments primitifs Construction des corps finis Quelques utilisations des corps finis : Cryptographie (RSA et Logarithme discret) Générateurs pseudo aléatoires et poésie Combinatoire et algèbre linéaire Topologie algébrique (reconnaissance de formes, interactions moléculaires) Transformée de Fourier discrète (calculs polynomiaux, entiers) Codes correcteurs d'erreurs Recherche de chaines de caractères (ADN) Analyse locale d'équations fonctionnelles la famille des algorithmes de Newton : des équations algébriques planes aux équations différentielles non linéaires, en passant par Désir les séries solutions : séries de Puiseux, séries de Frobénius introduction à la sommation de séries divergentes : séries Gevrey, séries k-sommables Documents Algorithme d'Euclide Etendu en C++ Construction d'un corps fini : polynôme générateur et tables (en Maple) Algorithmique de la théorie des nombres : (Fermat, Euler, Th. Chinois, Euclide, primalité, factorisation, etc.), la construction des corps finis et application à la cryptographie (RSA, logarithmes discrets). Tests de primalité, factorisation, système RSA. Sextine d'Arnaut Daniel Base de Gröbner : système polynomial et matrice intermédiaire Bouteille de Klein Complexes Simpliciaux Examen 2003, corrigé. Bibliothèques Givaro : Bibliothèque C++ d'arithmétique efficace pour les petits corps finis, théorie des nombres au dessus de GMP, structures de données, polynômes, etc. NTL : a Library for doing Number Theory GMP : Gnu MultiPrecision Package. En C avec un peu de C++ Références M. Demazure, Primalité, divisibilité, Codes. Cassini 1997. R. Lidl et H. Niederreiter, Introduction to finite fields and their applications, Cambridge University Press 2000. J. von zur Gathen et J. Gerhard, Modern Computer Algebra, Cambridge University Press 1999. K. O. Geddes, S. R Czapor, G. Labahn, Algorithms for Computer Algebra, Kluwer Academic Publishers. D. Burton, Elementary Number Theory, McGraw-Hill 1998. J. Buchmann, Introduction to Cryptography, Springer 2000.